泊松积分的几种简便证明
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
泊松积分公式在统计物理中的应用
泊松积分公式在统计物理中的应用泊松积分公式是一种有用的数学工具，在统计物理学中有广泛的应用。
泊松积分公式可以帮助我们研究物质的分布，以及它们之间的相互作用。
在统计物理学中，泊松积分公式通常被用来计算某一物质在给定的温度下的分布情况。
例如，在固体中，原子的分布可以用泊松积分公式来计算。
这种方法可以帮助我们了解固体的结构，以及固体中原子的运动情况。
泊松积分公式还可以用来研究热力学系统中的粒子分布情况。
例如，在热力学平衡状态下，粒子的分布是按照泊松分布函数计算的。
这种分布函数可以帮助我们了解系统中粒子的数量分布情况，以及系统的热力学性质。
此外，泊松积分公式还可以用来研究统计物理学中的其他问题。
例如，它可以用来计算粒子间的相互作用力，以及粒子间的能量交换情况。
这些信息对于我们理解系统的物理性质都非常重要。
泊松积分公式的应用不仅仅局限于统计物理学，它还在其它也广泛应用于其他领域，例如信号处理、通信工程等。
在信号处理领域，泊松积分公式常常用来计算信号的调制深度和带宽等参数。
在通信工程领域，泊松积分公式也可以用来计算信号传输的效率和信噪比等参数。
总之，泊松积分公式是一种非常有用的数学工具，在统计物理学和其他领域都有广泛的应用。
它的应用不仅仅局限于计算物质的分布情况，还可以用来计算粒子间的相互作用力和能量交换情况，以及信号的调制深度和带宽等参数。
因此，泊松积分公式对于我们理解物质的性质和系统的运作机理都具有重要的意义。
另外，泊松积分公式也可以用来解决一些其他的问题，例如：1. 电子结构计算：在分子动力学计算中，泊松积分公式可以用来计算分子的电子结构。
这对于我们理解分子的化学性质和反应机理具有重要意义。
2. 粒子加速器设计：泊松积分公式可以用来计算粒子在加速器中的运动情况，从而帮助我们设计出更高效率的粒子加速器。
3. 原子核物理学：泊松积分公式也可以用来计算原子核的结构和性质，对于我们理解核物理学有着重要的意义。
二重积分证明题
二重积分证明题（原创实用版）目录一、二重积分的概念和性质二、二重积分的证明方法三、二重积分证明题的实例解析四、总结与展望正文一、二重积分的概念和性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个函数在空间中某个区域上的值进行两次积分。
二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性等。
二、二重积分的证明方法在解决二重积分证明题时，通常采用以下几种方法：1.直接积分法：适用于简单的二重积分，直接对被积函数进行积分。
2.重积分换元法：适用于较复杂的二重积分，通过换元将二重积分转化为单重积分。
3.重积分分部积分法：适用于具有一定规律的二重积分，通过分部积分将二重积分转化为求和或差。
4.重积分对称性法：适用于具有对称性的二重积分，通过利用对称性简化积分计算。
三、二重积分证明题的实例解析举例：设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，证明∫∫f(x, y) dxdy = π。
解：采用重积分换元法。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 dxdy = rdrd θ。
将被积函数代入得：∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) rdrdθ= ∫r^3cos^2θ dtdr + ∫r^3sin^2θ dtdr = ∫r^2(rcos^2θ + rsin^2θ) drdθ= ∫r^2 r drdθ= ∫r^3 dr= r^2 |_{0}^{1}= π因此，证明了∫∫f(x, y) dxdy = π。
四、总结与展望二重积分证明题是多元函数积分中的一个重要内容，掌握好二重积分的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过本篇文章的学习，读者对二重积分的概念、性质以及证明方法有了更加深入的了解。
微积分中的经典证明方法总结大全
微积分中的经典证明方法总结大全微积分是数学中非常重要的一个分支，它涉及了许多经典的证明方法。
本文对微积分中的几种经典证明方法进行了总结，希望对读者理解和应用微积分有所帮助。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也常用于微积分中的证明。
它的基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
通过这种递推的方式，可证明当n为任意正整数时，命题都成立。
2. 反证法反证法也是微积分中常用的证明方法之一。
它的基本思想是：假设所要证明的结论为假，通过推理和论证得出与已知事实矛盾的结论，由此推出原结论为真。
反证法通常用于证明一些唯一性的结论。
3. 极限证明法极限是微积分中的核心概念，因此极限证明法在微积分中应用广泛。
极限证明法的基本思想是：通过逼近和比较的方式，证明一个函数在某一点的极限存在或不存在，从而得出结论。
常用的极限证明方法包括ε-δ证明法、夹逼定理等。
4. 一阶导数证明法一阶导数是微积分中的基本概念，一阶导数证明法常用于证明函数的单调性、极值等性质。
通过计算函数的一阶导数，可以得出函数在某一范围内的增减性和极值位置。
一阶导数证明法在微积分的应用非常广泛。
5. 定积分和不定积分证明法定积分和不定积分是微积分中的重要概念，它们可以用于计算曲线下的面积、求解微分方程等。
通过对积分的性质和定理进行证明，可以得出定积分和不定积分的一些重要性质和结论。
结论本文对微积分中的几种经典证明方法进行了总结，包括数学归纳法、反证法、极限证明法、一阶导数证明法以及定积分和不定积分证明法。
熟练掌握这些证明方法对于理解和应用微积分非常重要，希望本文对读者有所启发和帮助。
证明定积分等式的几种方法
证明定积分等式的几种方法
1 定积分的定义
定积分，即定积分（Definite integral），是一个积分形式，
用来表示某个函数在某个区间上的范围积分。
可以看作是定义在一段
区间上的函数的积分，定义为：给定函数f(x)在区间[a,b]上，它的定积分（Definite integral）是这个函数在这个区间上从a到b的积分，记作：
$$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
其中$F(x)$为任何一个函数$f(x)$的某一原函数
2 证明定积分等式
定积分等式一般可以用以下四种方法进行证明：
1、可积性法：可积性法证明定积分等式，是指先讨论曲线
$y_1=f(x)$、$y_2=F(x)$的可积性，然后再考虑当曲线$y_1=f(x)$的
可积性和曲线$y_2=F(x)$的可积性满足时，定积分等式的定义。
2、微分法：微分法证明定积分等式，是指利用傅里叶积分定理，
充分利用函数f(x)和它的一阶关于x的导数f'(x)的关系：$$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F'(x)]_a^b=f(b)-f(a)$$
3、减法法：减法法证明定积分等式，是指选取恰当的积分区间和项数，以区间[a,b]中的函数作精确分段积分，让每个小区间的函数的结果差减少，使得获得的结果接近定积分的区间上的积分结果。
4、基本定理法：基本定理法是指将定积分分解为多个小区间上的积分求和，然后凭借定积分基本定理证明把小积分加和为大积分，最后再将大积分加和形成定积分等式。
以上四种方法，可以有效证明定积分等式，具体形式因定积分所求函数而异。
poincare不等式 反证法
poincare不等式反证法庞加莱不等式，又称为庞加莱-伯瓦伊不等式，是法国数学家亨利·庞加莱于1883年提出的一种重要的数学不等式，它在解析几何、微积分、泛函分析等领域有广泛的应用。
庞加莱不等式是用于描述空间中的曲线线长和曲率之间的关系，是微分几何中非常重要的不等式之一。
庞加莱不等式可以用反证法来证明。
这种证明方法在数学中很常见，它通过假设所要证明的结论是错误的，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原始假设是错误的。
下面我们以庞加莱不等式为例，详细阐述一下反证法证明的过程。
首先，让我们回顾一下庞加莱不等式的表述：在平面上任意一条不可缩的简单闭曲线上，其长度L和曲率K满足如下不等式：L^2 ≥ 4π/∫(K^2)dS其中，L表示曲线的长度，K表示曲线上某个点处的曲率，dS表示曲线上的微元弧长，∫(K^2)dS表示对整条曲线上的曲率平方进行积分。
现在我们来假设庞加莱不等式是错误的，也就是说存在这样一条不可缩的简单闭曲线，使得其长度L和曲率K不满足上述不等式。
接下来，我们可以考虑将这条曲线进行缩放，即按照一定的比例将曲线的长度进行缩小，同时保持曲线上的曲率不变。
这样做的目的是为了使得曲线的长度L满足庞加莱不等式。
假设我们缩放后得到了一条长度为L'的曲线。
根据缩放的方式，我们可以得到以下关系：L' = λL其中，λ表示缩放的比例因子。
由于我们对曲线的长度进行了缩放，所以缩放后的曲线的长度L'不会小于原始曲线的长度L：L' ≥ L然后，我们可以考虑曲线上的曲率。
由于我们保持了曲线上的曲率不变，所以缩放后的曲线上的曲率K'与原始曲线上的曲率K相等：K' = K现在，我们可以计算缩放后的曲线上的曲率平方之和∫(K'^2)dS'，其中dS'表示缩放后曲线上的微元弧长。
根据曲线的缩放，我们可以得到以下关系：dS' = λdS对于整条曲线上的曲率平方之和的积分∫(K'^2)dS'，我们可以得到：∫(K'^2)dS' = ∫(K^2)dS根据庞加莱不等式，我们知道∫(K^2)dS > 4π/L。
泊松分布、泊松过程、泊松点过程
泊松分布、泊松过程、泊松点过程1.泊松分布##泊松分布是⼆项分布的极限分布，假设有⼀列⼆项分布B(n,p n)，均值为λ,即limn→∞np n=λ>0，对任何⾮负整数k(即发⽣k次的概率)有limn→∞b(k;n,p n)=limn→∞C k n p k n(1−p n)n−k=e−λλkk!。
证明：C k n p k n(1−p n)n−k=n!k!(n−k)!p kn(1−p n)n−k=1×2×3×...×nk!×1×2×3...×(n−k)×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=n×(n−1)×(n−2)×...×(n−k+1)k!×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=1k!(1−1n)(1−2n) (1)k−1n)(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n注意到limn→∞(np n)k=λk，和limn→∞(1−p n)n=e−λ。
定理证毕。
泊松分布是⼆项分布的极限分布，当n很⼤，p很⼩时，⼆项分布就可以近似地看成时参数λ=np的泊松分布。
2.泊松过程##实验结果满⾜泊松分布的实验即为。
3.泊松点过程##泊松点过程其实和泊松过程并⽆区别。
只是在我初接触的时候不⾃觉的把它当成⼀个⼆维的撒点过程。
所以我想更多⼈会把这个术语当做是如何在⼆维平⾯撒满⾜泊松分布点的⽅法。
放⼼，这⾥也是介绍⽅法的。
3.1⼀维的撒点⽅法###3.1.1算法1####我们注意到，在齐次泊松过程中，两次事件的距离是满⾜均值为1λ的指数分布。
(0) 初始化 t = 0;(1) 取⼀个满⾜均匀分布u~U(0,1)的随机数u;(2) t=t−1λlog(u);(3) ⽣成⼀个点t；(4) 返回(1)。
3.1.2算法2####假设在固定的时长[0,t0]，事件发⽣次数为N(t0)=n，事件发⽣的时间T_1,T_2,...,T_n(排序过的)满⾜均匀分布。
定积分证明题方法总结
定积分证明题方法总结定积分证明题方法总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，为此我们要做好回顾，写好总结。
那么你知道总结如何写吗？以下是小编整理的定积分证明题方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分证明题方法总结11、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
二重积分的反常积分
目 录1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)Df x y d σ⎰⎰收敛的判定 (2)2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)二重积分的反常积分数学系本0601班魏慧指导教师：梁素萍摘要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。
三维泊松方程的一种解析解法
三维泊松方程的一种解析解法三维泊松方程是目前数学和物理学中最重要的基础方程之一，用于描述在空间、时间上扩散过程或其他自然界现象，如电场、热传导、流体流动、振动传播等，它在流变力学、热力学、电磁学、介观力学等学科领域有广泛的应用。
本文旨在阐述三维泊松方程的一种解析解法，即基于谱定理的方法。
首先对三维泊松方程的基本定义及其在物理学中的应用做一简要介绍，然后介绍基于谱定理的解析解法，以及具体的解析解法的实现步骤。
最后，文章将讨论此解法的优点和局限以及它在物理学中的历史发展。
三维泊松方程是一个常微分方程，由拉普拉斯算子和源项构成，表达如下：u(t,x,y,z)+S(t,x,y,z)=0其中，u（t，x，y，z）是函数，它随时间t、空间x、y、z变化；拉普拉斯算子是三维拉普拉斯运算符，用来描述在空间中的梯度；S（t，x，y，z）是表示物质等非线性状态的源项。
三维泊松方程在物理学中有广泛的应用，其中最重要的两个应用是：一是用于描述电磁场，可以用来描述电场、磁场、电流和磁流的扩散；二是用于描述流体运动，可以用来描述湍流、稳定流、涡旋流、中性流等。
要解决三维泊松方程，需要采用解析方法。
基于谱定理的解析解法是一种有效的方法，它通过谱分解来解决三维泊松方程，谱分解的基本思想是将原本的三维空间函数变量分解为多个一维空间函数变量，每个一维空间函数变量由若干线性独立的项构成，而每个项实际上都是一种不同频率的时间或空间正弦振荡。
具体的解析解法实现步骤如下：（1）将三维泊松方程分解为多个一维空间的方程，每个方程的变量可以视为一个独立的函数。
（2）采用Fourier变换将各个一维空间函数转化为正弦振荡。
（3）通过计算振荡频率，解出各个一维空间函数变量的解析解。
（4）将各个一维空间函数变量的解析解相加，得到原三维空间函数变量的解析解。
基于谱定理的解析解法有以下优点：（1）计算简单，可以实现快速计算；（2）具有一定的稳定性，能够防止算法收敛速度慢的问题；（3）因为将原本复杂的三维空间函数变量分解为一维空间函数变量，所以理解起来更加直观。
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【 关键词】 泊松积分 ； 拉普拉斯变换 ； 二重积分 ； 广义 Ｆ函数 【 中图分类－ ０ ４ 【 ￣］ ２１ 文献标识码】 【 Ａ 文章编￣ ］６３ １９ （０００—０ ５０ －１ — ８１２ １）４０２－２ ７
会 遇到它 。
因， 此
ｌ ｊ
手 。 ＝
ｒ ＝ 孚。
５ 利 用拉 普 拉 斯 变换 的方 法 证 明
● ＋∞
根据傅 里叶变换 的定 义式 ， 可得
对于泊松积分■ ｅ‘ ， 这是一个实变 Ｉ ｄ 显然， Ｕ ｒ
量 的广 义积 分 ， 因此可 以引进参 变量 ｔ使 其成 为 ｔ ， 的 函数 。
在 研究 热 传 导或 是 概率 问题 的时候 ， 常会遇 通
取ｐ １
，
１
ｑ
到泊松积分 。但 由于其被积函数 的原 函数不是初 等函数 ， 因此不能用 牛顿一莱布尼茨公式来确定它 的积分值 。利用 Ｄ’ ｌ ｂｒ判别法分析泊松积 分 Ａｅ ｅ ｍ ｔ
，
则
睦 ＝ 一＆２ｔ ｅ ， ｚ ＝ｒ ａｎ ＝ ２ ｅ 一 ａ
取 ＝ ， 得到 ｒ ＝√ ， （
ｄ ，
（ ＇ ） ） ｎ ３ ～善 。 ：， ２…
不 难 验证 ， 以交 换 求 和 与 积 分运 算 的次 序 ， 可
并且根据余元公式 Ｆ（ Ｆ（一 Ｌ ＝ 仅） １ Ｏ） 百
因，ｅ ＝ｒ ＝ 此 （ 孚 争
３ 利 用 Ｂ函数 证 明 由Ｂ 函数的定义可知 （ ） ＝ｌ
十∞ ’
Ｆ［ ｌ ” ，－ｄ Ａ Ｊ ｅｌ ｅ ＝ｆ ｌｔ Ｏ
由于钟形 脉 冲函数 的傅 里叶变换 为
Ｆ 中］Ｊ ＝
设 ，， Ｉ （ ： ３ ） ０
，
‘， ｄ 取拉普拉斯变换并交换积 ｘ 。’ — ’’ ’ 。 ～ 、。 ’
分次序 ， 得
泊松积分的几种简便证明
钱 学明
（ 无锡科技职业学院基础部 ， 江苏 无锡 ２４２ ） １０ ８
【 摘 要 】 一般 的《 在 高等数学》 教材 中对于泊松积分的计算少有 涉及 ， 而在 实际问题 中， 例如在研 究热传导或是概 率问题 的时候 ， 都会遇 到泊松积分 。但 由于其被积 函数 的原 函数不是初等 函数 ， 因此， 不能用牛顿一 莱布尼茨公式来计算其积分值。
．№ ．
由 ｌ ｅ ｄＩ －ｘｌ ｄ 于， － ｘ ＝Ｉ ・ ＝ ｌ ｅｄ ｙ
：
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利 用 极 坐 标 来 计 算 上 述 二 重 积 分 ， 司得 则
， ｄ －ｒ［ 一 ＝ ｅｄ三 一 ． ＝ ｒ ＝一 ］ ； ＇ － ｒ
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现在作坐锻
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‘ｎ１ ， ２ ” ＆ ） －
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松积分收敛 于每。一般 的教材 中计算泊松积分 比
较 繁琐 ， 笔者 在此 给 出泊松 积分 的几种 较 为简 便 的
证 明方 法 。
曰ｃ ， ：
／ … 、 ２ ＾ №
．＝Biblioteka １ １鼬州
，
１ 利 用 坐标 变 换 证 明
第 ２ 卷第４ ４ 期
２１年 １ ００ ２月
西昌学院学报 － 自然科 学版
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃ ａ ｇＣｏｌｇ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｉｏ ｏ ｒ ｌ ｈ ｎ ｌ ｅ－ ｔｒｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｎ ｏ Ｘｉ ｅ Ｓ ｉ
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７ 利 用钟 形 脉 冲 函数 的傅 ￣ ｎ 变 换 的 结 论证 － Ｉ －
明 钟形 脉 冲 函数 可表 示 为 ｆｔ＝ ｅ 。 中Ａ， （）Ａ ， 其 Ｂ＞ ０ 。在 工程 技 术 中讨论 不 规则 信 号 （ 噪声 信 号 ） 时将
而 ｏ ＞ ｒ ＝ 孚 ｅ ＇ ＞ 括＝
２ 利 用 厂函数 证 明
设ｘ ｔ ２， ＝ ： ＝
即 ｃ 叫 『 ｒ 所 ， 牡 ＝ 以 ＝ ， 。 ｒ １ 因， 甜 ｒ ＝ 曰专 睾 此ｆ ＝ ｃ ｄ 吾争 √ ＝
４ 利 用 Ｗａ¨ 公 式 证 明 ｌ ｓ
￣（ Ｊ 。 ｌｐ ｊ Ｂ
收稿 日期 ：００ ０ －１ ２１～ ２ １ 作者简介 ： 学明（９ １ ） 男， 钱 １８ 一 ， 江苏无锡人 ， 讲师 ， 士 ， 硕 主要从事高等数 学、 积分 变换教 学研 究。
所 ， ， 』 ２＝ 以（ ＝ ｔ２ ＋ ｄｆ 丽 ｔ
由 ＝ （等 ， …１ ｊ ｌ＋ ｉ ｍ
所 ：ｆｌｆ＋＿ ｄ ｆｅ 以ｊｅ ｊ ｉ【 ｊ ｘ 一 。 ｍ Ｉｊ ｌ ｘ ＋ ｌ
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