复变函数第三章习题答案

第三章柯西定理柯西积分

掌握内容：

1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()C

f z dz =⎰0 。

2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则

()()()...()n

C

C C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰1

2

，其中,,...

n

C C C 1

2

是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。

3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。

柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()

()C

f z dz if z z z π=-⎰

00

2 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()

()()()!

n n C

f z i dz f z z z n π+=-⎰

0102

习题：

1.计算积分⎰++-i

dz ix y x 102)(积分路径是直线段。

解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：

在积分路径上：x y =，所以

3

131

21212131211

03222321

1

21

1

21

1

2

10

10

2

10

2

10

2

i x ix y i x ix x dx

ix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x i

i

+-=

-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-i

i

dz z 。积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，

（3）左半单位圆。 解：

（1）令z x i y =+，

则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，

所以

1

1

i

i

z dz iydy iydy i

--=-+=⎰⎰⎰

（2）令i z re θ

=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===

//2

2

2i i i

z dz ie d i πθπθ--=

=⎰

⎰

（3）令i z re θ

=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===

//2

32

2i

i i

z dz ie d i πθπθ-==⎰⎰

5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。

（1）cos C dz z ⎰，（2）222C dz z z ++⎰，（3）256z

C

e dz z z ++⎰，

解：（1）因为函数cos 1z 在单位圆所围的区域内解析，所以cos 0C

dz

z =⎰。 （2）因为函数

2122z z ++在单位圆内解析，所以2022C

dz

z z =++⎰。 C

（3）因为函数()()

215623z

e z z z z =

++++的不解析点不包含在单位围线之内，所以由柯西积分定理有：2056z

C

e dz z z =++⎰

6.计算1z dz z =⎰，1z dz z =⎰，||1z dz z =⎰，||1

z dz

z =⎰。 解：

（1）由柯西积分公式：()

()00

2C

f z dz if z z z π=-⎰

，其中，0z 在围线内。 ()1f z =，所以

()1

202z dz

if i z ππ===⎰

（2）被积函数

1

z

在复平面上不是解析函数，所以不能用柯西积分定理和柯西积分公式，其积分值与积分路径有关。根据积分路径1z =，令i z e θ=，则

21

0i z dz

ie

d z π

θ

θ===⎰⎰

（3）被积变量为dz ，根据积分路径1z =，令i z e θ=，则：

()i i dz d e ie d d θθθθ

===

|||i i z dz e e d z i θπθ

πθ--===-=⎰⎰22001

（4）根据积分路径1z =，令i z e θ=，

|

|z dz

d z

πθπ===⎰

⎰201

2 7.由积分2C dz z +⎰之值，证明cos cos 20

12054d π

θ

θθ+=+⎰，其中C 取单位圆。

证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，

， 2z =-1z =02

c

dz

z =+⎰i z re θ=1z =cos sin i z e i θθθ==+()cos sin i dz ie d i i d θθθθθ==+