泊松公式的解
如何记忆泊松分布公式
如何记忆泊松分布公式
记忆泊松分布公式的方法如下：
1. 理解公式：首先，理解泊松分布公式P(N(t)=n) = (λt)^n e^(-λt) / n!
的含义。
这个公式表示在一段时间 t 内发生 n 次事件的概率。
其中λ 是事
件的平均发生率，n! 表示 n 的阶乘。
2. 分步骤记忆：
指数部分：e^(-λt) 是指数部分，表示事件发生的概率随时间 t 的增加而
减小。
(λt)^n 部分：表示在时间 t 内发生 n 次事件的概率。
1/n! 部分：表示 n 次事件发生的组合方式，即从 n+1 次事件中选出 n 次发生的组合数。
3. 关联记忆：将公式中的每个部分与实际场景关联起来，例如可以将公式中的每个部分与生活中的某个场景相联系，通过联想记忆法来记忆。
4. 重复练习：通过多次重复练习来加深对公式的印象，例如可以自己推导公式、使用公式解题目等。
5. 制作笔记：将公式的推导过程、例题、解释等记录下来，方便查阅和复习。
通过以上方法，可以有效地记忆泊松分布公式。
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程是数学物理中的一个重要方程，描述了二维空间中的电势分布。
它是由法国数学家泊松于19世纪初提出的，被广泛应用于电磁场、流体力学、热传导等领域中。
泊松方程的推导公式如下：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ表示电势，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
这个公式可以用来计算电势场中的电势分布。
在二维情况下，泊松方程可以简化为：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² = -ρ/ε₀接下来，我们来推导一下泊松方程的解。
假设在一个有限区域Ω内有一些电荷，我们想要求解这些电荷在区域Ω中的电势分布。
我们可以将Ω分成很多小的网格，然后在每个网格上求解电势的值。
假设第i个网格的电势为φᵢ，那么根据泊松方程，我们可以得到：∂²φᵢ/∂x² + ∂²φᵢ/∂y² = -ρᵢ/ε₀其中，ρᵢ表示在第i个网格内的电荷密度。
我们可以将二阶偏导数离散化，用差分来表示。
假设Δx和Δy分别表示网格在x和y方向上的间距，那么可以得到：(φᵢ₊₁ⱼ- 2φᵢⱼ+ φᵢ₋₁ⱼ)/Δx² + (φᵢⱼ₊₁- 2φᵢⱼ+ φᵢⱼ₋₁)/Δy² = -ρᵢⱼ/ε₀我们可以进一步化简上述公式，得到：φᵢ₊₁ⱼ + φᵢ₋₁ⱼ + φᵢⱼ₊₁ + φᵢⱼ₋₁ - 4φᵢⱼ = -Δx²Δy²ρᵢⱼ/ε₀这个公式可以用于求解电势的值。
我们可以通过迭代的方式，从初值开始，逐步更新每个网格的电势值，直到达到收敛条件为止。
在每次迭代中，我们可以根据上述公式来更新每个网格的电势值。
泊松方程还有一种边界条件，即边界上的电势值是已知的。
在实际问题中，我们通常会给定一些边界条件，例如，某些区域的电势值是已知的，或者电势在边界上的法向导数是已知的。
这些边界条件可以帮助我们更好地求解泊松方程。
总结一下，泊松方程是描述二维空间中电势分布的重要方程。
泊松分布公式掌握泊松分布的关键公式
泊松分布公式掌握泊松分布的关键公式泊松分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在一个固定间隔内，事件在单位时间内发生的次数的概率分布情况。
泊松分布公式是求解泊松分布概率的关键公式。
本文将详细介绍泊松分布公式及其应用。
一、泊松分布的基本概念在介绍泊松分布公式之前，我们先来了解一下泊松分布的基本概念。
泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在一个固定时间或空间间隔内，事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布适用于以下条件：1. 事件在不同时间或空间间隔内独立发生；2. 在每个小的时间或空间间隔内，事件发生的概率非常小；3. 在整个时间或空间区间内，事件发生的次数不受前一次事件发生与否的影响。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间或单位空间间隔内事件的平均发生次数。
二、泊松分布公式的推导泊松分布公式的推导过程比较复杂，这里我们只给出最终的公式结果。
通过对泊松分布的概率质量函数进行数学推导，可以得到以下泊松分布公式：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间或单位空间间隔内事件的平均发生次数。
三、泊松分布公式的应用泊松分布公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景的例子：1. 网络流量管理在网络流量管理中，泊松分布可用于描述网络中数据包到达的概率分布情况。
通过泊松分布公式，可以计算出单位时间内到达指定网口的数据包数目的概率。
2. 声音信号处理在声音信号处理领域，泊松分布可用于描述声音信号中事件（例如声音片段、语音信号等）的出现频率。
通过泊松分布公式，可以计算出在给定时间段内出现特定声音片段的概率。
3. 电话呼叫量预测在电话通信领域，泊松分布可用于预测特定时间段内的总呼叫量或某个时间间隔内的呼叫数量。
通过泊松分布公式，可以计算出在给定时间段内呼叫特定数量的概率。
利用泊松积分公式求解下列定解问题
利用泊松积分公式求解下列定解问题Using Poisson Integral Formula to Solve the Following Boundary Value Problem泊松积分公式是一种常用的数学工具，用于求解具有特定边界条件的偏微分方程。
在许多科学和工程问题中，我们经常会遇到需要求解定解问题的情况。
本文将介绍如何利用泊松积分公式来解决这些问题，并以一个具体的例子进行说明。
问题的定解形式为：偏微分方程：$\Delta u = f(x, y)$，其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子，$u$ 是未知函数，$f(x,y)$ 是已知函数。
边界条件：$u(x, y) = g(x, y)$，其中 $g(x, y)$ 是已知函数。
我们的目标是求解方程 $\Delta u = f(x, y)$ 在给定边界条件 $u(x, y) = g(x, y)$ 下的解 $u(x, y)$。
首先，我们将问题转化为一个解析函数的问题。
定义新函数 $U(x, y) = u(x, y) - g(x, y)$。
由于$u(x, y) = g(x, y)$ 是边界条件，因此 $U(x, y)$ 在边界上的值为零。
我们现在需要求解 $\Delta U = \Delta u - \Delta g = f(x, y) - \Delta g$。
接下来，利用泊松积分公式，我们可以得到 $U(x, y)$ 的解析表达式：$$U(x, y) = \frac{1}{2\pi}\iint_D \frac{f(\xi, \eta) - \Delta g(\xi, \eta)}{r} ds,$$其中 $D$ 是包含边界的区域，$(\xi, \eta)$ 是 $D$ 中的任意点，$r = \sqrt{(x - \xi)^2 + (y -\eta)^2}$ 是 $(x, y)$ 和 $(\xi, \eta)$ 之间的距离，$ds$ 表示 $D$ 上的面积元素。
泊松公式热学
泊松公式热学泊松公式是热学领域中一个重要的公式，被广泛应用于热传导、热辐射、热对流等方面的计算。
它是由法国数学家泊松在19世纪初提出的，是热学领域中的一大突破。
本文将为大家详细介绍泊松公式的相关知识。
热学是自然科学中的一个重要分支，研究物体在不同温度下的热现象及其规律，是物理学、化学、地质学等多学科交叉的领域。
其中，热传导、热辐射、热对流等是热学研究的重点内容。
在这些研究中，泊松公式具有重要的应用价值。
泊松公式的基本思想是：在某一点上，热的流入量等于热的流出量，即热通量是相等的。
这个思想在热学中被称为“热平衡原理”，它是热学研究的基础之一。
泊松公式是在三维空间中对热通量的计算公式，它的表达式为：q=-k∇T其中，q为热通量，k为热传导系数，∇T为温度梯度。
这个公式的含义是：热通量的大小与热传导系数成正比，与温度梯度成反比。
当物体温度变化较小时，可以将温度梯度看作是常数，此时热通量与热传导系数成正比。
泊松公式在热学研究中的应用非常广泛。
例如，在热传导中，可以利用泊松公式计算物体内部的热流密度分布，从而预测物体的温度变化。
在热辐射中，可以利用泊松公式计算辐射通量的分布，从而预测物体的辐射热量。
在热对流中，可以利用泊松公式计算流体的温度分布，从而预测流体的运动状态。
除了泊松公式外，热学中还有许多其他的重要公式，例如傅里叶热传导定律、斯特藩-玻尔兹曼定律等。
这些公式的应用使得热学研究更加深入，为实际工程应用提供了强有力的理论支持。
泊松公式作为热学中的重要公式，广泛应用于热传导、热辐射、热对流等方面的研究中。
它的基本思想是热平衡原理，可以帮助我们更好地理解物体的热现象及其规律。
随着热学研究的不断深入，我们相信泊松公式的应用价值将会得到更加广泛的认可和应用。
常用十个泊松展开公式
常用十个泊松展开公式1. 泊松公式$$e^{-\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} $$2. 泊松分布的概率质量函数$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$3. 期望值泊松分布的期望值为 lambda。
$$E(X) = \lambda$$4. 方差泊松分布的方差也为 lambda。
$$Var(X) = \lambda$$5. 合并多个泊松分布如果有两个独立的泊松分布，其参数分别为 lambda1 和lambda2，那么合并后的泊松分布参数为 lambda = lambda1 + lambda2。
6. 次序统计量对于独立同分布的泊松随机变量 X1, X2, ..., Xn，它们的次序统计量满足以下公式：$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq ... \leq X_{(n)}$$7. 泊松分布的中位数和众数泊松分布的中位数近似等于 lambda，众数近似等于floor(lambda) 或 ceil(lambda)。
8. 泊松分布的性质- 泊松分布是一种离散概率分布，用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
- 泊松分布的取值范围是非负整数。
- 泊松分布的参数 lambda 表示单位时间内事件的平均发生次数。
- 泊松分布是二项分布的一种特殊情况，当二项分布中的 n 很大但 p 很小时，可以用泊松分布来逼近。
9. 泊松分布的应用领域泊松分布在实际生活中的应用十分广泛，例如：- 电话接线员接到的电话数量。
- 网络服务器收到的请求数量。
- 单位时间内航班抵达某机场的次数。
- 某设备的故障次数。
10. 泊松展开公式的推导泊松展开公式是将多项式展开成指数级数的公式。
其推导过程比较复杂，可以在相关教材或数学论文中找到详细的推导方法。
以上是常用的十个泊松展开公式的介绍，希望对您有所帮助。
圆域内的泊松公式
圆域内的泊松公式泊松公式是数学中的一种重要公式，它在物理、工程、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将重点介绍在圆域内的泊松公式及其应用。
泊松公式是数学中的一种积分公式，用于计算圆域内的调和函数。
在数学中，调和函数是满足拉普拉斯方程（Laplace's equation）的函数，而拉普拉斯方程是一种二阶偏微分方程，描述了在没有源或汇的情况下的物理问题。
在圆域内的泊松公式的表达式如下：\[u(\rho,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta')\fr ac{a^2-\rho^2}{a^2-2a\rho\cos(\theta-\theta')+\rho^2}d\theta'\]其中，\(u(\rho,\theta)\)是圆域内的调和函数，\(f(\theta')\)是给定的边界条件函数，\(\rho\)是极径，\(\theta\)是极角，\(a\)是圆域的半径。
泊松公式的应用非常广泛。
例如，在电动力学中，泊松公式可用于计算电势分布；在热传导中，泊松公式可用于计算温度分布；在流体力学中，泊松公式可用于计算速度场；在统计学中，泊松公式可用于计算概率分布。
在电动力学中的应用中，我们可以将圆域内的泊松公式应用于求解电势分布。
假设有一个圆形金属板，其边界上施加了一定的电势分布，我们希望求解圆板内的电势分布。
首先，我们需要确定边界条件函数\(f(\theta')\)，即给定边界上的电势分布。
然后，我们可以使用泊松公式计算圆板内任意点的电势，进而得到整个圆板内的电势分布。
在热传导中的应用中，我们可以将圆域内的泊松公式应用于求解温度分布。
假设有一个圆形金属板，其边界上施加了一定的温度分布，我们希望求解圆板内的温度分布。
首先，我们需要确定边界条件函数\(f(\theta')\)，即给定边界上的温度分布。
然后，我们可以使用泊松公式计算圆板内任意点的温度，进而得到整个圆板内的温度分布。
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
泊松分布累加公式
P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!
P(X=k-1)=(e^(-λ)*λ^(k-1))/(k-1)!
可以将P(X=k-1)除以λ，得到：
P(X=k-1)/λ=(e^(-λ)*λ^(k-1))/(k-1)!/λ
=(e^(-λ)*λ^(k-1))/k!
我们知道λ=∞,P(X=∞)=0,所以可以将上面的每一项根据λ进行累加，得到：
P(X≤k)≈e^(-λ)*λ^k/k!
这样，我们就获得了泊松分布的累加公式。通过这个公式，我们可以计算出事件发生次数小于等于k的概率。
P(X≤k-1)/λ+P(X=k)/λ=(e^(-λ)*λ^(k-1))/k!/λ+(e^(-λ)*λ^k)/k!
=(e^(-λ)*λ^(k-1)+e^(-λ)*λ^k)/k!
=e^(-λ)*(λ^(k-1)+λ^k)/k!
=e^(-λ)*λ^k*(1/λ+1)/k!
=e^(-λ)*λ^k/k!*(1/λ+1)
泊松分布累加公式
泊松分布是一种概率分布，它被广泛应用于事件发生次数的概率计算中。在泊松分布中，随机变量X表示单位时间（或单位空间）内事件发生的次数，而λ表示单位时间（或单位空间）内事件发生的平均次数。
泊松分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：
P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!
泊松分布的累加公式是指计算事件发生次数小于等于一些值的概率。下面我会详细解释泊松分布的累加公式的推导过程。
=e^(-λ)*λ^k/k!*(1+1/λ)
由于P(X≤k-1)/λ+P(X=k)/λ=P(X≤k)/λ，所以可以将上面的累加公式进一步简化为：
泊松公式描述了矢量相对于时间的导数
泊松公式描述了矢量相对于时间的导数泊松公式描述了矢量相对于时间的导数作为文章写手，我将为您深入探讨泊松公式这一主题。
我们将从简单的概念开始，逐步深入，以便您能够全面理解这个重要的数学概念。
1. 泊松公式的基本概念在物理学和数学中，泊松公式是描述了矢量相对于时间的导数的一个重要公式。
它是用来描述系统中的运动和变化，对于理解动力学系统非常重要。
泊松公式的形式如下：\[\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}\]其中，\(A\) 是系统中的任意矢量，\(H\) 是哈密顿量，\(\{A, H\}\) 是泊松括号。
这个公式揭示了矢量\(A\)随时间的变化规律，可以帮助我们理解系统的动力学特性。
2. 泊松公式的深度解析为了更深入地理解泊松公式，我们需要对其中的各个部分进行深度解析。
泊松括号\(\{A, H\}\)表示的是矢量\(A\)和哈密顿量\(H\)的坐标之间的偏导数关系。
它可以用来描述系统的相空间中的运动轨迹，对于动力学系统的稳定性研究非常重要。
另外，公式中的\(\frac{\partial A}{\partial t}\)则表示了矢量\(A\)随时间的变化率，它可以帮助我们理解系统的时间演化规律。
通过对这两个部分的分析，我们可以更好地理解泊松公式对于描述系统动力学行为的重要性。
3. 泊松公式的应用领域泊松公式在物理学、天文学、流体力学等领域都有着重要的应用。
在经典力学中，它可以用来描述刚体运动、流体运动等复杂系统的动力学行为。
在量子力学中，泊松公式也有重要的意义，可以帮助我们理解量子系统的时间演化规律。
而在天体力学中，泊松公式则可以用来描述行星、恒星等天体的运动轨迹，对于天体运动的研究具有重要意义。
4. 个人观点和理解对于我个人来说，泊松公式是一个非常深奥而又有趣的数学概念。
它不仅可以帮助我们理解物理现象背后的数学规律，还可以启发我们对于系统运动规律的深入思考。
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圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题
—泊松积分公式
在第二章的中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系. 在这一节中，我们将继续阐述这种联系.
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值. 例如，一半径为1的圆柱体充满导热的物质. 我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,θ)来描述的. 若圆柱体表面的温度是已知的，是由sinθcos2θ所T(r,θ)在0≤r≥1,0≤θ≥2π上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,θ)，使得T(1,θ)= sinθcos2θ. 这就是我们所要解的迪利希莱问题.
我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法. 这种方法将在以后讨论. 在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况. 一．圆的迪利希莱问题
对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的. 考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆. 设f(z)是在圆周z=R上及其内解析的函数.
对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有
f(z)=i
π21⎰=-R w z w w f )(dw. (2-25)
令z=z R 2，它位于过圆点和点z 的射线上，且1z =z R 2>R ，因此，1z 位于圆z ≤R 的外部. 于是，由柯西定理，我们有
0=i π21
⎰=-R w z w z f 1)(dw =dw z
R w w f i R w ⎰=-2)(21π. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 f(z)=
.))(()(21
22dw z R w z w z R z w f i R w ⎰=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---π (2-27) 令w=Re θi ，z=re θi ,于是θi re z -=. 将它们代入(2-27)式，我们有 f(z)=ϕππθϕθϕϕθθϕd e r R re e r R re f i i i i i i i i ⎰⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2022))(Re (Re Re )()(Re 21
. 将分子和分母同时乘以)()(θϕ+--i e R r ，则
分子=R 22r -，
分母=(Re )cos(2Re ))(Re 222)()()(θϕθϕθϕθϕ--+==-------Rr r R r r r i i i ， 于是，最后我们有 f(z)=.)(Re ))
cos(2(21202222ϕθϕπϕπ
d f Rr r R r R i ⎰--+- 现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是，
f(re ),(),()θθθr iV r U i +=, f(Re ),(),()ϕϕϕR IV R U i +=,上述方程成为 U(r,[]ϕϕϕθϕπθθπd R iV R U Rr r R r R i r iV ),(),()
cos(221),()202222+--+-=+⎰ 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）
公式
U(r,⎰--+-=π
θθϕϕπθ202222)
cos(2))(,(21)d Rr r R r R R U (2-28) 对V(r,)θ与V(R,)ϕ，我们也有类似的公式.
泊松积分公式（2-28）是重要的. 这个公式告诉我们：当U 在圆周R w =上的取值U(R,)ϕ已知时，则调和函数U(r,)θ在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出.
由于我们要求f(z)在这半径为R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,)ϕ是连续的. 事实上，这条件可放宽成允许U(R,)ϕ有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立.
例 设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半. 上半管（R=1，0<ϕ<π）保持1伏特的电位，下半管（R=1，πϕπ2<<）保持-1伏特的电位. 求在管内任何一点（r ，θ）的势.
解 由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的. 由公式（2-28），R=1，我们有 U(πθ21),=r ⎰⎰--+----+-πππ
θϕϕπθϕϕ2222022)
cos(21)1(21)cos(21)1(r r d r r r d r . （2-29） 在每个积分中，我们作变数变换x=θϕ-,并利用下述积分公式
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=+-⎰b a x tg b a tg b a x b a dx )2(2
cos 22122. (2-30) 取 a=1+r 2，b==-2r ，我们得到 U(r,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+---+---+=---))2(11())2(11())22(11(21)111θθπθππθtg r r tg tg r r tg tg r r tg .
由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,)θ对一切r<1是连续的和U （1,)θ仅在裂缝θ=0和πθ=时是不连续的.
二．对于半平面的迪利希莱问题
我们的问题是要在上半-+=iv u w 平面上求一个函数),(v u ϕ,使得它在上半平面(v >0的区域)上是调和的,而在实数轴v =0上),(v u ϕ必须满足欲先给定的边界条件)0,(u ϕ.
设),(),()(v u i v u w f ψϕ+=在0≥v 上是解析的.考虑闭围道R C ,它由半
径为R 的上半圆周R γ和实数轴上的线段[]R R l R ,-所组成. 令z 是C R 內任何一点，由柯西积分公式，我们有
dw z
w w f i z f R C ⎰-=)(21)(π. (2-32) 由于z 位于上半平面，则z 必位于下半平面，因此，它必在C R 的外部. 于是，据柯西定理，有
dw z
w w f i R C ⎰-=)(210π. (2-33) 将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得
--=⎰R C z w w f i z f 1)((21)(πdw z
w )1- =⎰⎰⎰---+---=---R R R l C dw z w z w w f z z i dw z w z w w f z z i dw z w z w z z w f i ))(()()(21))(()()(21)
)(())((21πππγ. 令z=x+iy ，则iy x z -=. 上式右端的第二个积分I 2等于
⎰-+-R R y x u du u f y
22)()(π. （2-35） 记（2-34）右端的第一个积分为I 1，在R γ上it w Re =，
⎰⎰-≤--≤πγππ021.)()(Re Re )
)(()(Re dt z R R f y d z w z w f y
I it it it R 若在上半平面v ≥上∞<≤M w f )(，则得21)
(z R R M
y I -≤. 于是，对任意给定的点z ，我们有 01lim =∞→I
R . (2-36)
由于（2-34）式对任何C )(z R R >都是成立的，因此,我们有
⎰+∞∞-∞→+-=
+=2221)()()()(lim y x u du u f y
I I z f R π. 将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示
f(z)=),(),(y x i y x ψϕ+，f(w)=),(),(v u i v u ψϕ+，由（2-37）式，我们有
),(),(y x i y x ψϕ+=du y x u u i u y ⎰+∞∞-+-+22)()
0,()0,(ψϕπ
于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:
=),(y x ϕdu y x u u y ⎰+∞∞-+-22)()
0,(ϕπ （2-38）
关于),(y x ψ与)0,(u ψ也有相似的公式.
当ϕ在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数),(y x ϕ在上半平面内每一点的值. 我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的. 若没有这个限制，还能找到其他的解. 在我们的推导过程中，我们假定，),(v u ϕ是在闭上半平面0≥=w I v m 上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数)0,(u ϕ对∞-<u<+∞是连续的. 事实上，这个要求可以放松，若)0,(u ϕ有有限多个跳跃点（既第一类不连续点），方程（2-38）仍然是成立的.
例 上半空间0>w I m 充满着导热的物质. 在边界v=0,u>0上，温度保持在0C 0，而在边界v=0,u<0，上，温度保持在C T 00. 求整个导体的稳定的温度分布),(y x ϕ.
解 我们知道，温度),(y x ϕ是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的. 我们有;0,)0,(0<=u T u ϕ，又0,0)0,(>=u u ϕ，于是
⎰⎰+∞∞-+-++-=0220
220)(0)(),(y x u du y y x u du
T y y x ππϕ
第二个积分是零. 在第一个积分中作变量变换p=x-u ，则 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
-==+=-∞-∞⎰y x tg T y p tg T y p dp y T y x x x 10
102202|),(π
πππϕ.
(2-39) 由于θπ==---)()(211x y tg y x tg ，故00
),(0T T y x ≤=≤θπϕ.。