等腰直角三角形中的常见模型
[干货]八年级上学期全等模型之--等腰三垂直模型、等腰直角对直角模型
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★模型一 等腰三垂直全等模型（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：RtΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
2. 如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC 的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：(3)(1)(2)F E D C B A A B C D E F (1)(1)3、如图：RtΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。
【初中数学】等腰三角形的手拉手模型
等腰三角形的手拉手模型所谓手拉手模型，指由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点。
基本图形：1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN与BM 相等吗？说明理由；连接EF，证明△ECF是等边三角形。
图（ 2） C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由；AAA如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM相等吗？说明理由．图（1）图（2）图（3）2、已知：△ABC，△EDC均为等边三角形.求证：（1）△ACN≌△BCM.（2）∠APB=60°（3）PC平分∠BPD.变形延伸：如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．3、如图两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD，证明：（1）AE与DC之间的夹角为60°．（2）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC．4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG，CE,二者相交于点H 问：（1）AG与CE之间的夹角为多少度？（2）HD是否平分∠AHE？5、两个等腰三角形△ABD与△BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α连接AE与CD，问：（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？6、如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG，CE，二者相交于点H．问：（1）AG与CE之间的夹角为多少度？（2）HD是否平分∠AHE？【典型习题】1、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=8，点A为顶点，AC为腰，作等腰△ACD，且∠DAC=120°，则BD的长为__________.2、如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt △ABC，∠C=90°，连接OB，则OB的最小值为__________．'3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得到111A B C V ，当1A 落在AB 边上时，连接1BB ，取1BB 的中点D ，连接1A D ,则1A D 的长度为_________.CC4、将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是_______________, 位置关系是______________； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；x5、如图，在平面直角坐标系中，已知A （0,2），△AOB 为等边三角形，P 是x 轴上一个动点（不与O 重合），以线段AP 为边在其右侧作等边三角形APQ ； （1）求B 点坐标；（2）在点P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？若不变，求出其大小；若改变，请说明理由；（3）连接OQ ，当OQ AB P 时，求点P 的坐标.【中考链接】1、（2016盘锦25题14分）已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF，AD，ED.（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：△BCE≌△ACD；（2）如图1，当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；图1B图2B（3）如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，四边形ADEF 还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由图2B图1B备用图B2、（2016辽阳25题12分）已知：在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是线段BD 上一动点（不与点B 、D 重合），连接AE ，以AE 为边在AE 的右侧作菱形AEFG ，且∠AEF=60°.（1）如图1，若点F 落在线段BD 上，证明EF=FD ；（2）如图2，若点F 不在线段BD 上，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点C 、E 、G 三点在同一条直线上，请直接写出线段BE 和BD 的数量关系.。
(完整版)等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .G G B ACD E F (2)(1)FE D C B AF DAA(2)FEDC A A B C DE F (1)(2)(3)(1)DD EEC C EC A AAB变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
模型12 脚拉脚模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍成立条件：等腰三角形顶角互补模块一：认识“脚拉脚”模型1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图ABCEDABCEDF已知：△ABC 、△ADE 为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB ，AD=ED ，点F 为CE 的中点。
结论：BF=DF ，BF ⊥DF.法1：倍长中线+手拉手延长DF 至点G ，使得FG=FD ，易证△DEF ≌△GCF （SAS ）；所以CG=ED=AD ，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG ≌△BAD （SAS ），所以∠DBG=90°，BG=BD ；所以BF=21DG=DF ，BF ⊥DF 。
由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH，由△DEF≌△GCF（SAS），得GH ∥DE，所以∠2=∠6=90°，则∠2=∠1，所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，在四边形ADEH中，∠1+∠2=180°，所以∠H=∠ABC=90°，则∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°，所以∠1=∠2（8型转角），所以∠3=∠5所以∠3=∠4注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8型转角”）法2：斜边中线+中位线取AC中点G，AE中点H，连接BG，FG，FH，DH。
由中位线定理可知：FG=21AE=DH ，FH=21AC=BG ，∠1=∠3=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD ；则△BGF ≌△FHD （SAS ），所以BF=DF ，∠FBG=∠DFH ，∠BFG=∠FDH ；所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG =∠BFG+∠1+∠FBG ，又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形内角和），所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF ⊥DF 。
第4讲 等腰旁等角模型(word版)
4 “等腰旁等角”模型知识目标：模块一：等腰直角旁直角例1如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，求证：∠ADB ＝45°.练习如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∠BDA ＝45°，求证：∠BDC ＝90°.例2如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BDC ＝90°，∠ADB ＝45°，求证：∠BAC ＝90°.练习：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，∠ADB ＝45°，求证：AB ＝AC总结归纳（1）“等腰直角对直角”和“等腰直角旁直角”本质是一样的（四点共圆），唯一的区别就在于：两个90度异侧时，AD平分∠BDC；两个90度同侧时，AD平分∠BDC的外角.（2）以上四题，仍可分为两种类型：前两题时“知等腰RT△，证外角平分线”，辅助线是“对45°作垂构造手拉手模型”；后两题是“知外角平分线，证等腰RT△”，辅助线是“作双垂”.可见，上一讲总结的“等腰对补角”的作法，对“等腰旁等角”依然适用.（3）要灵活理解题目的条件或结论，如【例1】中要证的∠ADB＝45°等价于∠ADC＝135°.例3如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰直角三角形，C是线段OB上一动点（C点不与OB的中点重合），以AC为直角边作等腰RT△ACD（点A、C、D按顺时针方向标识，C为直角顶点）.在C点的运动过程中，OA与OD的位置关系是否发生变化？请说明理由.例4（2015-2016汉阳区八上期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是AC 边上一动点，CE ⊥BD 于E . （1） 如图1，若BD 平分∠ABC 时，①求∠ECD 的度数；②求证：BD ＝2EC .（2） 如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，猜想线段BE 、CE 、AF 之间的数量关系，并证明你的猜想.练习 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠CAB 的平分线交CB 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连CD ，则下列结论：①AC ＋CE ＝AB ；②BD ＝12AE ；③∠CDA ＝45°；④AC AB AM为定值. 其中正确的有____________________个.图1图2挑战压轴题（2015-2016洪山区八上期中）已知直线AB交x轴于点A（a，0）. 交y轴于点B（0，b），且a、b满足()240a b a+++=（1）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：EO平分∠AEG.（2）如图2，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由.（3）如图3，若点C在OB上，点F在AB的延长线上且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于Q，试求2AF BPCQ-的值.图2模块二等腰旁等角例5如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC. 求证：∠APC＝∠APD.练习如图，已知△ABC，射线BD上有一点P，且∠CPB＝∠CP A＝∠CAB＝60°. （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）试探究P A、PB、PC之间的数量关系.（2015-2016七一中学月考）如图，BD＝CD，AD平分∠BAC的外角.（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）试探究∠BAD与∠BCD的关系并证明.拓展如图，已知BD＝CD，∠ADB＝∠ACB，求证：AD平分∠BAC的外角.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝2∠C ＝2α，点E 在AD 上，点F 在DC 上. （1） 如图1，若α＝45°，∠BDC 的度数为_________________； （2） 如图2，当α＝45°，∠BEF ＝90°时，求证：BE ＝EF ；（3） 如图3，若α＝30°，则当∠BEF ＝_____________时，使得EB ＝EF 成立？请填空并说明理由.图1图2图3挑战压轴题（2016-2017二中八上期中第16题）如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC＝AD＝6，BC＝9，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，BE＝2，点F在射线AC上，则AF的长为____________.第4讲“等腰旁等角”模型○A基础巩固1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB的平分线交CB于D，BM⊥AD于M，MH⊥AB于H，有下列结论：①AD＝2BM；②AC＋AB＝2AH；③AB－AC＝2BH；④∠AHC＝45°，其中正确的有（）B．2个C．3个D．4个2.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AB，∠BAD＝90°，∠D＝45°，E是BC上一点，F是CD上一点.（1）若EF⊥AE，求证：AE＝EF.（2）若AE＝EF，求证：EF⊥AE.3.如图，已知等边△ABC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝60°.（1）求证：∠APC＝∠APD＝60°；（2）若BP＝3，P A＝4，求PC的长.4.如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且∠BAC＝2∠BDO，过D作DM⊥AB于M.（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）求证：AD平分∠BAE；（3）当A点运动时，AB ACAM的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.○B综合训练5.（2016-2017外校八上期中第24题）已知，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（0，3），点Q为x轴正半轴一动点，过点A作AC ⊥BQ于C，交y轴于点D.（1）若点Q的坐标为（2，0），试求点D的坐标；（2）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变；（3）有一等腰直角△AMN绕A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明.。
北师版初中八下数学小专题(三) 等腰三角形中的手拉手模型
类型一 共顶点的等边三角形 1.如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.
求证：∠AOB＝60°. 证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠APC＝∠BPO， ∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°.
3.如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD，CE交于点P，连接AP.
（1）求证：BD＝CE；
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
图1
∴BD＝CE.
（2）求∠APB的度数；（用含α的代数式表示） （2）解：过点A分别作BD，CE的垂线，垂足分别为M，N，
类型二 共顶点的等腰直角三角形 2.如图，△ABC和△ADE均为等E
交于点P. （1）求证：△ABD≌△ACE；
（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）.
图1
（3）解：如图，点P即为所求.
图1
图2
（2）判断BD，CE之间的关系并证明；
（2）解：BD＝CE且BD⊥CE.证明如下： 设BD交AC于点F. 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∵∠BFA＝∠CFP，∴∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE.
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
初中数学复习几何模型专题讲解4---等腰直角三角形构造三垂直模型
初中数学复习几何模型专题讲解专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；【答案】（1）k= 43，y=23x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可；（3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可．【详解】解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx 中，得：4=3k ，解得：k= 43， 再将点C(3，4)、点A （﹣3，0）代入y ＝k 1x ＋b 中，得：113034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：1232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数y ＝k 1x ＋b 的解析式为：y=23x+2； （2）如图，作点B 关于x 轴对称的点B ＇，连接B ＇C ，交x 轴于点P ，此时PB+PC 最小，在y=23x+2中，令x=0，则y=2， ∴B(0，2)，则B ＇（0，﹣2），设直线B ＇C 的解析式为y ＝k 2x ﹣2，将C （3，4）代入得：4=3k 2﹣2，解得：k 2=2，∴直线B ＇C 的解析式为y ＝2x ﹣2，令y=0，由0=2x ﹣2得：x=1，∴点P 坐标为（1，0）；（3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况：①当∠DAB=90°时，DA=AB ，过点D作DM⊥x轴于E，∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB，∴△DAM≌△ABO(AAS)，∴DM=OA=3，MA=OB=2，∴D(﹣5，3)；②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB，过D＇作D＇N⊥y轴于N，同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)，∴BN=OA=3，D＇N=OB=2，∴D＇（﹣2，5），故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键．2．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC BCE AC BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．4．已知，A（-1，0）．（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．①求C点的坐标；②在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使△PAB 与△ABC 全等？ 若存在，直接写出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，设M （a ，b ），求a-b 的值．【答案】（1）①()2,3C -；②存在，()2,1P 或()1,1-或()3,1-；（2）1．【分析】（1）作CD ⊥y 轴于D ，证△CEB ≌△BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF ⊥y 轴于F ，证△EFM ≌△AOE ，求出EF ，即可得出答案．【详解】（1）①作CE ⊥y 轴于E ，如图1，∵A （-1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴∠ECB=∠ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBE ≌△BAO ，∴CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，∴C （-2，3）．②存在一点P ，使PAB △与ABC 全等，分为三种情况：①如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=，90EPA PAE ∴∠+∠=，90PAE BAO ∠+∠=，EPA BAO ∴∠=∠，在PEA 和AOB 中EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEA ∴≌AOB ，1PE AO ∴==，2EA BO ==，123OE ∴=+=，即P 的坐标是()3,1-；②如图3，过C 作CM x ⊥轴于M ，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90CMA PEA ∠=∠=， CBA ≌PBA ，45PAB CAB ∴∠=∠=，AC AP =，90CAP ∴∠=，90MCA CAM ∴∠+∠=，90CAM PAE ∠+∠=， MCA PAE ∴∠=∠，在CMA 和AEP △中，CMA PEA AC AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMA ∴≌AEP △，PE AM ∴=，CM AE =，()2,3C -，()1,0A -，211PE ∴=-=，0312OE AE A =-=-=，即P 的坐标是()2,1；③如图4，过P 作PE x ⊥轴于E ，CBA ≌PAB △，AB AP =∴，90CBA BAP ∠=∠=，则90AEP AOB ∠=∠=，90BAO PAE ∴∠+∠=，90PAE APE ∠+∠=，BAO APE ∴∠=∠，在AOB 和PEA 中，AOB PEA AB AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB ∴≌PEA ，1PE AO ∴==，2AE OB ==，0211E AE AO ∴=-=-=，即P 的坐标是()1,1-，综合上述：符合条件的P 的坐标是()3,1-或()1,1-或()2,1．（2）过M 作MF y ⊥轴于F ，得到下图5∵(),M a b∴,MF a FO b ==，由上图得：90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=，90AEO MEF ∠+∠=，90MEF EMF ∠+∠=，AEO EMF ∴∠=∠，在AOE △和EMF △中AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEO ∴≌()EMF AAS ，1EF AO ∴==，MF OE =，MN x ⊥轴，MF y ⊥轴，90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=，∴四边形FONM 是矩形，MN OF ∴=，1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．5．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，如图，已知15DA =千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且90DHC ∠=︒，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【答案】H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得90A B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得D BHC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AH BC DA HB ===千米，最后根据线段的和差可得．【详解】由题意得：DH HC =，25AB =千米，,DA AB CB AB ⊥⊥，90A B ∴∠=∠=︒，90D AHD ∠∴∠+=︒，90DHC ∠=︒，18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒，D BHC ∴∠=∠，在ADH 和BHC △中，A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH BHC AAS ∴≅，,AH BC DA HB ∴==，15DA =千米，25AB =千米，15HB ∴=千米，10BC AH AB HB ∴==-=千米，答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图所示，在ABC ∆和DBC ∆中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF ⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD；（2）若BD=10厘米，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5厘米【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC＝12BD＝5厘米．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ；（2）∵△ABC ≌△EDB ，∴AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=10厘米，∴BE=12BC ＝12BD ＝5厘米． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．7．综合与实践特例研究：将矩形ABCD 和Rt CEF 按如图1放置，已知90,,,FCE AD CD CE CF CF CD ∠=︒==>，连接',BF DE ．()1如图1，当点D 在CF 上时，线段BF 与DE 之间的数量关系是__ ；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_ ；拓广探索：()2图2是由图1中的矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）,BF DE BF DE =⊥；（2）,BF DE BF DE =⊥，理由见解析【分析】()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED 交B F 于点G 先证△FBC ≌△EDC （SAS ），可知,BF DE CED CFB =∠=∠，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可，()2先下结论，,BF DE BF DE =⊥，再证明，证法与（1）类似，延长ED 交CF 于点,M 交FB 于点N ．由四边形ABCD 为矩形且AD=CD 可得CD CB =，()DCE BCF SAS ≅可推出,BF DE CED CFB =∠=∠．由90,FCE ∠=︒知90CME CED ∠+∠=︒．由,CME FMN ∠=∠可用等量代换得90,FMN CFB ∠+∠=︒由三角形内角和得90,FNE ∠=︒即可．【详解】解：()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED交B F于点G，∵四边形ABCD为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，∴∠=∠=90º，BC CEF D由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），BF DE CED CFB=∠=∠，,∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，()2,=⊥，BF DE BF DE理由如下：M交FB于点N．如答图，延长ED交CF于点,，90FCE ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，BCD FCE ∴∠=∠，FCB FCD ECD FCD ∠+∠=∠+∠，FCB ECD ∴∠=∠，AD CD =，∴矩形ABCD 为正方形．CD CB ∴=，在DCE 和BCF △中，,,CD CB ECD FCB CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCE BCF SAS ∴≅．,BF DE CED CFB ∴=∠=∠．90,FCE ∠=︒90CME CED ∴∠+∠=︒．,CME FMN ∠=∠90,FMN CFB ∴∠+∠=︒90,FNE ∴∠=︒BF DE ∴⊥．【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 8．已知：在ABC 中，∠BAC =90°，AB ＝CA ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m 于点D ，CE ⊥直线m 于点E ．求证：BDA AEC ≅△△；【答案】证明见解析．【分析】先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAD ACE =∠∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】,BD m CE m ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，18090BAD CAE BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD ACE ∴∠=∠，在BDA 和AEC 中，ADB CEA BAD ACE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDA AEC AAS ∴≅．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．9．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，∠BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则∠1、∠2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，∠CAB 、∠CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．①试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；②若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为【答案】提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：①EM FN AB +=，理由见解析；②492． 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；②如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：①EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；②如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN S S S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCD S S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+， 则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC的BC边上的高为h，则122ABCS BC h h=⋅=，在ABC中，CAB∠、CBA∠均为锐角，∴当90ACB∠=︒时，h取得最大值，最大值为3AC=，ABC∴面积的最大值为236ABCS=⨯=，则五边形EMNFC面积的最大值为2549 2622⨯+=，故答案为：492．【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【答案】见解析【分析】根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt △ACE 和Rt △CBF 中，AC BC AE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACE ≌Rt △CBF （HL ），∴∠EAC ＝∠BCF ，∵∠EAC+∠ACE ＝90°，∴∠ACE+∠BCF ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ．（1）求证：MN ＝AM ＋BN ；（2）如图2，若过点C 作直线MN 与线段AB 相交，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N （AM ＞BN ），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB ，根据“AAS ”可证明△ACM ≌△CBN ，根据全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，则MN=MC+CN=AM+BN ．(2)根据已知条件能证得△ACM ≌△CBN ，利用全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，而MN=CN-CM=AM-BN ．【详解】解：(1)∵AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，∴∠AMC=∠CNB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NCB=90°，∴∠MAC=∠NCB ，在△ACM 和△CBN 中，AMC CNB MAC NCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩\ ∴ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=MC+CN=AM+BN ．(2)题(1)中的结论不成立，同题(1)证明可知：ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=CN-CM=AM-BN ，【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，函数443y x =-+的图像分别交x 轴、y 轴于点A C 、，函数y ax b =+的图象分别交x 轴、y 轴于点,B C ，且4OC OB =，过点C 作射线//CR x 轴． （1）求直线BC 的解析式；（2）点P 自点C 沿射线CR 以每秒1个单位长度运动，同时点Q 自点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设POC ∆的面积为S ，点Q 的运动时间为t （秒），求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P 作//PF CB ，交x 轴于点F ，连接QF ，在P Q 、运动的过程中，是否存在t 值，使得45PFQ ︒∠=，若存在，求t 值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）44y x =+；（2）()222055S t t t =-+<<；（3）存在，1511或257【分析】（1）利用待定系数法求出A ，C 两点坐标，再求出点B 坐标即可解决问题； （2）想办法用t 表示点Q 坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．【详解】解：（1）函数443y x =-+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，C ， (3,0)A ∴，(0,4)C ，3OA =，4OC =，4OC OB =，1OB =∴，(1,0)B ∴-，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有40b k b =⎧⎨-+=⎩， 解得44k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为44y x =+．（2）如图1中，由题意AQ PC t ==，易知3(35Q t -，4)5t ，2142(4)2(05)255S t t t t t ∴=-=-+<< （3）存在；情形①如图2中，取点(4,3)M ，连接CM ，BM ，作MG CR ⊥垂足为G 交OA 于K ，作QH OA ⊥垂足为H ．4CG CO ==，90CGM COB ∠=∠=︒，1MG BO ==()CGM COB ASA ∴≅△△，GCM OCB ∴∠=∠，CB CM =，90BCM OCG ∴∠=∠=︒，BCM ∴∆的等腰直角三角形，1345∴∠=∠=︒，//PF BC ，2145∴∠=∠=︒，445∠=︒，24∴∠=∠，//FQ BN ∴，QFH MBK ∴∠=∠，90QHF MKB ∠=∠=︒，QHF MKB ∴△∽△， ∴QH FH MK BK =，∴433(1)5535t t t ---=， 1511t ∴=． 情形②如图3中，由2445∠=∠=︒，可知90MNF ∠=︒，由QHF BKM △∽△得到QH HF BK MK=， ∴43(4)5553t t t --=， 257t ∴=， 综上所述1511t或257． 【点睛】此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t 表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大．13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）、C （b ，c ），且a 、b 、c满足()2b 32c -++∣=0． （1）求点A 、C 的坐标；（2）在x 轴正半轴上有一点E ，使∠ECA ＝45°，求点E 的坐标；（3）如图2，若点F 、B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，且OB=OF ，点P 在第一象限内，连接PF ，过P 作PM ⊥PF 交y 轴于点M ，在PM 上截取PN=PF ，连接PO 、BN ，过P 作∠OPG=45°交BN 于点G ，求证：点G 是BN 的中点．【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解【分析】（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a 、b 、c 的值，即可得出点A 、C 的坐标；（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明ALG CKA S≌S ，求出点G 的坐标，由等面积法求出AE 长度即可求出点E 坐标；（3）作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，只要证明四边形ENPB 是平行四边形即可．【详解】（1()2b 32c -++∣=0， 所以a=-3，b=3，c=-2，点A 坐标为（-3，0），点C 坐标为（3，-2），故答案为：（-3，0）；（3，-2）；（2）过点A 作AC 的垂线，交CE 的延长线于点G ，过点A 作x 轴的垂线KL ，过点C 作KL 的垂线于点K ，过点G 作KL 的垂线于点L ，过点G 作x 轴的垂线于M ，过点C作x 轴的垂线于N ，∵∠ECA ＝45°，AG ⊥AC ，∴∠CAG=90°，AG=AC ，△CAG 为等腰直角三角形，由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK ，在△ALG 和△CKA 中90GAL ACKAG A AC LG CKA ∠=∠∠=∠==︒⎧⎪⎨⎪⎩∴ALG CKA S ≌S ，∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，∴GM=6，OM=3-2=1，∴点G 坐标为（-1，3），在Rt △ANC 中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，由等面积法，得11()22AC AG AE GM CN ⨯⨯=⨯⨯+，∴11822AE ⨯⨯⨯， ∴AE=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，故点E 坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（3）如图，作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，∴∠OEP=∠EPO=45°，∴EO=PO ，∵∠EOP=∠BOF=90°，∴∠EOB=∠POF ，在△EOB 和△POF 中，BO OF EOB POF OE OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOB ≌△POF ，∴EB=PF=PN ，∠1=∠OFP ，∵∠2+∠PMO=180°，∵∠MOF=∠MPF=90°，∴∠OMP+∠OFP=180°，∴∠2=∠OFP=∠1，∴EB ∥PN ，∵EB=PN ，∴四边形ENPB 是平行四边形，∴BG=GN ，即点G 是BN 的中点．【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，已知点(),0A a 、()0,C b 满足2(2)0+=a（1）直接写出：a =____________，b =________．（2）点B 为x 轴正半轴上一点，如图1，BE AC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，连接OE ，若OE 平分AEB ∠，求直线BE 的解析式．（3）在（2）的条件下，点M 为直线BE 上一动点，连OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90︒，如图2，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由．【答案】（1）2-，5-；（2）2y x 25=-；（3）点N 的运动路线是直线32077=--y x ，理由见解析【分析】（1）根据题意得到关于a 、b 的方程，求a 、b 即可；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，分别证明EOC FOB ∆∆≌，AOC DOB ∆∆≌，得到OB OC =，OA OD =，确定点B 、D 坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ，证明NOM ∆为等腰直角三角形，得到=OG MH ，=GM NH ，设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ，得到732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ，即752-=m x ，325--=m y ，消去m ，即可得到点N 运动轨迹．【详解】解：（1）由题意得a+2=0，b+5=0，解得a=2-，b=5-，故答案为：2-，5-；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，∵BE AC ⊥，OE 平分AEB ∠，∴EOF ∆为等腰直角三角形，∴OE=OF ，∠BOF=∠COE=45°，∵BE AC ⊥于点E ，∴∠1+∠BAC=90°，∵∠2+∠BAC=90°，∴∠1=∠2，∴EOC FOB ∆∆≌，∴OB OC =，∵∠1=∠2, ∠AOC=∠DOB=90°，∴AOC DOB ∆∆≌，∴OA OD =，∵()2,0A -，()0,5C -，∴()0,2D -，()5,0B ，设直线BD 解析式为y kx b =+，∴250b k b =-⎧⎨+=⎩， ∴ 225b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线BD ，即直线BE 的解析式为2y x 25=-；（3）由题意得，NOM ∆为等腰直角三角形如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ， ∵NOM ∆为等腰直角三角形，∴≌∆∆GOM HMN ，∴=OG MH ，=GM NH ，由（2）得直线BD 的解析式2y x 25=-， 设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ， ∴732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ， 令752-=m x ，325--=m y ， ∴32077=--y x ， 即点N 的运动路线是直线32077=--y x ．【点睛】本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键．15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．【答案】见解析．【分析】先由旋转的性质得到BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，再运用“AAS”证得△EDB≌△ABC 即可．【详解】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE，又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，∴△EDB≌△ABC（AAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关键．16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案】（1）见解析；（2）7【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．【详解】解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）DE=AD+BE，理由见详解；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解；（3）BE=AD+DE．【分析】（1）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（2）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（3）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠EBC+∠BCE=90°，则有∠ACD=∠CBE，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解．【详解】解：（1）DE=AD+BE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，DE=DC+CE∴DE=AD+BE；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，CE=DC+DE∴AD=BE+DE；（3）BE=AD+DE，理由如下：同理（2）的方法可得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CE=AD，CD=EC+DE∴BE=AD+DE．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．18．如图，在ABC 中∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若AD=2，BE=3，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）132【分析】 （1）根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证出△ADC 和△CEB 全等即可；（2）由（1）可推出CD ＝BE ，AD ＝CE ，进而可得到AC=AB=△ABC 面积即可．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCE+∠CBE ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，在△ADC 和△CEB 中ADC=BEC ACD=CBE AC=BC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△ADC ≌△CEB∴BE ＝CD ，AD ＝CE ，AC=BC ，又AD=2，BE=3，∴∴△ABC 的面积为11322=， 故△ABC 的面积为132．【点睛】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．二、填空题19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知90,ACB AC BC ∠=︒=，从三角尺的刻度可知20,AB cm AD =为三块砖的厚度，BE 为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________cm ．【答案】13【分析】设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3x ，BE=2x ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC ，利用AAS 即可证出△DAC ≌△ECB ，从而得出CD=BE=2xcm ，利用勾股定理列出方程即可求出x ．【详解】解：设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3xcm ，BE=2xcm∵90,ACB AC BC ∠=︒=，20AB cm =∴222AC BC AB +=解得AC BC ==由题意可知：∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=90°∴∠DAC=∠ECB∴△DAC ≌△ECB∴CD=BE=2xcm在Rt △ADC 中，222AD DC AC +=即()()(22232x x +=解得：x=13． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC 是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．【答案】（5，7）【分析】依题∠BAC=90°，AB=AC，画出C点位置，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．【详解】解：如图：当∠BAC=90°，AB=AC时，过点C作CD⊥y轴于点D，在△OAB和△DCA中，AOB CDA OAB DCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAB ≌△DCA （AAS ），∴AD=OB=2，CD=OA=5，∴OD=OA+AD=7，∴点C 的坐标为（5，7）；【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ． C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，垂足分别为D 、 E ，若BD=4，CE=2，则DE=___．【答案】6【分析】先证明∠DBA=∠CAE ，从而根据AAS 定理证明△BDA ≌△AEC ，根据全等三角形的性质可得AD=CE=2，AE=BD=4，进而得到答案．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠AEC=90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴AD=CE=2，AE=BD=4，∴DE=AD+AE=2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．22．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，已知BE a ⊥于点E ，DF a ⊥于点F ．若3BE =，8DF =，则线段EF 的长为______．【答案】11【分析】根据题意易得△AEB ≌△DFA ，则有BE=AF ，DF=AE ，进而问题可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∵BE a ⊥，DF a ⊥，∴∠DFA=∠AEB=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，又∵∠FAD+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE ，∴△AEB ≌△DFA ，∵3BE =，8DF =，∴BE=AF=3，DF=AE=8，∴EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，。
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一【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是 45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角 形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
OD，求∠AOD 的度数；
（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG
为直角边作等腰 Rt△EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式 AM FM 1 是 OF
否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
变式 3：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AF ⊥BD 于点 G，交 BC 于点 F 连接 DF，求证：∠1=∠2。
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把 DE 平移到 CF，使 E 与 C 重合，连接 AE、AF，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）
例.如图：两个直角三角形 ABC、ADE 的顶点 A 重合，P 是线段 BD 的中点，连 PC、PE。
（1）如图 1，若∠BAC=∠DAE=45°，当 A、C、D 在同一直线上时，线段 PC、PE 的关系
是
；
（2）如图 2、3，将⊿BAC 绕 A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明
你的结论。
E B
E E
B
B
C
P
C
P
P
A
C
DA
DA
D
图1
图2
图3
三【巩固练习】
1．如图，在 RtABC 中，AB AC ,∠ BAC 90 , D 、E 为 BC 上两点，∠ DAE 45 ，
变式 1：如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF⊥CD
于 H 交 BC 于 F，BE∥AC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE.
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D 是 AC 的中点，AF⊥BD 于点 E， 交 BC 于点 F，连接 DF，求证：∠1=∠2。
交 AB、AC 于点 M、N。
（1）若∠MON=90°（如图 1），求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2；
A
（2）若∠MON=45°（如图 2），求证：①AM+MN=CN；
M
B
O
图1
N C
A N
M
B
O
C
3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A（4，4）。
图2
（1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例 1．如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于点 E，过 C 作 CF⊥AD 于点 F。
例 1、如图 1，△ABC、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接 AF、CF， M 是 AF 的中点，连 ME，将△BEF 绕点 B 旋转。猜想 CF 与 EM 的数量关系并证明；
（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：
（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全 等三角形：
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CD
⊥BE 于 D，DM⊥AB 交 BA 的延长线于点 M，
BM
AM
（1）求 AB BC 的值；（2）求 BC AB 的值。
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：
（2）若 PC=2PB，求 PC 的值 MB
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于 点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线与于点 F。 （1）求证：BG=AF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的 结论并证明。
F 为 ABC 外 一 点 ， 且 FB ⊥ BC , FA AE , 则 下 列 结 论 ： ① CE BF ; ②
BD 2
CE 2
DE 2 ;③ S ADE
1 4
AD EF
;④ CE 2
BE 2
2 AE 2 ,其中正确的是
A
A、①②③④
B、①②④
C、①③④
D、②③
F
B
D
C E
2．已知：Rt⊿ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作∠MON，
（1）求证：BE-CF=EF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
的结论并证明。
如图 1，等腰 Rt ABC 中，AB=CB，∠ABC=90º，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合）， 以 AP 为腰长作等腰直角 PAQ，QE⊥AB 于 E ，连 CQ 交 AB 于 M。 （1）求证：M 为 BE 的中点
例 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，过 C 作 CD⊥BE 于 D， 连接 AD，求证：∠ADB＝45°。
变式 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上 一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。