泊松方程
泊松方程：描述光在介质中传播时的波动现象
泊松方程：描述光在介质中传播时的波动现象章节一：引言光是一种电磁波，它在介质中传播时会出现波动现象。
为了描述光传播的行为，泊松方程被广泛应用。
泊松方程是一个偏微分方程，可以用来描述光波在介质中的传播过程。
本文将介绍泊松方程的基本原理以及它在光学中的应用。
章节二：泊松方程的基本原理泊松方程是一个二阶偏微分方程，可以用来描述一个标量函数在空间中的分布情况。
对于光学来说，我们通常关注的是电场或磁场的分布情况。
泊松方程可以用以下形式表示：∇²φ= f其中，φ是待求的标量函数，∇²表示拉普拉斯算子，f是给定的源项。
在光学中，源项通常是电荷或电流密度。
泊松方程的解取决于给定的边界条件。
边界条件定义了标量函数在空间边界上的取值。
根据不同的边界条件，我们可以求解出不同的泊松方程的解。
章节三：泊松方程在光学中的应用在光学中，泊松方程常被用来描述光在介质中的传播行为。
介质可以是均匀的，也可以是非均匀的。
根据介质的性质不同，我们可以得到不同形式的泊松方程。
在均匀介质中，泊松方程可以简化为：∇²E = 0其中，E是电场。
这个方程描述了光在均匀介质中的传播行为。
根据这个方程，我们可以计算出光的传播速度和传播方向。
在非均匀介质中，泊松方程的形式会有所不同。
根据介质的分布情况，我们需要考虑介质的折射率分布。
泊松方程可以写成：∇²E + k²n²E = 0其中，n是介质的折射率，k是波矢。
这个方程描述了光在非均匀介质中的传播行为。
通过求解这个方程，我们可以得到光的传播路径和传播角度。
除了描述光的传播行为外，泊松方程还可以用来解决其他光学问题。
例如，我们可以用泊松方程来计算光场的强度分布、相位分布以及干涉和衍射现象。
章节四：光在介质中的波动现象光在介质中传播时会出现波动现象。
介质对光的传播产生影响，例如折射、反射和散射等。
这些现象可以用泊松方程来描述。
当光传播到介质的边界上时，会发生折射现象。
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程是数学物理中的一个重要方程，描述了二维空间中的电势分布。
它是由法国数学家泊松于19世纪初提出的，被广泛应用于电磁场、流体力学、热传导等领域中。
泊松方程的推导公式如下：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ表示电势，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
这个公式可以用来计算电势场中的电势分布。
在二维情况下，泊松方程可以简化为：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² = -ρ/ε₀接下来，我们来推导一下泊松方程的解。
假设在一个有限区域Ω内有一些电荷，我们想要求解这些电荷在区域Ω中的电势分布。
我们可以将Ω分成很多小的网格，然后在每个网格上求解电势的值。
假设第i个网格的电势为φᵢ，那么根据泊松方程，我们可以得到：∂²φᵢ/∂x² + ∂²φᵢ/∂y² = -ρᵢ/ε₀其中，ρᵢ表示在第i个网格内的电荷密度。
我们可以将二阶偏导数离散化，用差分来表示。
假设Δx和Δy分别表示网格在x和y方向上的间距，那么可以得到：(φᵢ₊₁ⱼ- 2φᵢⱼ+ φᵢ₋₁ⱼ)/Δx² + (φᵢⱼ₊₁- 2φᵢⱼ+ φᵢⱼ₋₁)/Δy² = -ρᵢⱼ/ε₀我们可以进一步化简上述公式，得到：φᵢ₊₁ⱼ + φᵢ₋₁ⱼ + φᵢⱼ₊₁ + φᵢⱼ₋₁ - 4φᵢⱼ = -Δx²Δy²ρᵢⱼ/ε₀这个公式可以用于求解电势的值。
我们可以通过迭代的方式，从初值开始，逐步更新每个网格的电势值，直到达到收敛条件为止。
在每次迭代中，我们可以根据上述公式来更新每个网格的电势值。
泊松方程还有一种边界条件，即边界上的电势值是已知的。
在实际问题中，我们通常会给定一些边界条件，例如，某些区域的电势值是已知的，或者电势在边界上的法向导数是已知的。
这些边界条件可以帮助我们更好地求解泊松方程。
总结一下，泊松方程是描述二维空间中电势分布的重要方程。
数学物理方程泊松方程
在保险精算中，泊松方程可以用来预测未来的风险和 损失。
股票市场预测
在股票市场中，泊松方程可以用来预测股票价格的波 动和趋势。
泊松方程的扩展
04
非线性泊松方程
ห้องสมุดไป่ตู้
非线性泊松方程
在泊松方程的基础上，引入非线 性项，使其能够描述更复杂的物 理现象。
求解方法
由于非线性项的存在，求解非线 性泊松方程的难度增加，需要采 用迭代法、有限元法等数值解法。
泊松方程的来源和重要性
泊松方程的起源可以追溯到18世纪的数学和物理学领域。它是由法国数学家和物理学家西莫恩·德尼· 泊松在研究电场和重力场问题时提出的。
泊松方程在数学物理、工程技术和科学计算等领域具有广泛的应用价值。它涉及到许多物理现象和工 程问题的建模与求解，如静电场、位势论、量子力学和流体动力学等。因此，掌握泊松方程的基本理 论和方法对于深入理解和解决实际问题至关重要。
应用领域
非线性泊松方程在物理学、工程 学等领域有广泛的应用，如描述 晶体生长、流体动力学等。
泊松方程的数值解法
有限差分法
将泊松方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法
将求解区域划分为若干个小的单元，对每个单元进行近似求解，再 通过求解全局方程得到最终结果。
应用领域
数值解法广泛应用于实际问题的求解，如工程设计、物理模拟等。
泊松方程的应用
03
在物理中的应用
描述粒子在势场中的运动
泊松方程可以描述粒子在势场中的运 动，例如在量子力学和经典力学中， 粒子在势能场中的运动可以用泊松方 程来描述。
电磁波传播
热传导问题
在热传导问题中，泊松方程可以用来 描述温度场的变化和分布。
泊松方程在电学中的应用
泊松方程在电学中的应用电学是物理学的一种分支学科，研究电荷、电场、电流、电势、电容等与电有关的物理现象，是与现代社会息息相关的科学领域。
而在电学中，泊松方程是一个非常重要的方程，在电学相关问题的研究中具有广泛的应用。
本文将通过对泊松方程的介绍，探讨其在电学中的应用。
一、泊松方程的定义及基本性质泊松方程是一个数学方程，描述了一种物理现象的数学关系，它可以用来表征场的分布。
在电学中，我们可以将这个方程看作是电势的计算公式。
泊松方程的基本形式如下所示：∇²φ = -ρ/ε其中，∇²表示拉普拉斯算子，φ表示电势，ρ表示自由电荷密度，ε表示介电常数。
泊松方程的特点是具有线性、定解、叠加等性质。
对于线性问题，泊松方程具有加法原理，即若φ₁(x)和φ₂(x)分别是泊松方程的解，那么它们的和φ(x)=φ₁(x)+φ₂(x)也是泊松方程的解。
这个特点使得泊松方程在电学中的应用非常广泛。
二、泊松方程在介电材料中的应用介电材料是一种阻电材料，其特点是不导电，在电场作用下会发生极化，形成相应的电偶极矩。
而泊松方程则可以描述介电材料中的电场分布，例如一块介电材料中的电势分布。
在这种情况下，泊松方程的形式会有所变化，变成下面这个形式：∇²φ = -ρ/ε + ∇·P其中，P表示介电材料的极化密度。
将这个方程带入介电材料的边界条件中，即可求出介电材料内部的电场分布。
三、泊松方程在电容器中的应用电容器是一种其中包含有导体、绝缘体以及电源的器件，其中电源会在导体之间产生电势差，从而使电流通过绝缘体中的电介质流动，这样就形成了一定的电场。
而在电容器中，泊松方程可以用来描述电容器中的电势分布和电场强度，例如，对于一个两个金属板之间有介电三明治的电容器，其电场分布可以用下面的泊松方程来描述：∇²φ = 0, ε∇·E=ρ其中，E表示电场强度，ρ表示电荷密度，ε表示介电常数。
这个方程可以帮助我们预测电容器中电场的分布。
泊松方程
泊松方程
泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为
在这里代表的是拉普拉斯算子，而和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
现在也发展出很多种数值解，如松弛法（一种迭代法）。
通常泊松方程表示为
这里代表拉普拉斯算子，为已知函数，而为未知函数。
当时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:
其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:
其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数
为一个校正函数，它满足
通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解
其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
泊松方程的数值解法
泊松方程是偏微分方程的一种常见形式，描述的是电荷分布与电场分布之间的关系。
在二维情况下，它通常被写为：$$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = -4 \pi \rho(\mathbf{r})$$其中$u(\mathbf{r})$ 是电势，$\rho(\mathbf{r})$ 是电荷密度，$\mathbf{r} = (r,\theta)$ 是位置向量。
一般来说，直接求解泊松方程是困难的，因此我们常常需要借助数值方法。
常见的数值方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM），有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限体积法（Finite V olume Method，FVM）等。
以下我们给出有限差分法和有限元法的基本步骤。
**有限差分法（FDM）**1. 将求解区域划分为网格。
2. 用差分近似替代偏导数。
例如，$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(i+1,j) - u(i-1,j)}{2 \Delta x}$，其中$\Delta x$ 是网格尺寸。
3. 将原方程写成差分方程的形式，然后求解这个离散方程。
例如，对于二维的泊松方程，我们可以写成一个线性方程组。
4. 对于边界条件，通常需要将边界条件离散化。
例如，如果边界条件是$u(x,y) = g(x,y)$，那么我们可以将其写为$u(i,j) = g(i,j)$。
5. 使用迭代法（如Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法等）或者直接求解器（如Gauss消元法）来求解这个线性方程组。
**有限元法（FEM）**1. 将求解区域划分为网格，每个网格称为一个元素。
第4节(泊松方程)
最后，可得泊松方程的一般解为： 最后，可得泊松方程的一般解为：
8
u(x, y) = x(x − a) + w(x, y) cosh[( k −1)π ( y −b / 2) / a] (2k −1)πx 2 = x(x − a) − 3 ∑ sin 3 a π k=1 (2k −1) cosh[( k −1)πb / 2a] 2 8a2
例2 在矩形域 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b 上求解泊松方程的
∆ 2u = −2 边值问题 u | x =0 = 0, u | x = a = 0 u | = 0, u | = 0 y =b y =0
4
解： 先找泊松方程的一特解v，显然v＝－ ＝－x 先找泊松方程的一特解 ，显然 ＝－ 2满足方程 ∆ 2 v = −2 则v=-x2+c1x+c2(c1和c2为积分常数 也满足 ∆ 2 v = −2 可以选取 为积分常数)也满足 适当的c 使得v满足一对齐次边界条件 满足一对齐次边界条件， 适当的 1和c2使得 满足一对齐次边界条件，c1＝a,c2=0,则： 则
m
∞
比较系数可得 a 2 b 2 A0 = c − ρ 0 , A2 = − ρ0 , Am = 0(m ≠ 0,2); Bm = 0 4 12 方程的一般解为： 方程的一般解为：
a 2 b 2 2 2 2 u = v + w = c + ( ρ − ρ 0 ) + ρ ( ρ − ρ 0 ) cos 2ϕ 4 12
Ae nπb / a − e − nπb / a e e
− nπb / 2 a nπb / 2 a
+e
− nπb / 2 a
Cn =
e
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求得：V1(1)
1 4
ax2
V1(2)
1 4
ay2
V2 a b(x2 y2 )
即： 2V2 x 2
bx2
2V2 y 2
by2
求得：V2(1)
1 12
bx4
V (2) 2
1 by4 12
V1
a 4
(x2
y2)
V2
b 12
(x2
y 2 )(x2
y2)
M 0
( Am cos m Bm sin m)0m
m0
c
a 4
02
b 12
0
4
c
os2
比较系数得：
A0
c
a 4
2 0
A2
b 12
2 0
Bm 0 Am 0 (n 0,2)
W
(
,
)
c
a 4
2 0
b 12
2 0
2
c os 2
u(,)
V
V1
V2
a 4
2
b 12
4
cos2
又设：u a 2 b 4 cos2 W
4 12
所以： W 0
而：
W
0 c
a 4
2
b 12
4 cos 2
在圆形区域上，由前面圆形区域的拉普拉斯方程
的通解可知：
W (,)
C0
D0
ln
本章中心内容
非齐次泊松方程转化为齐次方程的问题；
本章基本要求
掌握非齐次方程的求解方法及其物理意义
着重掌握方程齐次化的解题思路、解题步骤。 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法
泊松方程一般形式
u f (x, y, z)由于定解问题不含有初始条件，
不能应用冲量定理法求解，唯一的方法是把泊松 方程转化为拉普拉斯方程。 一般方法：先找出一个特解V，使得 V f (x, y, z)
a
本征函数：
X
n
(
x)
Cn
sin
n a
x
W (x, y)
n y
( Ane a
n1
n y
Bne a ) sin
n
a
x
代入边界条件得：
( An
n1
Bn ) sin
n
a
x
x(x a)
n b
( Ane a
n1
n b
Bne a ) sin
n
又设：u W V u W V
W 0 即可求解
例题3
求解定解问题：u
a u
b(x2 0 c
y2
)
0的圆内区域
解：先求出V的值，令： V a b(x2 y2 )
设：V1 a
即：2V1 a 2V1 a x2 2 y2 2
V (x, y) x2 ax x(a x)
c1 a
代入方程得： u(x, y) V (x, y) W (x, y)
本征值：
Wxx Wyy
0
W x0 0
W y0 x(x a)
W xa 0 W yb x(x a)
(n )2
a
x
x(x a)
将 x(x a) 展开为傅立叶正弦级数
cn
2 a
a x(x a) sin n
0
a
xdx
4a2
n3 2
[(1)n
1
A B c n b
n b
n
n
n Ane a Bne a cn
可求出方程的解
u y0 0
u xa 0 u yb 0
解： 令 u(x, y) V (x, y) W (x, y)
使得：V (x, y) 2 V (x, y) x2 c1x c2
代入边界条件得： V x0 c2 0 V xa a2 c1a 0
a 4
2
b 12
4
c os 2
c
a 4
2 0
b 12
02 2
c os 2
c
a 4
(
2
2 0
)
1 12
b
2
(
2
2 0
)
c os 2
例4：再矩形区域 0 x a,0 y b 上求解泊松方程的
定解问题：
u
xx
uyy
2
u x0 0
( Am
m1
cos m
Bm
sin
m)(Cm m
Dm
1
m
)
W (,) 在圆内区域应当有界 当： 0 时，
W (,) 有界 ，为边界条件叫自然边界条件
当： 0
时 ln
1
, m
为无穷大（舍去）
D0 0 Dm 0
W (,) ( Am cos m Bm sin m) m