第三章 复变函数的积分习题与解答
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
第三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分3.1 单项选择题3---1设C 是z=e θi ,θ从-π至π的一周，则，⎰Cdz z )Re(=( )(a) -π(B)π(C)- πi (D) πi3---2设C 同3-1题，⎰Cdz z )Im(=( )(A)-π (B) π (C)- πi (D) πi3---3积分曲线C 同上题，则⎰C dz z =( )(A) 0 (B)2π (C)2πi (D)-2πi 3---4设C 为z=eθi ,θ从-2π至2π的一段，则dz z C ⎰=（）(A) i (B)2i (c)-2i (D)-i3---5设C 是z=iy,-1≤y ≤1沿虚轴自上而下的线段，则dz z C⎰=（）（A ）i (B)-i (C)2i (D)-2i 3---6设C 是从z=0到z=1+i 的直线段，则dz z C⎰=()(A)1+i (B)21i + (C)e i 4π- (D)e i 4π3---7设C 是从z=0到z=1再到z=1+i 的折线段，则dz z C⎰=( )(A)21+i(22+iln(1+2)) (B) 21+2i (2+ln(1+2)) (C)21-2i (2+ln(1+2)) (D) 21+2i(2-ln(1+2)) 3---8设C 是从z=0到z=2+i 的线段, 则⎰Cdz z )Re(=( )(A) 2+i (B)2-i (C)1+i/2 (D)1-i/2 3---9设C 是从z=0到z=1再到z=1+i 的折线, 则⎰Cdz z )Re(=( )(A)2 (B)2i (C)2+2i (D)2-2i3---10设C 是z=(1+i)t,t 是从1到2的线段，则⎰Czdz arg =（）(A)4π (B)4πi (C) 4π(1+i) (D)1+i 3---11设C 是z=eθi ,θ从-π至π的一段，则⎰Czdz arg =（ ）（A ）-π-2i (B) -π (C) π+2i (D) π-2i3---12设C 是z=(1-i)t,t 是从1到0的一段, 则⎰C dz z =( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 3---13设C 是z=eθi ,θ从0至2π的一周，则⎰C dz z =( )(A)0 (B)2π(C)-2π (D)2πi3---14设C 是以-1,1和i 三点为顶点的三角形边界，则dz z C⎰=()(A) 2+i (B)1+i (C) –2(1-i) (D)1-i3---15设C 是单位圆=1的上半部分逆时针方向，则dz z C⎰-)1(=( )(A) 2i (B)2 (C) –2i (D)-2 3---16设C 同上题，则⎰-Cdz z )1(=( )(A) 2i-π (B)π-2i (C) π (D) 2i3-17 设C 是单位圆z=ei θ， 从2π 至0，则dz z C⎰-1 =（）（A ）4 （B ）-4 （C ）8 （D ）-8 3-18 设C 是z=ei θ一周正向,则dz Cz ⎰2=( )(A) 2 (B)-2 (C)2i(D)03-19 设C 是单位圆1=z 正向一周,则=⎰dz z C( )(A)0(B)π2i (C)π2-i (D)π23-20 设C 是z=0到z=1+I 的直线段,则(=⎰dz Cze )(A)0 (B)()121--eii (C)()11--e ii (D)()eii --113-21 设C 为简单闭曲线正向,S 为C 所围成区域的面积,则=⎰dz z C ( )(A)2S (B-2S (C)2Si (D)-2Si3-22 C 为简单闭曲线,D 为C 所围区域,S 表示此区域的面积,则()dz z C⎰Im =( )(A)S (B)-S (C)Si (D)-Si 3-23 C 为简单闭曲线,D 为C 所围区域,S 是D 的面积,则()dz z C⎰Re =( )(A)S (B)-S (C)-Si (D)Is3-24 设C 是e i z θ=,θ从0至2π的弧段,则⎰C zdz ln =( ) (A)1-2π-i (B)2π-i (C)1-2π-i (D)1-2π+i3-25 C 是椭圆1422=+yx,则dz z zC⎰+2sin =( )(A)0 (B)-sin2 (c)2sin 2π (D)π2-isin2 3-26 设C 是圆e i z θ21=,则⎰-C z ee zsin dz=( ) (A)sin1 (B)π2i e1sin (C)e i 1sin 2π- (D)03-27⎰=12cos z zdz=( )(A)不存在 （B ）0 （C ）π （D ）π- 3-28⎰=++122z z z dz=( ).(A) 2πi (B)-2πi (C)0 (D)2π 解 z 2+2z+2=0的零点是-1+-i ，故被积函数在z 〈1内无奇点，积点为0. 选（C ） 3-29⎰=+122cos z z zdz=( ).(A)0 (B)-πi ( C)πi (D)2πi解 被积函数在z 〈1内处处解析，故积分为0. 选（A ）3-30 设C 是沿抛物线y=x 2-1,从（-1，0）至（1，0）的弧段，则dz z c⎰+)1sin(=（）。
第三章 复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =-⎰的值【答案 0】3.3 计算积分22d L zz a -⎰:其中0a >．设 L 分别为（1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=【答案 (1)0；（2）πia； (3)πia -】3.4 计算积分 Im d C z z⎰，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段；（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】3.5 计算积分 d ||C z zz ⎰的值，(1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】3.6 计算积分的值 π2icos d 2z z+⎰【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值（1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2d z ze z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi4i +】3.8 计算2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z zz z z e z z z z z ==-===-=--+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】3.9 计算积分 （1）π61ii(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z--⎰⎰⎰【答案13(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】3.10 计算复数123cos (1)d C C zzz +⎰，其中1:||2C z =顺时针方向；2:||3C z =逆时针方向．（2）3||1d ()zz e zz a =-⎰，其中复常数||1a ≠【答案 （1） 0；（2）当||1,0;||1,πi aa a e ><】 3.11 设L 为不经过点b 和b -的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就曲线L 与b 的各种可能计算积分的值．d ()()L zI zz b z b =+-⎰ 【答案 （1）L 不含b ±，则I=0;（2）L 含b ，πi bI =；L 含b -，πib I =-；（3）两点在内部 0I =】3.12 已知 π3||2()d e h z zξξξξ==-⎰，试求(i),(i)h h -，以及当||2z >时，()h z '的值. 【 ()π(i);(i)i);||2,()0h i h z h z '=-=>=】 3.13 计算积分 3d ()zC ze zz a -⎰，其中 常数a 在闭曲线C 内部【答案 1(2)2aa e +】3.14 设 C 为正向圆周1=z ，且||1a ≠，证明：积分222π1||22π||1||1 (||1)|d ||| (||1)a z a a z z a a -=-<⎧⎪=⎨->⎪⎩⎰3.15 利用积分 ||1d 2z zz =+⎰的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰3.16 计算积分 2|||d |,(||)||z r z a r z a =≠-⎰（提示：令i i :|d |d ,r z c z re z z θ=⇒=注意到点2,r aa 是关于圆周||z r =的对称点）3.17.已知2πsin 4()d f z zζζζζ==-⎰求(12i),(1),(1)f f f '-．3.18 计算积分（2）2||1cos d z z zz e z =⎰本章计算机仿真编程3.19 计算机仿真编程验证3.15的积分结果2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰3.20 计算机仿真计算下列积分的值 （沿非闭合路径的积分）π63πii i2123πi(1)d ; (2)ch3d ; (3)(1)d ;zz I e z I z z I z e z --===-⎰⎰⎰i4211tan (4)d ,cos zI z z +=⎰其积分的路径为沿1到i 的直线段．(说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机仿真编程Matlab 直接求解)。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
《复变函数》第四版习题解答第3章
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i +解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数积分习题与解答
第三章复变函数的积分习题与解答假如函数f (z)是在【 1】单连通地域； 【 2】复通地域中的分析函数，问其积分值与路径有 没关系 【答案 单连通 没关，复连通 有关】idz计算积分 |z| 2z 3 1 的值【答案 0 】idz计算积分L z2a 2 : 此中 a 0．设 L 分别为（1） (1)| z |a / 2;| z a | a;(3) | z a |a【答案 (1)0πiπi；（ 2） a ； (3) a】计算积分CIm zdz，此中积分曲线C 为（１）从原点到 2 i 的直线段；（２）上半圆周 | z| 1，起点为 1，终点为1；（３）圆周| za | R (R0)的正方向（逆时针方向）【答案(1)1 i / 2;(2) π/ 2;(3) πR 2 】izdz计算积分C | z | 的值，(1)| z | 2;(2) | z| 4;【答案 (1)4πi;(2)8 πi 】π 2i zdzcos计算积分的值2【答案 e 1/ e 】计算以下积分的值（ 1）idz2(3)i |z|dz 4;(4)i |z| 1( zdz|z| 1cosz ；（ 2） i|z| 2ze dz1z 22 z2i 1)(z 2)4πi【答案（ 1） 0；（ 2） 0 ；（ 3） 0 ；（ 4） 4 i 】计算e z(2)iz(1)i |z| 2z3 dz;|z| 2( z 1)2 (2 z 1) dz;(3)i|zcos zdz;(4)i |z|e zdz i| 1( z i) 31z 2(z2) (5)i |z|ez(6)idz1 z5dz;|zi| 2z 2 ( z 2 4)【答案 （ ） ；（ ） ；（ ） π icosi ；（ ）3πiπiπ 0 0 42；（ ）12 （ ）8 】1 2 35 6计算积分（1）(1)1 6πi i 1)e z dzzsin zdz; (2) 0 ch3zdz; (3) 0 ( z 【答案(1)sin1 cos1; (2) 1 i;(3)1 cos1 i[sin(1) 1]】3计算复数(1)cos 3z dz ，此中 C 1:| z | 2顺时针方向；C 2:| z | 3逆时针方向．CC（ 2）i|z|e zdz，此中复常数 | a | 11 ( z a)3【答案 （ 1） 0 ；（ 2）当 | a | 1,0;| a | 1,πe ai 】设 L 为不经过点 b 和 b 的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就曲线L 与 b 的各种可能计算积分的值．Ii L( z zb)dzb)( z（1） Lb ，则 I=0; （ 2）L 含 b ， Iπi b ，Iπi【答案 不含 b； L 含 b；（ 3）两点在内部 I0 】πh( z)i |e 3d已知 | 2，试求 h(i), h( i) ，以及当 | z | 2 时， h ( z) 的值 .z【h(i)π( 3 i); h( i) π(3 i);| z | 2, h ( z)0 】ize z计算积分C ( za)3dz，此中 常数 a 在闭曲线 C 内部1(2 a) e a【答案 2】设 C 为正向圆周z1，且 | a |1，证明：积分|dz |2 π(| a | 1)1 |a|222 π(| a | 1)i |z| 1 | z a |21|a|利用积分计算积分iidz|z| 1 z 2 的值，证明|dz | ,(| a | r ) |z| r| z a |22π1 2cosd 05 4cos（提示 ：令 c : z re i|dz | i r z dz, 注意到点 a, r2a 是关于圆周| z |r的对称点）. 已知sinπf ( z)4 d2z求 f (1 2i), f (1), f (1) ．cos z计算积分（2） i |z| 1e z z 2dz本章计算机仿真编程2π1 2cos5d计算机仿真编程考据的积分结果 4cos计算机仿真计算以下积分的值（沿非闭合路径的积分）(1)I 13 πi (2) I 2 6πich3zdz;(3) I 3i zdz;e 2 zdz;0 ( z 1)eπii1tan z(4) I 4cos 2 dz,1 到 i 的直线段．1z 其积分的路径为沿( 说明： 沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机仿真编程 Matlab 直接求解 )。
【精品】复变函数第三章习题答案
复变函数第三章习题答案------------------------------------------作者------------------------------------------日期第三章 柯西定理 柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...n C C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102 习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idydx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以3131212121312110322232112112112112102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dyix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ixy x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 复变函数的积分习题与解答
3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？
【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =
-⎰
的值
【答案 0】
3.3 计算积分
22d L z
z a -⎰:其中0a >．设 L 分别为
（1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=
【答案 (1)0；（2）
πi
a
； (3)πi
a -】
3.4 计算积分 Im d C z z
⎰，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段；
（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；
（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）
【答案 2
(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】
3.5 计算积分 d ||C z z
z ⎰的值，
(1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】
3.6 计算积分的值 π2i
cos d 2z z
+⎰
【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值
（1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2
d z z
e z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi
4i +】
3.8 计算
2||2||232|i|1||15
22||1|i|2(1)d ; (2)d ;
3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z
z z z e z z z z z ==-===-=--+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π
8-
】
3.9 计算积分 （1）
π6
1
i
i
(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z
--⎰⎰⎰
【答案
1
3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】
3.10 计算复数
123
cos (1)d C C z
z
z +⎰
，其中1:||2C z =顺时针方向；2:||3C z =逆时针方向．
（2）3||1d ()z
z e z
z a =-⎰，其中复常数||1a ≠
【答案 （1） 0；（2）当
||1,0;||1,πi a
a a e ><】 3.11 设L 为不经过点
b 和b -的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就
曲线L 与b 的各种可能计算积分的值．
d ()()
L z
I z
z b z b =+-⎰ 【答案 （1）L 不含b ±，则I=0;（2）L 含b ，πi b
I =；L 含b -，πi
b I =-；（3）两点在内
部 0I =】
3.12 已知 π3
||2()d e h z z
ξ
ξξ
ξ==-⎰，试求(i),(i)h h -，以及当||
2z >时，
()h z '的值. 【 ()π(i);(i)i);||2,()0h i h z h z '=-=>=】 3.13 计算积分 3d ()z
C ze z
z a -⎰，其中 常数a 在闭曲线C 内部
【答案 1
(2)2a
a e +】
3.14 设 C 为正向圆周
1=z ，且||1a ≠，证明：积分
222π
1||22π||1||1 (||1)
|d ||| (||1)
a z a a z z a a -=-<⎧⎪=⎨->⎪⎩⎰
3.15 利用积分 ||1d 2z z
z =+⎰的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰
3.16 计算积分 2
|||d |
,(||)||z r z a r z a =≠-⎰
（提示：令i i :|d |d ,
r z c z re z z θ=⇒=注意到点
2
,r a
a 是关于圆周||z r =的对称点）
3.17.已知
2πsin 4()d f z z
ζζζζ==-⎰
求(12i),(1),(1)f f f '-．
3.18 计算积分（2）2
||1cos d z z z
z e z =⎰
本章计算机仿真编程
3.19 计算机仿真编程验证3.15的积分结果2π
012cos d 0
54cos θ
θθ+=+⎰
3.20 计算机仿真计算下列积分的值 （沿非闭合路径的积分）
π6
3πi
i i
2123πi
(1)d ; (2)ch3d ; (3)(1)d ;
z
z I e z I z z I z e z --===-⎰⎰⎰
i
4211tan (4)d ,
cos z
I z z +=⎰
其积分的路径为沿1到i 的直线段．
(说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机
仿真编程Matlab 直接求解)。