绝杀中考压轴题：“辅助圆模型”
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有方法更有技巧
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有⽅法更有技巧
其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的圆模型，把握了这些⽅法与技
巧，就能台阶性地提⾼考⽣解决圆问题的能⼒！
关键词：#中考数学# #圆# #模型#
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现在有很多资料是关于”隐圆”的⽅法归纳，其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的
圆模型（共30页），学习都是有个循序渐进的过程。
与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是
试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。
⼀般都会在固定习题模型的基础上变化与扩展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习
题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。
把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性地帮助考⽣解决中考压轴题中有关圆的考题。
⽂末有获取资料⽅法
≡部分页⾯预览：
类型 1 弧中点的运⽤（部分页⾯）
类型 2 切割线互垂（部分页⾯）
类型 3 双切线组合（部分页⾯）
类型 4 圆内接等边三⾓形（部分页⾯）
类型 5 三切线组合（部分页⾯）
类型 6 圆外⼀点引圆的切线和直径的垂线（部分页⾯）
类型 7 直径在腰上（部分页⾯）
类型 8 阿⽒圆模型（以后专门有分类讨论，本⽂省略了）。
2024学年初中数学几何(辅助圆模型)模型专项练习(附答案)
2024学年初中数学几何（辅助圆模型）模型专项练习1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）A．5 B．1 C．2 D．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为 ．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 ．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C 长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．参考答案1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）A．5 B．1 C．2 D．3【过程解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 2﹣2．【过程解答】解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案为：2﹣2．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．【过程解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠P AB＝∠ACP，∴∠P AC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时P A＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 2+2．【过程解答】解：∵∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，∵AB＝4，AB是⊙O的直径，∴OE＝2，在Rt△OBC中，OC＝，∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，∴CE的最大值＝2+2．故答案为：2+2．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ﹣1．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．【过程解答】解：（1）找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上任取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CE＝BC＝1∴AE＝，∵P2E＝1，∴AP2＝﹣1．故答案为：﹣1．（2）如图所示：因为点M是AD的中点，∴AM＝MA′＝AD＝1，由于△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN∴MA′＝AM＝1是定值，当点A′在MC上时，A′C长度最小．过点M作ME⊥DC于点E∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠EDM＝60°，∴∠EMD＝30°，∴ED＝MD＝，∴EM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴A′C＝MC﹣MA′＝．答：A′C长度的最小值为．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF；由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小， 在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2．答：线段CP的最小值为2﹣2．。
中考热点题型攻略 与圆有关的压轴题 经典模型及精选例题 免费
中考热点题型攻略-——与圆有关的压轴题（精选例题讲解）
三、经典模型分析——等腰三角形模型（一）
与圆有关的压轴题偏爱等腰三角形，主要会遇到下以情形：
如图，已知△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，
方法指导：
1.由AB为直径，可有两种辅助线作法：连接AD或BE，都可以得到直角：
A
F
O
B
D
C
中考热点题型攻略-——与圆有关的压轴题（精选例题讲解）
四、经典考题：
例5：如图，△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D点，直线DP⊥BC于点E．
（1）求证：直线DP是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=120°，AB=4cm，求AC的长．
C
D
E
P
A
B
O
中考热点题型攻略-——与圆有关的压轴题（精选例题讲解）
思路和方法；
3.增强分析能力、解题能力、应考能力.
中考热点题型攻略-——与圆有关的压轴题（精选例题讲解）
二、与圆有关的压轴题的题型特点：
1.一般都与相切有关，一般有1--3问；
2.第1问一般为圆的切线的证明；
2.第2、3问、形式较灵活，主要有求弦长、求直径、求切线长、求
弦心距、求角度、求周长、求面积、证相似、证线段相等、证角
与圆有关的压轴题偏爱等腰三角形，主要会遇到下以情形：
如图，已知△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，
方法指导：
A
1.若已知BD=DC，则连接AD、OD
可得：OD是中位线、AD是BC的中垂线、AB=AC
O
E
2.若已知AE=EC，则连接BE、OE
可得：OE是中位线、BE是AC的中垂线、BA=BC
专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一遇弦作弦心距或半径】 (1)【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 (5)【类型三遇切线连接圆心和切点】 (15)【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】【答案】45cm/45厘米【分析】连接BO，延长OC即可求解．【详解】解：如图，连接【变式训练】【答案】5【分析】设光盘的圆心为的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为过点O 作OA 垂直直尺于点∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是∴()11022AB =⨯-=【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点∵水的最深处到水面AB 的距离为∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，AD AO =∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面拱门所在圆的半径为【答案】2.6【分析】如图所示，连接勾股定理建立方程221r =【详解】解：如图所示，连接【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AB 为O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC CD =，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证A D ∠=∠；(2)若»AE 的度数为108︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)27︒【分析】（1）连接BC ，首先证明AB BD =，即可求解；（2）根据»AE 的度数为108︒，可得到EBA ∠，根据EBA A D ∠=∠+∠，且A D ∠=∠，即可求解．【详解】（1）如图：连接BCAB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，即AD BC⊥【变式训练】【答案】4【分析】连接BO 并延长交根据含30︒角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接BO 则90BCD ∠=︒，∵30BAC ∠=︒，∴30D BAC ∠=∠=︒【答案】50︒/50度【分析】连接AC ，利用三角形外角的性质即可求出【详解】解：连接AC ，如图所示，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵100AED ∠=︒，ABD ∠∴40D ∠=︒，(1)求证：OE AC ∥；(2)若1AC =，4AB =，求【答案】(1)见解(2)10∴在Rt ABC △中，BC =∵OD BC ⊥，OE 是O(1)求证：CD DE=；(2)若12AB=，4=AD，求【答案】(1)证明见解析(2)8 3∴180DEB A ∠+∠=︒，又180DEB DEC ∠+∠=︒∴DEC A ∠=∠，∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠，∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠，∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =；（2）解：如图所示，连接AE ，∵AB 为直径，∴90AEB ∠=︒，∴90CAE C ∠+∠=︒，90AED DEC ∠+∠=︒，由（1）CD DE =，C DEC ∠=∠，∴CAE AED ∠=∠，∴AD DE =，∴AD DC =，∴28AC AD ==，由（1）可得BAC ADO ∠=∠，C ADO ∠=∠，则C BAC ∠=∠，∴12AB BC ==，设CE x =，则12BE x =-，∵2222AC CE AB BE -=-，(1)求证：点C是弧AB的三等分点．(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）如图所示，连接OD（2）∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵BOC 是等边三角形，∴6BC OA ==，∴2263AC AB BC =-=，∵1452ACD AOD ∠=∠=︒，是等腰三角形．(1)求证：ABC的直径，∵BC是O中，在Rt BCE【类型三遇切线连接圆心和切点】(1)求证：=；EC BC(2)若43AC=，CE=【答案】(1)见解析(2)1235的切线，为OCD∴⊥，OC CD，⊥AD CD∴∥，AD OC∴∠=∠，DAC ACO由（1）得：DAC CAB ∠=∠33CE BC ∴==，CD AE ⊥ ，CD CF ∴=，AB 是O 的直径，【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC PC =，则P ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．30︒D ．45︒【答案】C 【分析】连结OC ，根据切线的性质得到90PCO ∠=︒，根据OC OA =，得到A OCA ∠=∠，根据AC PC =，得到P A ∠=∠，在APC △中，根据三角形内角和定理可求得30P ∠=︒．【详解】解：如图，连结OC ，PC 是O 的切线，90PCO ∴∠=︒，OC OA = ，A OCA ∴∠=∠，AC PC = ，P A ∴∠=∠，设A OCA P x ∠=∠=∠=︒，在APC △中，180A P PCA ∠+∠+∠=︒，90180x x x ∴+++=，30x ∴=，30P ∴∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在APC △中，根据三角形内角和定理求P ∠是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在O 上，过点B 作O 的切线交OA 的A．1B．【答案】D【分析】连接OB，根据菱形的性质得到即可得到结论．四边形OABC是菱形，∴=，OA ABOA OB，=∴==，OA AB OB【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，【答案】36【分析】连接OD ，根据直角三角形的性质求出【详解】解：连接OD ，弦AB CD ⊥，90CPB ∴∠=︒．63ABC ∠=︒ ，906327PCB ∴∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得，254EOD PCB ∠=∠=︒，DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，905436E ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 为O 上两点，且点D 为 BC的中点，连接AC CD BD 、、．过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点D 作O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE AE ⊥；(2)若108BD DF ==，，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接OD AD 、，由点D 为 BC的中点可得BAD CAD BD CD ∠∠==，，再根据同圆的半径相等得BAD ODA ∠∠=，进而得到OD AE ，然后再根据切线的性质得到结论；∵点D 为BC 弧的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD BD ∠∠=，∵OA OD =，∴()AAS DCE DBF ≌，∴6CE BF ==【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，AB 为O 的直径，半径OD AB ⊥，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，O 的弦CD 与AB 相交于点F ．(1)求证：EF EC =；(2)若10OE =，且B 为EF 的中点，求O 的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC CE ⊥，求得90OCF ECF ∠+∠=︒，根据等腰三角形的性质得到OCF ODF ∠=∠，求得90ODF OFD ∠+∠=︒，得到ECF OFD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设O 的半径为r ，则OB OC r ==，求得10BE BF r ==-，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，OC CE ∴⊥，90∴∠=︒OCE ，即90OCF ECF ∠+∠=︒，∠(1)求证：BC平分ABD∠(2)连接OD，若ABD 【答案】(1)证明见解析(2)7∵直线l 与O 相切于点C ∴OC l ⊥于点C ．∴90OCD ∠=︒．∵BD l ⊥于点D ，∴=90BDC ∠︒．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 AB的中点．法）的切线，分别交(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作O∠=∠；①求证：F CBA（2）①证明：连接∠，CD平分ACB ∴∠=∠，ACD BCD∴=，AD BD∴⊥，OD AB。
中考必会几何模型：辅助圆
第十二章 辅助圆模型1 共端点，等线段模型图①O AC B图②BOC A图③OABC如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． 如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC .模型分析∵OA ＝OB ＝OC .∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝12∠AOB .同理可证∠BAC ＝12∠BOC .（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°.21BCDA证明证法一：如图①，∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.图①21CDAB小猿热搜1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．12PBACE DA D21PE CB证明∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．A CBDBCEDA解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，∴BD＝22BE ED-＝()222a b-＝224a b-．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，∴A、B、C、D四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例例1 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF＝∠ADE．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB 、DF .∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF =45°，∠DBC =45°， ∴∠DBF =90°． 又∵∠DEF =90°，∴D 、E 、B 、F 四点共圆． ∴∠DFE =∠DBE =45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE =DE ．1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：FG BCFGEDB证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG ，同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG ， 因此，∠DBC=∠DFG ． 于是FG ∥BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.HEFB3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.B CRQA D4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.AEHDBC补充：为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
中考复习微专题----辅助圆问题及题例(一)
E
BE'F',则点B'的运动轨迹是⊙E上的一段弧，
半径为线段BE 。
B
F
D
【问题呈现】：如图，已知点O及一点C,OC=3,点A,B分别是平面内的动点，且OA=2, BC=4,请在平面内画出点A,B的运动轨迹。
【问题解析】：点A的轨迹是以点O为圆心，OA长 为半径的圆;
点B的轨迹是以点O为圆心，OB长为半径的圆;
线段CH即为点C到弦AB的最大距离，则此时 ������△������������������ 最大。
AAA
H H BBB
模型2：线圆最值（2）
P
【基本模型】：如图，直线AB与⊙O相离，点P 为⊙O上一动点,设圆心O到直线AB的距离为d， 的半径为r,则点P到直线AB的最小距离是d−r,点 P到直线AB的最大距离是d+r。
y
4
3 y= 3x+ 3
2
A
1
B –2 –1 O
–1
–2
C
x 1 2 3 4 5
Q
–3
本节课你的收获是什么？
A
2 3
C
O
4
B
【问题呈现】：如图，已知平行四边形ABCD,点E为AD边上一点，点F为边AB上一D 动点，将△AEF沿EF折叠得到△A'EF,请在图中画出点A'在平行四边形ABCD内（含 边上的点）的运动轨迹。
【问题解析】：点A'的运动轨迹是以点E为圆 心，AE长为半径的⊙E的弧MN上;
D
C
M A'
������ ������ + ������ ，最小值是 ������ ������ − ������ 。
【问题解析】：因为图中AB为定直线，点Q为⊙C 上的一个动点,要求点Q到直线AB距离的最大值和最 小值，已知⊙C的半径为1，关键在于求出圆心C到 直线AB的距离;
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。
尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。
这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。
本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。
一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。
图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。
解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。
过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。
类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。
在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。
如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。
当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。
图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。
专题02“辅助圆”模型解决最值问题(解析版)
1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D【分析】当A ，M ，C 三点共线时，线段CM 的长度最小，求出此时CM 的长度即可．【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M 在以A 为圆心，3为半径的圆上．2．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【分析】如图，连接DF 、BF ．如图，连接DF 、BF ．首先证明1302FDB FAB Ð=Ð=°，再证明FAD FBC D @D ，推出15ADF FCB Ð=Ð=°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．策略一：角处理的常见策略“边对角”问题属角的存在性问题特例，具备角处理的通用解法，比如“一线三等角”，“母子型相似”，“整体旋转法”策略二：“边对角”→辅助圆（本节重点）由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图：注意：有圆，常有“定边对定角”；反过来，有“定边对定角”常可以构造辅助圆。
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辅助圆
模型1 . 共端点，等线段模型
分析：
（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。
一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。
例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。
求证：∠1+∠2=90°。
证明：
利用模型构造辅助圆，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠2，
∵∠BAC=2∠1，
∴2∠2+2∠1=180°，
∴∠1+∠2=90°。
方法二：
利用模型构造辅助圆，
延长CA交圆于点E，
联结BE，∵CA是直径,
∴∠EBC=90°。
∴∠E+∠2=90°，
∵∠1=∠E，
∴∠1+∠2=90°
针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。
求证：∠1=∠2。
提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆
可知关键的相等关系，
∠1=2∠BDC,
∠BDC=∠EBD，
∠2=2∠BDC，
∠1=∠2。
模型2. 直角三角形共斜边模型
分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。
例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，
求证：∠ADF=∠ADE。
证明：
利用模型，可知
B、C、E、F四点共圆，
∴∠FBE=∠FCE,
B、D、H、F四点共圆，
∴∠ADF=∠FBE,
D、C、
E、H四点共圆，
∴∠ADE=∠FCE,
∴∠ADF=∠ADE。
针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。
求：∠AHD=∠AHE。
提示：
利用模型可知，
A、D、T、E四点共圆，
且AT为直径，联结OH,
∵AH⊥BC，
∴△ATH是直角三角形。
∴OH=1/2AT（O是AT中点）,
∴点H在圆上，
∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。
∴△ATD≌△ATE,
∴AD=AE,
∴∠AHD=∠AHE。