圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题—泊松积分公式
数学物理方程泊松方程
在保险精算中，泊松方程可以用来预测未来的风险和 损失。
股票市场预测
在股票市场中，泊松方程可以用来预测股票价格的波 动和趋势。
泊松方程的扩展
04
非线性泊松方程
ห้องสมุดไป่ตู้
非线性泊松方程
在泊松方程的基础上，引入非线 性项，使其能够描述更复杂的物 理现象。
求解方法
由于非线性项的存在，求解非线 性泊松方程的难度增加，需要采 用迭代法、有限元法等数值解法。
泊松方程的来源和重要性
泊松方程的起源可以追溯到18世纪的数学和物理学领域。它是由法国数学家和物理学家西莫恩·德尼· 泊松在研究电场和重力场问题时提出的。
泊松方程在数学物理、工程技术和科学计算等领域具有广泛的应用价值。它涉及到许多物理现象和工 程问题的建模与求解，如静电场、位势论、量子力学和流体动力学等。因此，掌握泊松方程的基本理 论和方法对于深入理解和解决实际问题至关重要。
应用领域
非线性泊松方程在物理学、工程 学等领域有广泛的应用，如描述 晶体生长、流体动力学等。
泊松方程的数值解法
有限差分法
将泊松方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法
将求解区域划分为若干个小的单元，对每个单元进行近似求解，再 通过求解全局方程得到最终结果。
应用领域
数值解法广泛应用于实际问题的求解，如工程设计、物理模拟等。
泊松方程的应用
03
在物理中的应用
描述粒子在势场中的运动
泊松方程可以描述粒子在势场中的运 动，例如在量子力学和经典力学中， 粒子在势能场中的运动可以用泊松方 程来描述。
电磁波传播
热传导问题
在热传导问题中，泊松方程可以用来 描述温度场的变化和分布。
8_6泊松方程
Laplace方程的一般解
w( ρ , ϕ ) = C0 + D0 ln ρ + ∑ ρ m ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )
m =1
∞
+ ∑ ρ − m (Cm cos mϕ + Dm sin mϕ ).
m =1
8
∞
由于是圆内问题，因此在圆心处，解应为有限值。但是，在 一般解中lnρ 和 半径ρ负幂项在圆心处为无限大，所以应当排 除，即
10
小结 分离变量法、傅里叶级数法、冲量定理法和非其次边界条 件的处理方法。可以求解最一般的有界定解问题： 泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次 初始条件－－非零值
11
一、一般的有界波动和输运问题 法1、边界条件齐次化。 泛定方程－－非齐次 泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次 初始条件－－非零值
边界条件－－齐次 初始条件－－非零值
法2、利用叠加原理转化为两个简单的定解问题。
12
二、一般的有界稳定场问题 法1、用特解法，将非齐次方程转化为齐次方程。 法2、利用叠加原理转化为两个简单的可直接求解的定解问题。 注意: (1) 本章研究的全是定义在有界区域的定解问题，并且可 以用分离变数(傅立叶级数)法求解，但是并非任何有界的线性 的定解问题都能用此方法求解。例如变系数的线性偏微分方程
6
分离变量，令
w( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ(ϕ ),
Φ′′ + λΦ = 0,
得到两个常微分方程
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0,
利用周期性边界条件， Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ), 得到本征值问题
泊松过程
由 E [ X ( t )] t 可知， 表示单位时间 t 内事件A发生的平均个数，因此也称 λ为此过程的 速度或强度。 由定义1可知，为了确定一个任意的计数过程 实际上是一个泊松过程，必须证明它同时满足定 义中的（1）、（2）、（3）三个条件，其中条 件（1）只是说明事件的计数过程是从时刻t=0开 始的，条件（2）根据我们对计数过程了解的情况 直接验证，而对于条件（3）我们全然不知道如何 去满足。
n n Pn j (t ) Pj (h) Pj (h) j 2 j 2 Pj (h) P( N (h) N (0) 2) o(h) j 2
e t Pn(t ) Pn (t ) e t Pn 1 (t ) d t e Pn (t ) e t Pn 1 (t ) dt
t
所以P N (t s ) N ( s ) n e
( t ) n , (n 0,1, 2 ) n ！
定义2定义1，得证
3.2.3 几个简单的泊松过程例子
例3.1考虑某一电话交换台在某段时间接到 的呼叫。令 X(t)表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。
P N (t h) N (t ) 1 P N (h) N (0) 1 ( h ) n e h h 1! n! n 0 h[1 h o(h)]
h
h o( h)
P N (t h) N (t ) 2 P N (h) N (0) 2 P N (h) N (0) n
t
(2)对n1，建立递推公式
Pn (t h) P N (t h) n P N (t h) N (0) n P [ N (t h) N (t )] [ N (t ) N (0)] n P [ N (t h) N (t )] [ N (t ) N (0)] n | N (t h) N (t ) j P N (t h) N (t ) j
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
[理学]泊松过程
![[理学]泊松过程](https://img.taocdn.com/s3/m/1adb4b175a8102d276a22fe4.png)
(2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )； (4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间 隔(s, t)内事件出现的次数. ) s ) t
一类很重要的计数过程是Poisson过程.
5
Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内 到达的呼叫次数, 其状态空间为 E={0，1，2，…} 此过程有如下特点： 1) 零初值性：N( t )=0; 2) 独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔 内到达的呼叫次数相互独立;
(t )
n
n！
21
3.2 泊松过程的性质
• 数字特征 设{X(t),t0}是参数为的泊松过程， 对任意t,s[0,)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
（1） 当n 0时 P0 ( t h) PN ( t h) 0
PN ( t h) N (0) 0
PN ( t ) N (0) 0, N ( t h) N ( t ) 0 P0 ( t )[1 h o( h)]
PN ( t ) N (0) 0PN ( t h) N ( t ) 0
n0
e e
iun n0
t
e
t
exp te
(t ) (te ) t e n! n! n0
n iu
iu n
expt (e
iu
泊松方程4pi
泊松方程4pi摘要：1.泊松方程的定义与背景2.泊松方程的求解方法3.4π在泊松方程中的应用4.泊松方程在实际问题中的重要性正文：1.泊松方程的定义与背景泊松方程是物理学和数学领域中一种描述波动现象的偏微分方程，由法国数学家泊松于1827 年提出。
泊松方程广泛应用于声学、流体力学、地震学等领域，描述了波动在各向同性介质中的传播规律。
2.泊松方程的求解方法泊松方程是一个三维空间中的线性偏微分方程，其一般形式为：φ= f(x, y, z)其中，φ表示波动函数，f(x, y, z) 表示波动源。
泊松方程的求解方法有很多，如分离变量法、特征值法等。
对于简单的波动问题，可以利用分离变量法将泊松方程化为一组简单的一维方程，从而求解。
而对于复杂的波动问题，可以采用特征值法等数值方法进行求解。
3.4π在泊松方程中的应用在泊松方程中，4π是一个非常重要的常数。
当波动源f(x, y, z) 为狄拉克δ函数时，泊松方程的解为：φ(x, y, z) = 4π ∫ [δ(x - x")] / √(x + y + z) dτ其中，∫表示积分，δ(x - x") 表示狄拉克δ函数，√(x + y + z) 表示空间坐标(x, y, z) 到原点(0, 0, 0) 的距离。
这个解描述了一个球对称的波动传播过程，4π起到了一个比例系数的作用。
4.泊松方程在实际问题中的重要性泊松方程在实际问题中具有很高的应用价值。
例如，在声学领域，泊松方程可以用来描述声波在空气中的传播规律；在流体力学领域，泊松方程可以用来描述流体中的波动现象；在地震学领域，泊松方程可以用来描述地震波在地球内部的传播规律等。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
数学物理方法 第十二章 格林函数解的积分公式
9
Poisson 方程： 考虑非齐次边值问题
n
r'
T r
u f ( r ), r T (12.1.4) u u ( M ) n
2
O
0, 0 第一边值问题或狄里希利问题 0, 0 第二边值问题或诺依曼问题 0, 0 第三边值问题
T
T
z K r0 y
ε
u ( r0 ) v ( r , r0 ) f ( r )dV v ( r , r0 ) u( r ) v( r , r0 ) n u( r ) n dS
T
o
x
——泊松方程的基本积分公式
2 0 ln(| ' |) C dq ( ' , ' ) , 令C 0 2 0 ln(| ' |) du ( , ) d q ( ' , ' ) 2 0
dq ( ' , ' )
T K T K
2
２ （的半径）
1 1 4 | r r0 | 4
立体角
0（V 不包含 r0 )
1 1 1 2 )dS u r d u(r0 ) 2 r 4 r
vf dV u v dS u ( 1 n (r ) 4
· (x, y, z) /0 E=
2
G代表位于( , , )的带电量为 0 )的点电荷在( x, y, z )产生的电势。 (
二维无界空间Green公式
泊松方程 u=f (x, y)
拉普拉斯(Laplace)方程
区域Ω外部流场的速度分布。如果所考虑的流体是位势流，即流场是有势的，换句话
4
说，u = ∇ϕ，其中u是流体的速度函数，ϕ 是其速度势，而且所考察的流体是不可压
缩的，那么速度势ϕ在Ω的外部满足三维的Laplace方程(1.1) (其中n = 3)，并且在绕流
物体的边界∂Ω上满足
∂ϕ ∂n
∂Ω
=
0.这样，决定Ω外部流场的速度分布问题就归结为一个
§ 1. 方程的导出及定解条件的提法
L::a:p::la::c:e:方:::程::(又称为调:::和::方:::程::)
u
n i=1
∂2u ∂x2i
=
0
(1.1)
和Poisson方程
u
n i=1
∂2u ∂x2i
=
f (x1, · · ·
, xn)
(1.2)
是 最 基 本 、 但 也 是 最 重 要 的 一 类 偏 微 分 方 程 ， 其 中u = u(x1, · · · , xn)是 未 知 函
1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
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圆和半平面上的狄利克雷（Dirichlet ）问题—泊松积分公式在第一章的§2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。
在这一节中，我们将继续阐述这种联系。
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet ）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。
例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。
我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数(,)T r θ来描述的。
若圆柱体表面的温度是已知的，是由2sin cos θθ所给定的，由于(1,)T θ在01,02r θ≤≥≤≥上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数(,)T r θ，使得2(1,) sin cos T θθθ=。
这就是我们所要解的迪利希莱问题。
图 2.8我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。
这种方法将在以后讨论。
在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。
一．圆的迪利希莱问题对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。
考虑z-复平面上半径为R ，中心为原点的圆（见图2.9）设f(z)是在圆周z R =上及其内解析的函数。
图2.9对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z ，我们有1()()2w R f w f z dw i w zπ==-⎰ (2-25)令2R z z =，它位于过圆点和点z 的射线上，且21R z R z=>，因此，1z 位于圆的外部。
于是，由柯西定理，我们有 211()1()02-2w Rw Rw f w f w dw dw R iw z izππ==-==⎰⎰. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得221()().2()()w RR z z f z f w dw R i w z w z π=⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰(2-27) 令e i i w R z re φθ==，,于是θi re z -=。
将它们代入(2-27)式，我们有222()e 1()(e )2(e )(e )i i i i i i i i R re e R r f z f R d R R re R e r θθφπφφθφθφπ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰. 将分子和分母同时乘以()()i r e Rφθ-+-，则分子22R r =-，分母222()()2cos()i i i i i i Re re Re re Re re R r Rr φθφθφθφθ--=--=-=+--。
于是，最后我们有2222201()()(e ).22cos()i R r f z f R d R r Rr πφφπφθ-=+--⎰现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是，()(,)(,)i f re U r iV r θθθ=+, ()(,)(,)i f Re U R iV R φφφ=+,上述方程成为[]2222201(,)(,)(,)(,)22cos()R r U r iV r U R iV R d i R r Rr πθθφφφπφθ-+=++--⎰ 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）公式222221(,)()(,)22cos()U R R r U r d R r Rr πφθφπφθ-=+--⎰, (2-28)对(,)V r θ与(,)V R ϕ，我们也有类似的公式。
泊松积分公式（2-28）是重要的。
这个公式告诉我们：当U 在圆周R w =上的取值(,)U R φ已知时，则调和函数(,)U r θ在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出。
由于我们要求f(z)在这半径为R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数(,)U R φ是连续的。
事实上，这条件可放宽成允许(,)U R φ有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立。
例2-6 如图2.10所示，设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半。
上半管10R φπ=<<（，）保持1伏特的电位，下半管12R πφπ=<<（，）保持-1伏特的电位。
求在管内任何一点r θ（，）的势。
图 210 解：由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的。
由公式（2-28），R=1，我们有2222221(1)1(1)(,)212cos()212cos()r r U r d d r r r r πππθφφπφθπφθ--=-+--+--⎰⎰ . （2-29） 在每个积分中，我们作变数变换x φθ=-,并利用下述积分公式cos dx a b x =+⎣⎦⎰ . (2-30)取 212a r b r =+=-，=1+r 2，b==-2r ，我们得到. 1111(,)2arctan tan()arctan tan()arctan tan()1221212r r rU r r r rπθθθθππ⎧+++⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-----⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得(,)U r θ对一切r<1是连续的和(1,)U θ仅在裂缝0θ=和πθ=时是不连续的。
二．对于半平面的迪利希莱问题我们的问题是要在上半-+=iv u w 平面上求一个函数),(v u ϕ,使得它在上半平面(v >0的区域)上是调和的,而在实数轴v =0上),(v u ϕ必须满足欲先给定的边界条件)0,(u ϕ.设),(),()(v u i v u w f ψϕ+=在0≥v 上是解析的.考虑闭围道R C ,它由半径为R 的上半圆周R γ和实数轴上的线段[]R R l R ,-所组成。
令z 是C R 內任何一点，由柯西积分公式，我们有dw zw w f i z f R C ⎰-=)(21)(π (2-32) 由于z 位于上半平面，则z 必位于下半平面，因此，它必在C R 的外部。
于是，据柯西定理，有dw zw w f i R C ⎰-=)(210π (2-33)将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得111()()()21()()1()()1()()2()()2()()2()()RR R R C C l f z f w dw i w z w z f w z z z z f w z z f w dw dw dw i w z w z i w z w z i w z w z γππππ=------==+------⎰⎰⎰⎰令z x iy =+，则iy x z -=。
上式右端的第二个积分I 2等于⎰-+-RR y x u duu f y22)()(π . （2-35）记（2-34）右端的第一个积分为1I ，在R γ上e it w R =，120(e )(e )e .()()()Ritit it f R R yf R yI dR dt w z w z R z πγππ≤≤---⎰⎰。
若在上半平面v ≥上∞<≤M w f )(，则得12()RI y M R z ≤⋅⋅-。
于是，对任意给定的点z ，我们有01lim =∞→IR . (2-36)由于（2-34）式对任何()R C R z >都是成立的，因此,我们有⎰+∞∞-∞→+-=+=2221)()()()(lim y x u duu f yI I z f R π .将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示，()(,)(,)f z x y i x y φψ=+，()(,)(,)f w u v i u v φψ=+，由（2-37）式，我们有22(,0)(,0)(,)(,)()yu i u x y i x y du u x yφψφψπ+∞-∞++=-+⎰于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:22(,0)(,)()yu x y du u x yφφπ+∞-∞=-+⎰（2-38）关于),(y x ψ与)0,(u ψ也有相似的公式。
当ϕ在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数),(y x ϕ在上半平面内每一点的值。
我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。
若没有这个限制，还能找到其他的解。
在我们的推导过程中，我们假定，),(v u ϕ是在闭上半平面0≥=w I v m 上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数)0,(u ϕ对∞-<u<+∞是连续的。
事实上，这个要求可以放松，若)0,(u ϕ有有限多个跳跃点（既第一类不连续点），方程（2-38）仍然是成立的。
例 2-7 如图2.12所示,上半空间0>w I m 充满着导热的物质。
在边界v=0,u>0上，温度保持在0o C ，而在边界v=0,u<0，上，温度保持在o 0C T 。
求整个导体的稳定的温度分布),(y x ϕ。
解 我们知道，温度),(y x ϕ是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的。
我们有;0,)0,(0<=u T u ϕ，又0,0)0,(>=u u ϕ，于是⎰⎰+∞∞-+-++-=0220220)(0)(),(y x u duy y x u du T yy x ππϕ第二个积分是零。
在第一个积分中作变量变换p=x-u ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=-∞-∞⎰y x tg T y p tg T yp dp yT y x x x10102202|),(ππππϕ . (2-39) 由于arctan()arctan()2xy yxπθ-==，故00),(0T T y x ≤=≤θπϕ。
.。