平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题【真题典藏】1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线xy 2-=交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值．（2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．图1 图22.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标；（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标．3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 图3【满分攻略】我们先来解读第1题（2008年青浦区第24题）的第（2）题，探求菱形的存在性： 由第（1）题解得直线BC 为4y x =-+，△BOC 是腰长为4的等腰直角三角形． 第一步，确定分类标准和分类方法．四个点O 、B 、D 、P 中，两个定点O 和B ，两个不确定的点D 和P ，点D 在直线BC 上，点P 在平面直角坐标系中，你认为因D 而P ?还是因P 而D ?那么我们以OB 为分类的标准，按照OB 为菱形的对角线或者边分两种情况． 第二步，拿起尺、规，确定点D 和P 的位置以及菱形的个数．①当OB 为菱形的对角线时，OB 的垂直平分线交直线BC 于D ，点D 关于OB 的对称点为P （如图4）； ②当OB 为菱形的边时，那么以OB 为半径画圆，圆心是O 还是B ?如果以O 为圆心，以OB 为半径画圆（如图5），那么圆与直线BC 的两个交点在哪里？你能确定点P 吗？如果以B 为圆心，以OB 为半径画圆（如图6），那么圆与直线BC 有几个交点？你能确定点P 吗？ 数一数，总共确定了几个菱形？ 第三步，具体情况具体解决．①如图4，如果以OB 为菱形的对角线，那么DP 与OB 互相垂直平分且相等． 此时点P 的坐标为(2,2)-．②如图5，如果以OB 、OD 为菱形的邻边，由OD ＝OB ＝4，可知点D 与C 重合． 此时点P 的坐标为(4,4)．③如图6，如果以BO 、BD 为菱形的邻边，则点P 在直线y x =-上． 由OP ＝OB ＝4，可得222()4x x +-=． 解得122x =-222x =．因此点P 的坐标为(2,2)-或(22,2)-．综上所述，点P 的坐标为1(2,2)P -，2(4,4)P ，3(22,22)P-，4(22,22)P -．图4 图5 图6关于这道题，我怎么都觉得它更像一道画图题，你认为呢？四个菱形中，不论你漏掉了哪一个，都说明你的思想很不成熟，这道题进行了三级（三次）分类：OB OB OD OB D BO BD D ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩为对角线与为邻边为边在上与为邻边在下 我们再来解读第2题（2009年普陀区第25题），探求平行四边形的画法： 根据抛物线的对称性，我们知道点D 在OA 的垂直平分线上． 第一步，确定分类标准和分类方法．设平行四边形的另一个点为F ，在四个点P 、A 、D 、F 中，两个定点A 和D ，两个不确定的点P 和F ，点P 在x 轴上，点F 在y 轴上，你认为因P 而F ?还是因F 而P ?那么我们以AP 为分类的标准，按照AP 为平行四边形的对角线或者边分两种情况． 第二步，拿起尺、规，确定点P 和F 的位置以及平行四边形的个数． ①当AP 为平行四边形的边时，那么AP //DF ，AP ＝DF ．过点D 画x 轴的平行线交y 轴于F ；以A 为圆心、DF 为半径画圆与x 轴有两个交点P 1与P 2（如图7）． ②当AP 为平行四边形的对角线时，点D 、F 到x 轴的距离相等．此时的点F 与图7中的点F 有什么位置关系呢？此时的点P 3与图7中的点P 1有什么位置关系呢（如图8）？第三步，具体情况具体解决了．如图7， 1(1,0)P ，2(3,0)P ，如图8， 3(1,0)P-．图7 图8第4题（2011年上海市第24题）最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．根据MO ＝MA 确定点M 在OA 的垂直平分线上（如图9），并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．第（1）题求得M 3(1,)2，13AM =．第（2）题解得抛物线的解析式为2532y x x =-+． 第（3）题求点C 的坐标，先把抛物线的大致位置描绘一下：开口向上，与y 轴交于点A （0，3），过点M ，对称轴在点M 的右侧．现在我们来描绘菱形ABCD 的大致位置：如图10，点B 在点A 的下方，点C 在抛物线上，那么点C 应该在点B 的右侧了，点D 在点A 的右侧偏上的位置．解法一，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m ．如图10，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )． 将点C(4m ，3－2m )代入2532y x x =-+，得23216103m m m -=-+． 解得12m =或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．图9 图10解法二，设点C 和点D 的坐标分别为25(,3)2x x x -+、3(,3)4x x +，由DA 2＝DC 2，得2222335()(3)(3)442x x x x x ⎡⎤+=+--+⎢⎥⎣⎦．解得x ＝0或者x ＝2．x ＝0的几何意义是点C 与点D 重合，菱形ABCD 不存在．如果第（3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图11，点C 的坐标为727(,)416．图11平行四边形的存在性问题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 过点A （-1,0），直线l ：343+-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．（2）若N 为直线l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E .问：是否存在这样的点N ，使得以点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．图12．已知平面直角坐标系xOy （如图2），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 图23．将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图3所示．33y x（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图34．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．图1平行四边形的存在性问题1．（1）抛物线为y ＝－x 2＋2x ＋3，顶点D 为（1，4）．（2）当x ＝1时，39344y x =-+=．所以点M 的坐标为（1，94）．所以DM ＝97444-=．因此NE ＝74．①如图1，当E 在N 上方时，47343)32(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-x x x ． 整理，得241170x x -+=．解得x ＝74，或x ＝1（此时N 与M 重合，舍去）． ②如图2，当N 在E 上方时，()4732)343(2=++--+-x x x ． 整理，得071142=--x x ．解得823311±=x ． 综上所述，满足题意的点N 的横坐标为12711233,,48x x +==3112338x -=．图1 图22．（1）13AM =．（2）2532y x x =-+． （3）如图3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )． 将点C(4m ，3－2m )代入2532y x x =-+，得23216103m m m -=-+．解得12m=或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．图33．（1）抛物线c2的表达式为233y x=-．（2）在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN 是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．图44．（1）QB＝8－2t，PD＝43t．（2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形．所以CQ CPCB CA=，即2686t t-=．解得125t=．此时在Rt△CPQ中，245CQ=，2456sin54CQPQCPQ==⨯=∠．所以2416855BQ CB CQ=-=-=，6BD PQ==．因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．如图5，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△APE中，23cos5AEAAP t===，所以103t=．当PQ//AB时，CQ CPCB CA=，即106386CQ-=．解得329CQ=．所以点Q的运动速度为3210169315÷=．图5。