平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题

【真题典藏】

1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x

y 2

-

=交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值．

（2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、

C ，如点

D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．

图1 图2

2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，

0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322

-=经

过点A ，点D 是该抛物线的顶点.

（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；

（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标；

（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标．

3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3

34

y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3

2

y x =

的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．

（1）求线段AM 的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数3

34

y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 图3

【满分攻略】

我们先来解读第1题（2008年青浦区第24题）的第（2）题，探求菱形的存在性： 由第（1）题解得直线BC 为4y x =-+，△BOC 是腰长为4的等腰直角三角形． 第一步，确定分类标准和分类方法．

四个点O 、B 、D 、P 中，两个定点O 和B ，两个不确定的点D 和P ，点D 在直线BC 上，点P 在平面直角坐标系中，你认为因D 而P ?还是因P 而D ?

那么我们以OB 为分类的标准，按照OB 为菱形的对角线或者边分两种情况． 第二步，拿起尺、规，确定点D 和P 的位置以及菱形的个数．

①当OB 为菱形的对角线时，OB 的垂直平分线交直线BC 于D ，点D 关于OB 的对称点为P （如图4）； ②当OB 为菱形的边时，那么以OB 为半径画圆，圆心是O 还是B ?

如果以O 为圆心，以OB 为半径画圆（如图5），那么圆与直线BC 的两个交点在哪里？你能确定点P 吗？

如果以B 为圆心，以OB 为半径画圆（如图6），那么圆与直线BC 有几个交点？你能确定点P 吗？ 数一数，总共确定了几个菱形？ 第三步，具体情况具体解决．

①如图4，如果以OB 为菱形的对角线，那么DP 与OB 互相垂直平分且相等． 此时点P 的坐标为(2,2)-．

②如图5，如果以OB 、OD 为菱形的邻边，由OD ＝OB ＝4，可知点D 与C 重合． 此时点P 的坐标为(4,4)．

③如图6，如果以BO 、BD 为菱形的邻边，则点P 在直线y x =-上． 由OP ＝OB ＝4，可得2

2

2

()4x x +-=． 解得122x =-222x =．

因此点P 的坐标为(2,2)-或(22,2)-．

综上所述，点P 的坐标为1(2,2)P -，2(4,4)P ，3(22,22)P

-

，4(22,22)P -．

图4 图5 图6

关于这道题，我怎么都觉得它更像一道画图题，你认为呢？

四个菱形中，不论你漏掉了哪一个，都说明你的思想很不成熟，这道题进行了三级（三次）分类：

OB OB OD OB D BO BD D ⎧⎪

⎧⎪

⎨⎪

⎧⎨⎪⎨⎪⎪

⎩⎩⎩

为对角线与为邻边为边在上

与为邻边在下 我们再来解读第2题（2009年普陀区第25题），探求平行四边形的画法： 根据抛物线的对称性，我们知道点D 在OA 的垂直平分线上． 第一步，确定分类标准和分类方法．

设平行四边形的另一个点为F ，在四个点P 、A 、D 、F 中，两个定点A 和D ，两个不确定的点P 和F ，点P 在x 轴上，点F 在y 轴上，你认为因P 而F ?还是因F 而P ?

那么我们以AP 为分类的标准，按照AP 为平行四边形的对角线或者边分两种情况． 第二步，拿起尺、规，确定点P 和F 的位置以及平行四边形的个数． ①当AP 为平行四边形的边时，那么AP //DF ，AP ＝DF ．

过点D 画x 轴的平行线交y 轴于F ；以A 为圆心、DF 为半径画圆与x 轴有两个交点P 1与P 2（如图7）． ②当AP 为平行四边形的对角线时，点D 、F 到x 轴的距离相等．此时的点F 与图7中的点F 有什么位置关系呢？此时的点P 3与图7中的点P 1有什么位置关系呢（如图8）？

第三步，具体情况具体解决了．

如图7， 1(1,0)P ，2(3,0)P ，如图8， 3(1,0)P

-．

图7 图8

第4题（2011年上海市第24题）最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

根据MO ＝MA 确定点M 在OA 的垂直平分线上（如图9），并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

第（1）题求得M 3

(1,)2，13AM =．

第（2）题解得抛物线的解析式为25

32

y x x =-

+． 第（3）题求点C 的坐标，先把抛物线的大致位置描绘一下：开口向上，与y 轴交于点A （0，3），过点M ，对称轴在点M 的右侧．

现在我们来描绘菱形ABCD 的大致位置：如图10，点B 在点A 的下方，点C 在抛物线上，那么点C 应该在点B 的右侧了，点D 在点A 的右侧偏上的位置．

解法一，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m ．

如图10，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )． 将点C(4m ，3－2m )代入2532

y x x =-+，得2

3216103m m m -=-+． 解得1

2

m =

或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．