复变函数-第8章

设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
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§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
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不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )
∂u ∂u −i 则 f ′( z ) 可以表示为 f ′( z ) = , f ( z )将是这个解析函 ∂x ∂y 数的一个原函数. ∂u ∂u −i g ( z) = 定义 , 由于 u ( x, y ) 调和, g ( z ) 在 D 上满足柯 ∂x ∂y 西-黎曼方程 ∂ ∂u ∂ ∂u ( ) = (− ), ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂ ∂u ∂ ( ) = − (− ), ∂y ∂x ∂x ∂y 5
u ( x, y ) 和 v( x, y ) 都是区域 D 上的调和函数.
f 解析
?
u,v 调和
“调和”是 个体条件 u,v满足 C-R方程
f 解析
u,v 可微
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定义8.1.2 (共轭调和) 如果两个调和函数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 使 得 u ( x, y ) + iv( x, y ) 是解析函数, 则 v( x, y ) 称为 u ( x, y ) 的共轭 调和函数. 定义8.1.2’ (共轭调和) 在区域 D 内满足C-R方程的两个调和 函数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 中 v( x, y ) 称为 u ( x, y ) 的共轭调和函数. ★ 注意: “虚部”是“实部”的共轭调和函数. 反之不对. 即, 若 u + iv 解析, 但是 v + iu 不解析, 除非常数. f 解析 f 解析 函数. u,v 调和 u,v满足 C-R方程
x ⇒u =− 2 +c 2 x +y
⇒ f =c−
1 x y =c− . +i 2 x2 + y2 x + y2 z 1 1 f ( z) = − . 2 z
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再由条件 f (2) = 0 得到
补充例2 证明: 常(实)数函数的共轭调和函数必是常数函数. 等价地, 证明: 实部或者虚部为常数的解析函数必是常数. 证明: 首先, 常数函数是调和函数. P23 习题8
这样, 根据解析函数的最大模原理便可得到调和函数的最大 值原理. 而且, 由于 u ( z ) 的最小值点与 − u ( z ) 的最大值点是相同的. 因此有下面的调和函数的最大最小值原理.
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定理 3.4.12 (解析函数的最大模原理) 设 f ( z )在区域D内解析,
| f ( z ) | 在D内一点 z0 取到最大值, 则 f ( z ) 在区域D内是常数.
这里 a 是任意常数. 因此 u ( x, y ) 的共轭调和函数为 不唯一
v ( x, y ) = 3 x 2 y − y 3 − x − a ,
而相应的解析函数为
f ( z ) = x 3 − 3 xy 2 + y + i (3 x 2 y − y 3 − x + a )
即
f ( z ) = z 3 − i( z − a)
1 2π u ( z0 ) = u ( z0 + R eiθ )dθ 2π ∫0 即 u (z ) 在圆心 z0 的值等于它在圆周上的值的算术平均值.
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证明: 由定理8.1.2 知存在 u (z ) 的共轭调和函数 v(z ) , 使得
f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) 在 | z − z0 |≤ R 内解析.
利用解析函数的唯一性定理, 取x=z, y=0
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补充例1 构造解析函数 f = u + iv 满足条件 y v= 2 , f (2) = 0. 2 x +y 2 2 ∂ v ∂ v 解: 由于 2 + 2 = 0 ∂x ∂y 所以 v( x, y ) 在除去原点的平面上调和. 由柯西-黎曼方程.
x2 − y2 ∂u ∂v , = =− 2 2 2 (x + y ) ∂x ∂y 2 xy ∂u ∂v . =− = 2 2 2 ∂y ∂x ( x + y )
∂v ∂u = = 3x 2 − 3 y 2 , ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 6 xy − 1. ∂x ∂y
若把 x 看作常数, 对上面第一个方程关于 y 积分, 得到
v( x, y ) = 3 x 2 y − y 3 + ψ ( x).
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把上式代入第二个方程得到
∂v = 6 xy + ψ ' ( x) = 6 xy − 1. ∂x ⇒ ψ ' ( x) = −1 ⇒ ψ ( x) = − x + a
并且这些偏导数连续, 因此 g ( z ) 解析. 由定理3.2.2 和柯西积 分定理, 在单连通区域 D 上 g ( z ) 有一个原函数
G ( x) = φ ( x,由于 G ' ( z ) = g ( z ) , 故
∂φ ∂φ ∂u ∂u −i = −i . ∂x ∂y ∂x ∂y
即 u 与 v 在 D 内满足二维拉普拉斯(Laplace)方程:
Δu = 0, Δv = 0.
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定义8.1.1 (调和函数) 设 D 为区域, u ( x, y ) 为 D 上的实值函 数, 若 u ( x, y )的二阶偏导数在 D 上连续, 且在 D 上每一点处 都满足拉普拉斯方程, 则称 u ( x, y ) 为 D 上的调和函数. 事实上, 解析函数的实部和虚部都是其解析区域上的调和函 数, 利用定理3.4.5 以及柯西-黎曼方程, 立即得到下面定理. 定理8.1.1 若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 D 上解析, 则
第八章
调和函数
§8.1 调和函数与解析函数的关系
回忆复函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 与实函数 u ( x, y ), v( x, y ) 可微性之间的关系: f 可微 u,v可微 u,v满足 C-R方程
再注意到解析函数的无穷可微性质, 则 u ( x, y ), v( x, y ) 具有 二阶连续偏导数. 现在我们来研究应该如何选择 u 与 v 才能是函数 u+iv 解析.
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设 f = u + iv 在区域 D 内解析, 则由C-R方程 ∂v ∂u ∂v ∂u =− . = , ∂x ∂y ∂y ∂x
∂ 2v ∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2u , . ⇒ 2 = =− 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂x ∂ 2v ∂ 2v 因 与 在 D 内连续, 它们必相等, 故在 D 内有 ∂x∂y ∂y∂x ∂ 2u ∂ 2u ∂2 ∂2 + 2 = 0, Δ≡ 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 同理, 在 D 内有 ∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 2 拉普拉斯算子 ∂x ∂y
比较上式两边的实部, 并令 R1 → R , 即为所求. 特别地在式(8.5)中令 z0 = 0 , 有
1 u (0) = 2π
∫
2π
0
u ( R eiθ )dθ
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2. 极值定理 设 u ( x, y )是调和函数, f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是由 u ( x, y )决定
f (z) 的在单连通区域 D 上的解析函数. 观察函数 e :
e f ( z ) = e u ( z ) +iv ( z ) = e u ( z ) eiv ( z ) = eu ( z )
由于实变量的幂函数是严格单调增函数, 上面方程表明 u ( x, y )
f (z) 的最大值点与解析函数 e 的最大模点是一致的.
v是u的共轭调和函数
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下面的定理说明单连通区域上的调和函数一定存在共轭调和
定理 8.1.2 设 u ( x, y ) 是单连通区域 D 上的调和函数, 则存在 解析函数 f ( z ) ,使得在 D 上有 u ( x, y ) = Re f ( z ) . 证明: 假设存在这样的解析函数, 也就是有