复变函数与积分变换第三章习题解答

｀＇
C1
C2
H
部且互不相交也互不包含 ， 则由复合闭路定理 及
的内 2分别为以a,-a 为心半径充分小的圆周使C 均在C (iii) 当 a 与 -a在 C的内部时 ， 设 C PC 2 1 ,C
z-a 衣 = 2丘 l 二－＝冗1 cz+a z- a t -a
=
(iv) 当 a 与 -a 都在 C的外部时 ， 由 Cauchy-Gourssat 定理得
I沿下列路线计算积分
(1) 自原点到 3+i 的直线段
I。勹证。
习题三解答
解 Cl) t 千是
(3) 自原点沿虚轴至） ， 再由 1 沿水平方向右至3+i 0
y =f,
(2) 自原点沿实轴至 3, 再由 3 沿垂直向上至 3+i; =3t,
O�t�I, 故 Z = 31 +i I, 0幻sl. dz = (3+i炉 (z) 3+i C1 C2 y
函数—
。:
z为 D内圆周Iz I= I上 的任惹 一 点 ， 用在 D内 的任惹 一 条曲线 C 连结原
个解析函数。
jo 1+(
1
l+(
=
2 心
f
在计算 从 — 了在右半平面解析 ， 故
1
0 到 z沿任惹 一条曲线 C 的积分时 与积分路径无
1 0 i e 1/ I 寸 0 2icos77 d7J. (分子分母同乘以 J+ e 2- "1), dr; =芒 2 心＋ 砌 o l+x fo l+e 4 0 2+2cos 2r;
6) 5)
i 1 -cos2 之心＝（三_ sin2z汇＝（冗一 .!.sh 2兀）1 3) J.: sin2 zdz= r ·m i 2 2 2 4
.
==0
2)
I 3z1� 16= -i/3 f烹oich 3zdz= -sh ; 3
9. 计算下列积分
z fl+ tan dz= (tanz+ tan 2 z / 2)1;= -( tanI+ _!_tan2I+ _!_th2l)+i th I 2 I 2 2 cos z 3 扣二+ )dz,其中C:lzl=4为正向 z +I z+ 2i
f
2 -a cz
z
idz = O。
，
内时 ， 当z在C , 。
证明：
当z在C 2内时 ，
z=O 处解析？试举例说明 之 。
解 不一定
。
16. 设函数氏）在 0<1 zkl内解析 ， 且沿任何圆周 C: I z I= r, 0 < r < I的积分为零，问八z)是否需在
3
，
立其中C为以已，土�i为顶点的正向菱形 f 2 5 c z -i
，
C :IzI= 1为正向
解
I)
2)
扣上十二）dz=2
2i 心＝ f— z +I
C
2 C
z+l z+2i
冗
i(4+3) = 14Jri 2i/(z-i) dz = 0 z+i
＿ _ J刊 上中
3)
C=C1 +C2
小
2冗i 2冗i cos z cosz cos z �dz = f�dz-f�dz = —(cos z)"长－—(cosz)" l::o = 0 2! 2! z c, z Ci z
C
：
f。 位 -i)e-2dz= (i-1-z)e
i
气
I�=1 -cos 1 +i(s i n1-1)
l)
2) 3)
小z 2i+
2
co尸心其中cl :lz l = 2为正向，C = 3为负向 2 :IzI C=C1 +C2 z
-3 -
f
l
心 ， 其中C:Iz-Ll = 6为正向
4)
5)
农 其中a为IaI* 1的任何复数 f c位-a) ez
寸兰丑dz=2 1上 ＝已， c z-a z+a :王” a dz]
I
六气亡 士 fa[£
e dz =矿沺 /(z+i) : j cZ +l c z-i
2
2 [ n- i-0]=
于
＝冗 le
=2 冗j
z+i z=i
_!_
二
- 2冗
积分公式有 ：
(7) 因被积 函数的奇点 z= 妇在 C 的内部 ， z= 士2i在 C 的外部 ， 故 由 复合闭路定理 及 Cauchy dz 寸 2 dz 2 =f f 2 dz 2 2 i, 一 ¼ 1 1,+i1•¼(z + l)(z +4) l)(z + 4) + ( +l)( C(z i z z +4)
解
f
C
解
5. 计算积分 fc 三 dz 的值， 其中 C为正向圆周： (I) z l l=2; (2) z l l 4
l 砬 =p-dz =2兀i'(利用柯西积分公式） C z
t
刮z = 2tri, 其中 C 为正向单位圆周巨 l=l
。
11=4
乞
冗
(J) 因在 Iz 1=2上有 IzI== 2 , z·z =I叶=4' 从而有乞＝ －， 故有
(os, s 1)
o
(3)
故
C3 : z = it(0�t�1); c�: z=3t+i
l。
『 z 心=f�9t
2 +i i i
1
� 心z = Lz d,+r 心z
26. 2 -3dt+ f{3+ i t) . j dt=6+—I 0 3
=f
。
x= 3t,
C2 之参数方程为
故
C3 z油+f C4 z dz•
3. 设氏）在单连域 D 内解析
，
C为D 内任何一条正向简单闭曲线 f cRe[J(z)}iz =f c lm[J(z)}iz =0
=(l+i
代叶
切
-i +¾i
0
，
问
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解 未必成立。令八z)= z, C :lzl =L则氏）在全平面上解析，但是
-I-
C
冗 冗 1 1 =- -- =0 +21r1 一 2 2 (z i)(z + 4) t= -i 3 3 （社 i)(z + 4)�=i
冗
i Sin Zlz=O= Q
C
8. 计算下列各题：
'
ez dz 2 冗 ni i 4 — PC 5 =— ( e :Y l Iz =O=— 4! 12 z 3) f: sin2 zdz: 4) tzs i nzdz;
MNNl'M
（应 当 -a 在
C的各种不同位置 ， 计算积分 f 2 d z。 Cz -a Ci) 当 a在 C的内部而 -a在 C的外部时 z z +a z � —衣 = 2冗I — ＝冗i。 fC z2 z 2 dz= fcz-a z+a z=o a C的内部而 a在 C的外部时 ， fc 2 - 2 z a z dz = f
i
(
2
号
cO
1) r:jie2zdz:
i
e 2z 解 1) J芢d 产 _冗, 2
31ri
5)
f。 亿 -i)e沺；
2) f°ch3zdz ; ii
6)
3m
一汀I
f
I
l+tanz 心（
COS Z
2
沿l到的直线段）。
—
4) f 。 zsinzdz= (sin z- zcos z)I�=sin1-cos 1
-4 -
故 Re [
共部分为 B 。 如果 f伈）在B1 -B 与B2 -B内解析 ， 在 证明
1 3. 设 cl 与 C 2为相交干 M、N两点的简单闭曲线
店炉归
f
，
cl 、C2上也解析
MENGM
它们所围的区域分别为B, 与B2 。
，
证明:}八 z)dz = �f 伈） dz �
Bi 与B2的公 f( z)dz = 0
宣
(4) (5) ( 6)由柯西基本定理知 ： 其结果均为0
1 正气衣 =f 一 (z+iXz +4) 如fz+il: lz 气 z +j z- J 3
2
I
1
=2冗i
(8)由
Cauchy 积分公式，
(9)由 高阶求导公式， (10)由高阶求导公式
fc ,'�"�『心 �2 i(sin,)
兀
f sinzdz =2
I。
: z 由=JJ3r +i t)\3+i肋
+I 2
(2)
I:
打
/dz = �··(. 止+f c, z油+f C2/dz•
2
l。
1 I 26. I =...:.(3+i)3 t3 1 =-(3+i)1=6+—I 3 3 3 0
=(3 + i)3
I
t d,
2
C3
{
x = 3, y =t,
(Ost 釭）； c, 之参数方程为{ y = t,
15. 设
f
2 气
-a 2
z心 =
fc, z -a +fc2 z +a
L.±..ff. 改