第三章复变函数的积分(答案)

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分

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§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分

一．选择题

1．设C 为从原点沿2

y x =至1i +的弧段，则2()C

x iy dz +=⎰

[ ]

（A ）

1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15

66

i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C

zdz =⎰

[ ]

（A ）

4

π

（B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i +

3．设C 是从0到12

i π+的直线段，则z

C ze dz =⎰ [ ]

（A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12

ei π

-

4．设()f z 在复平面处处解析且

()2i

i

f z dz i ππ

π-=⎰，则积分()i

i

f z dz ππ--=⎰

[ ]

（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题

1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则

2C

zdz =⎰

2 。

2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22

32

(4)

C

z z dz z -+=-⎰

10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1）

323262121

()02i

z

i

i

z i i i e

dz

e

e e ππππππ---=

=-=⎰

（2）

2

2222sin

1cos2sin 222

4sin 2.244i

i

i

i

i i zdz

z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ

ππππ------⎛⎫

==- ⎪⎝⎭⎛⎫

--=-=-=+

⎪⎝

⎭

⎰⎰

（3）

1

1

0sin (sin cos )sin1cos1.

z zdz

z z z =-=-⎰

（4）

20

222

cos sin 1sin sin().2

22

i

i

z z dz

z i ππππ=

=⋅=-⎰

2．计算积分

||C z

dz z ⎰的值，其中C 为正向圆周：

（1）

220

0||2

2,022224.

2

i i i z C z e e ie d id i θθππθ

θπ

θθπ-==≤≤⋅==⎰

⎰积分曲线的方程为

则原积分I=

（2）

220

0||4

4,024448.

4

i i i z C z e e ie d id i θθ

π

πθθπ

θθπ-==≤≤⋅==⎰

⎰积分曲线的方程为

则原积分I=

3．分别沿y x =与2

y x =算出积分10

()i

i z dz +-⎰

的值。

解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为

(1),

01z i t t =+≤≤

则原积分

1

1

1

20

[(1)](1)(12)[(1)]2

I i i t i dt

i t dt i t t i =--+=--=--=-⎰⎰

（2）沿2

y x =的积分曲线方程为

2,

01z t it t =+≤≤

则原积分

1

20

1

1

3224300

[()](12)3112

[32(1)][()]2.2233I i t it it dt

t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+⎰⎰

4．计算下列积分

(1)

2()C

x y ix dz -+⎰

,C:从0到1i +的直线段；

C 的方程：

(1),01z i t t =+≤≤

(),01()x t t

t y t t

=⎧≤≤⎨

=⎩或

则原积分

1

20

12

0[](1)1

(1).

3

I t t it i dt

i i t dt =-++-=-=⎰⎰

(2)

2()C

z zz dz +⎰

，C ：||1z =上沿正向从1到1-。

C 的方程：

,

0i z e θθπ=≤≤

则原积分

20

330

(1)8().

33i i i i i i I e ie d e i e

e d e π

θθπ

θπ

θ

θ

θθ

θ=+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰