2019-2020年中考数学专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)
动点--二次函数与等腰三角形存在性问题
第三节动点--二次函数与等腰三角形存在性问题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题方法总结：假设结论成立；当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。
典型例题：例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．例3．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．例5. (2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；例6．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．例7．（2014年浙江义乌12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x 轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.（2）已知直线l的解析式为y x m=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.②当m3=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例8．如图，抛物线2323y x x 63-=与x 轴交于点A ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转1200至OB 的位置.（1）点B 在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．例9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．例11.如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个（不必求点P的坐标，只需说明理由）例12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.。
中考数学压轴题分析：几何动点产生的等腰三角形存在性问题
中考数学压轴题分析：几何动点产生的等腰三角形存在性问题本文内容选自2021年南通中考数学几何压轴题。
以正方形为背景，涉及轴对称、旋转等有关的问题。
通过讨论等腰三角形的存在性求三角函数值。
【中考真题】（2021·南通）如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点作，垂足为，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接，．当为等腰三角形时，求的值．【分析】（1）连接BF，可以得到△ABF与△CBF都是等腰三角形，再利用三角形的内角和，可以得到∠BCF=135°﹣α。
（2）通过观察，易得两直线平行。
只需证明一组内错角相等即可。
易得∠CFG=45°，那么只需证明∠AGD=45°即可。
由于∠ADC=∠AGC=90°，说明点A、D、G、C四点共圆，那么∠AGD=∠ACD=45°，结论易得。
（3）通过旋转，可以得到BH=BE＞AB=BF，所以△BFH为等腰三角形时，只能BF=FH或BH=FH，分别进行讨论即可。
①当BH=FH时，易得∠BFH=∠ABF=2α，此时AB与CF重合，易得点C与F重合，不符合题意。
②当BH=FH时，过点H作BF的垂线，构造三线合一。
易得△ABE≌△BHB，那么就可以得到AB=BF=2BN=2AE，那么就可以得到sinα的值了。
【答案】解：（1）如图1，连接，点关于直线的对称点为点，，，，，四边形是正方形，，，；（2），理由如下：如图2，连接，四边形是正方形，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，；（3），，；如图3，当时，过点作于，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，，，，，，，，，，，当时，，，，即点与点重合，则点与点重合，点在边上（不与端点，重合），不成立，综上所述：的值为．。
初中数学中考模拟复习专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题考试卷及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A．1 B．2 C．3 D．4试题2:如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．评卷人得分（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．试题3:如图，在直角梯形ABCD中,AD∥CB,,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C出发,在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;（2）当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形.（3）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?【试题4:如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。
动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题
动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题一、选择题1.（2013福建龙岩4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A．2 B．3 C．4 D．52.（2011年内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是【】A、2.5秒B、3秒C、3.5秒D、4秒二、填空题1.（2013年四川凉山5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为▲ 。
，2. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有▲ 个.【答案】5。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。
【分析】如图，符合条件的Q点有5个。
3. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲ ．∴OK=。
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。
∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。
∴P点坐标为（，0）。
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。
初中数学 等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段：5AC =5BC（3）分类讨论：根据55AC BC =，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫⎪⎝⎭． 【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =--+；（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6-时，△ADE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x =-1（对称轴）①当AE =AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=1AP AH =3，∴1PH故(1P -、(21,P-． ②当EA =EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM =1，34P M P M ===，故(31,2P --、(41,2P --．③当P A =PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设()51,P m -，()()2225140P A m =-++-，()()2225=102P E m --++ ∴()22921m m +=++，解得：m =1． 故()51,1P -．综上所述，P 点坐标为(1P -、(21,P -、(31,2P --+、(41,2P --、()51,1P -．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．【2019白银中考（删减）】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =-++；（2）①当CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为-⎝⎭． ②当AC =AQ 时，考虑直线BC 解析式为y =-x +4，可设Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =5=，解得：m =1或0（舍），故Q 点坐标为（1，3）．③当QA =QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在． 综上所述，Q点坐标为⎝⎭或（1，3）．【2019盐城中考删减】如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图像与一次函数2y kx k =-+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <． （1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2； （2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x =2上的一个动点， 满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形， 又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA =OB时，即OB =记直线x =2与x 轴交点为H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1或-3． ②当AO =AB 时，易知B 点坐标为（2，0），k =-2． 综上所述，k 的值为-1或-2或-3．【2018贵港中考（删减）】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x ⊥轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当PCM ∆是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）223y x x =--；（2）①当PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当MP =MC 时，（表示线段列方程）设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC =，∴23m m -+，解得3m =0（舍）， 故P点坐标为(3-．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3-．【2019眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点(5,0)A -和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）241620999y x x =--+，顶点D 坐标为()2,4-；（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ， 可得AM =BD =5，故AN =BM =1；②当NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ， △MAD ∽△DAB ，可得AM =256，116BM = ∴AN AMBM BD=，即2561156AN =， 解得：5536AN =．③当DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点M ． 综上，AN 的值为1或5536．【2019葫芦岛中考（删减）】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点PBC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）234y x x =-++；（2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线AM ：y =x +1，联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1．②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考虑tan∠22.5°1，直线AM：)11 y x=+，联立方程：)23411 x x x-++=解得：15x=21x=-（舍）．此时t1 -．综上所述，t的值为11．附：tan22.5°1．221122.5°22.5°45°45°tan22.51︒==【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．。
中考压轴题等腰三角形存在性问题 -
中考压轴题等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，抛物线223y x x=-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（122）或（122）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线223y x x=-++与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在223y x x=-++中，令y=2，可得2232x x-++=，解得x=12±，∴P点坐标为（122）或（12，2），故答案为：（122）或（12，2）．考点：二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；动点型．原创模拟预测题2．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG=AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN=HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t=238秒时，S 的最大值为38．（2）证明：在AB 上取点K ，使AK=AN ，连接KN ．∵AB=AD ，BK=AB-AK ，ND=AD-AN ，∴BK=DN ，又DH 平分直角∠CDG ，∴∠CDH=45º，∴∠NDH=90º+45º=135º，∴∠BKN=180-∠AKN=135º，∴∠BKN=∠NDH ，∵在Rt △ABN 中，∠ABN+∠ANB=90º，又BN ⊥NH ，即∠BNH=90º，∴∠ANB+∠DNH=180º-∠BNH=180º-90º=90º，∴∠ABN=∠DNH ．∴△BNK ≌△NHD （ASA ），∴BN=NH ；（3）①当点M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM=t ，∴AF=FM=t22，∴S=24122222121tttFMAF=⋅⋅=⋅；当点M在CG上时，即22＜t＜24时，CM=t-22，MG=24-t．∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，∴△ACD≌△GCD（SAS），∴∠ACD=∠GCD=45º，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º，∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º，∴△MFG为等腰直角三角形，∴ttMGFG22422)24(45cos0-=⋅-=⋅=，∴ACG CMJ FMGS S S S∆∆∆=--=11142222CM CM FG FM⨯⨯-⨯⨯-⋅=221124(22)(4)222t t----= 234284t t-+-，∴221t0t2243-t42t-8 22t424S⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩（）（）；②在0＜t≤22范围内，当t=22时，S的最大值为222412=⨯）（；在22＜t＜24范围内，38)238-t(432+-=S，当238t=时，S的最大值为38，∵823>，∴当t=238秒时，S的最大值为38．考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．学科网原创模拟预测题3．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M （x1，0），N （x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【答案】（1）a=14，b=c=0；（2）证明见解析；（3）0或423+或423-．【解析】（2）设P （x ，y ），⊙P 的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设P （a ，a2），∵PA=，作PH ⊥MN 于H ，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M （a ﹣2，0），N （a+2，0），又∵A （0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN 时，=，解得：a=0，当AM=MN 时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN 时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2； 综上所述，P 的纵坐标为0或423+或423-．学科网考点：几何变换综合题；动点型；存在型；分类讨论；分段函数．原创模拟预测题4．如图1，在▱ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E ，F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动，在点E ，F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E ，F 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M ，N 两点．试问：是否存在点M ，N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7；（2）S=；（3）存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或．【解析】试题分析：试题解析：（1）∵▱ABCD，∴CD=AB=4．在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH===2，∴CH=DH，∴AC=AD=7．（2）在运动过程中，AE=t，AF=3t，∴等边△EFG的边长EF=EG=GF=2t．如答图1，过点G作GP⊥AC于点P，则EP=EG=t，GP=EG=t．∴AP=AE+EP=2t，∴tan∠GAC===．∵tan∠BAC=tan∠ACH===，∴tan∠GAC=tan∠BAC，∴点G始终在射线AB上．设∠BAC=∠ACH=θ，则sinθ==，cosθ==．①当0≤t≤时，如答图2﹣1所示，等边△EFG在△内部．S=S△EFG=EF2=（2t）2=t2；②当＜t≤4时，如答图2﹣2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8，∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则PF==x，∴CP=CF﹣PF=3t﹣7﹣x．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=（3t﹣7），∴S=S△EFG﹣S△CFK=t2﹣（3t﹣7）•（3t﹣7）=﹣t2+t﹣；③当4＜t≤7时，如答图2﹣3所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC 上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8，∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则EP==x，∴CP=EP﹣CE=x﹣（7﹣t）=x﹣7+t．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=（7﹣t），∴S=S△CEK=（7﹣t）•（7﹣t）=t2﹣t+．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=．（3）设∠ACH=θ，则tanθ===，cosθ==．当点E与点C重合时，t=7，∴等边△EFG的边长=2t=14．假设存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，①若点N为等腰三角形的顶点，如答图3﹣1所示，则∠NMC=∠MCN=θ．过点C作CP⊥F′M于点P，则CP=CF′=7，∴PM===14．设CN=MN=x，则PN=PM﹣MN=14﹣x．在Rt△CNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：（7）2+（14﹣x）2=x2，解得：x=．过点N作NQ⊥CM于点Q，∴CM=2CQ=2CN•cosθ=2××=7；②若点M为等腰三角形的顶点，如答图3﹣2所示，则∠MNC=∠MCN=θ．学，科，网过点C作CP⊥G′N于点P，则CP=CF′=7，∴PN===14．设CM=MN=x，则PM=PN﹣MN=14﹣x．在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：（7）2+（14﹣x）2=x2，∴CM=x=．综上所述，存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或．考点：二次函数综合题；动点型；直线与圆的位置关系；分类讨论；等腰三角形的性质；勾股定理．。
2024成都中考数学二轮复习专题：动点引起的等腰直角三角形存在性问题
动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得ax 2+4x+c=0∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c >1，即4c －1>0，4c c->0，解得：0<c<4.②由①知，E 点坐标为：x=422a a-=-，即E 22,a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在y=ax 2+5x+4a 中，当y=0时，得：x=－4a ，x=－1a即M 点坐标为（－4a ，0），N 点坐标为（－1a ，0）过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 2103(,)22或2103(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=3412-或x=3412+（舍）则Q （3412-，4132）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=1332或x=1332-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为13313322⎛⎫ ⎪⎝⎭或34141322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
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2019-2020年中考数学专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题
（含解析）
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的
观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形
的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有
点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就
问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解
这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存
在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相
似三角形存在问题；其它存在问题等。
本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。
在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思
想准确地进行分类。
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线
1
l:y x
2
上，若以A、B、C三点
为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A。
【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【解析】如图，AB 的垂直平分线与直线1
l :y x 2相交于点C ，则以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三
角形。
∴AB=BC=CA 。
点C 的个数是1。
故选A 。
2.如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝8，CD ＝10．
（1）求梯形ABCD 的面积；
（2）动点P 从点B 出发，以2个单位/s 的速度沿B →A →D →Ｃ方向向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以2个单位/s 的速度沿C →D →Ａ方向向点A 运动；过点Q 作QE ⊥BC 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．问：
①当点P 在B →Ａ上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t
的值，并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40；（2）①不存在；②或或.
【解析】1334
3t 45t 56t
∵AD ∥BH ，DH ∥AB ，∴四边形ABHD 是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，∴S ABCD =（AD+BC ）AB=×（2+8）×8=40．
=，
所以PQ 不平分梯形ABCD 的面积；
②第一种情况：当0≤t ≤４时．过Q 点作QH ⊥AB ，垂足为H ．
226CD DH
1
2121
1
(2.43) 6.2 2.4 1.818.9
22
解得：，（不合题意舍去），∴，
∴第二种情况：4≤t ＜5时．DP=DQ=10﹣2t ．
∴当4≤t ＜5时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 恒成立．
第三种情况：5＜t ≤６时．DP=DQ=2t ﹣10．
∴当5＜t ≤６时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 恒成立．
综上所述，或4≤t ＜5或5＜t ≤６时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 成立．
考点：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；
3．动点型．3.如图，在直角梯形ABCD 中,AD ∥CB,
,动点P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒一个单位长的速度向点B
运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动.设运动的时间为
t （秒）. （1）设△BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式
;
（2）当t 为何值时,四边形ABQP 是平行四边形.
（3）当t 为何值时,以B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形? 【答案】（1）S=96-6t （0≤t ＜16）．（2）5;（3）t=或t=【解析】
13
343
t 133443t 13
34
3t 13
343t 90,16,12,21o C BC DC AD 7216
3
试题解析：（1）过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t ，
∴s=QB?PM =（16-t ）×12=96-6t （0≤t ＜16）．
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，
AP=BQ ，
即21-2t=16-t
，解得：t=5，
∴当t=5时，四边形ABQP 是平行四边形．③若PB=PQ ，由PB 2=PQ 2得t 2+122=（16-2t ）2+122
得t 1=，t 2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当t=或t=时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形．
考点：1.直角梯形； 2.等腰三角形的判定；
3.勾股定理；
4.平行四边形的判定．4.如图，已知抛物线
2y x 4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，动点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度在线段
OA 上运动，过点
Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒。
问：△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由。
1637
216
31
212
【答案】解：∵抛物线2y x 4与x 轴交于点A ，与
y 轴交于点B
，∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。
∴tan ∠OAB=2。
若△AON 为等腰三角形，有三种情况：
（I ）若ON=AN ，如图1所示，
过点N 作NQ ⊥OA 于点Q ，
则Q 为OA 中点，OQ=1
2OA=1，
∴t=1
2。
∴t=3
5。
（III ）若OA=AN ，如图3所示，
过点N 作NQ ⊥OA 于点Q ，
设AQ=x ，则AQ?tan ∠OAB=2x ，
在Rt △AND 中，由勾股定理得：NQ 2+AQ 2=AN 2，
即222x 2x 2，解得x 1=255，x 2=255（舍去）。
∴x=25
5，OD=2﹣x=2﹣25
5。
∴t=1﹣5
5。
综上所述，当t 为12秒、3
5秒，1﹣5
5秒时，△AON 为等腰三角形。
【考点】双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。