【完美排版】山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版【含答案】
山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版
2010~2011学年度第二学期期中试卷高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分）1． 已知角α的终边经过点P 33(sin ,cos )44ππ，且2a απ≤<，则α的值为 A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 2． 下列等式中恒成立的是 A ．sin(2)sin x x π+=B ．sin()sin x x π-=-C ．sin()cos()22x x ππ-=- D ．cos()cos x x π+= 3． 已知向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论成立的是 A ．||||a b = B ．22a b = C ．//a b D ．a b -与b 垂直 4． 在△ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 在BC 上满足2BD DC =，则AD 等于A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5． 已知角α是第二象限角，则πα-是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6． 圆的半径为6cm ，则15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为A ．22cm πB ．232cm π C ．2cm π D ．23cm π7． 已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 A ．0 B ．34 C ．1 D ．548． 在△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A =A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213- 9． 函数1()|sin()|23f x x π=+的最小正周期为 A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 10．直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交，则相邻两交点间的距离为A ．πB ．2πω C ．πωD ．2πω 11．如右图是函数2sin()y x ωϕ=+，(||2πϕ<)A ．1011ω= 6πϕ=B ．1011ω= 6πϕ=-C ．2ω= 6πϕ= D ．2ω= 6πϕ=- 12．已知点O 是△ABC 内一点，且OA OB OC O ++=，则O 是△ABC 的A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心第II 卷 主观卷（共52分）二、填空 (每小题4分，共16分)13．若向量1e ，2e 不共线，且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底，则实数k的取值范围为 ．14．若02απ<<，且sin 2α<和1cos 2α>同时成立，则α的取值范围 ．15．函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 ．16．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论① ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-其中正确的叙述有 ．三、解答题17．(12分)求函数tan()6y x =+的定义域．18．(12分) 已知向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角．19．(12分) 已知函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最高点坐标为(,3)6π，与其相邻的对称中心的坐标是(,0)12π-，求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式．20．(10分) (附加题) 已知向量(cos 23,cos 67)a = (cos 68,cos 22)b = 求：(1) a ·b ； (2) 若向量b 与向量m 共线，u a m =+，求u 的模的最小值．2010~2011学年度第二学期期中试卷高一数学答案关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设函数＝，＝，集合＝ （），＝，则＝（ ）A.B.C.D.2. 已知为虚数单位，若复数，则( )A.B.C.D.3. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 A.B.C.D.4. 已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，若一个半径为的球与此四棱锥所有的面都相切，则该四棱锥的高是( )A.f(x)x −1g(x)−23x M x ∈R |f g(x)<0}N {x ∈R |g(f(x))<1}M ∪N (1,+∞)(0,1)(−1,1)(−∞,2)i ω=−+i 123–√2=ω2ω¯¯¯1ωp :{x|(x −m)(x −(m +2))<0}q :{x|−9x +14<0}x 2p q m ()(2,5)[2,5)[2,5](−∞,2]∪[5+∞)S −ABCD 4123–√38B.C.D.5. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.6. 如图，正六边形的边长为，则 A.B.C.D.7. 已知函数的图象为，则：①关于直线对称；②关于点对称；③在上是增函数；④由＝的图象向右平移个单位长度可以得到图象．以上结论正确的有（ ）A.①②839294△ABC △A ′B ′C ′=A ′C ′3–√2=1A ′B ′△ABC AC π532π3ππ103ABCDEF 2∗=(AC →BD →)23612f(x)=2sin(2x +)π3C C x =π712C (,0)π12f(x)(−,)π3π12y 2cos 2x π12CB.①③C.②③④D.①③④8. 已知函数是奇函数，若，则的取值范围是 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知正方体中，设与对角线垂直的平面截正方体表面所得截面多边形记为，则关于多边形的说法正确的是( )A.可能为正三角形B.可能为正方形C.若为六边形，则面积为定值D.若为六边形，则周长为定值10. 下列说法错误的是（ ）A.若，则B.若，则存在唯一实数使得C.两个非零向量，若，则与共线且反向D.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是( )A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是直角三角形D.若，则是锐角三角形f(x)=+a 4x 2xf(2m −1)+f(m −2)≥0m ()m >1m <1m ≥1m ≤1ABCD −A 1B 1C 1D 1AC 1αM M M M M M //,//a →b →b →c →//a →c→//a →b →λ=λa →b→,a →b →|−|=||+||a →b →a →b →a →b →=(1,2),=(2,x)a →b →a →b →x (−1,+∞)△ABC A B C a b c a >b sin A >sin Bsin 2A =sin 2B △ABC a cos B −b cos A =c △ABC +−>0a 2b 2c 2△ABC A C △ABC12. 已知角，，是锐角的三个内角，下列结论一定成立的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若虚数同时满足下列两个条件：①是实数；②的实部与虚部互为相反数，则________，________.14. 设单位向量满足，则________．15. 已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为________.16. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．求：这个圆心角所对的弧长； 这个扇形的面积．18. 已知复数，是虚数单位．若是纯虚数，求的值和；设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且.求；若的面积为，为边的中点，求的最小值．A B C △ABC sin(B +C)=sin Acos(A +B)=cos Ctan()=−tan A +B 2C 2sin()=cos A +B 2C 2z z +5zz +3z =|z|=，e 1→e 2→⋅=−e 1→e 2→12|+2|=e 1→e 2→f(x)={−4,x ≤0，x 2−5,x >0，e x x |f(x)|−ax −5=0a △ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =22π3(1)(2)z =(m ∈R 2+4mi 1−ii )(1)z m |z|(2)z ¯¯¯z −2z z ¯¯¯m △ABC A B C a b c a =2b sin(C +)3–√π3(1)B (2)△ABC 3–√D AB CD20.如图是一个缆车的示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为，且缆车转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到.设点与地面间的距离为，缆车从的位置开始转动．试将表示成关于的函数；若经过后点到达点，试将表示成关于的函数；试利用或的结论，说明缆车从最低点到达最高点至少需要多长时间？21. 将边长为的正方形沿对角线折叠，使得平面 平面, 平面，是的中点，且 .求证：；求二面角的大小．22. 已知函数，若是定义在的奇函数.求的值；判断函数的单调性，并给出证明；若在上有解，求实数的取值范围．4.8m 0.8m 60s OA OA θOB B h OA (1)h θ(2)t s A B h t (3)(1)(2)A 2ABCD BD ABD ⊥CBD AE ⊥ABD F BD AE =2–√(1)DE ⊥AC (2)B −EC −F g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√g(x)R (1)a (2)(3)g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由（）得，求解集得集合；由（）得，求解集得集合；由此计算．【解答】由（），得，解得，所以集合＝；由（），得，即，解得，所以＝；所以＝＝．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接计算，即可得出答案.【解答】解：∵，∴.故选.3.f g(x)>0−2<13x Mg f(x)<1−2<13x−1N M ∪N f g(x)>0−2<13x x <1M {x |x <1}g f(x)<1−2<13x−1<33x−1x <2N {x |x <2}M ∪N {x |x <2}(−∞,2)ω=−+i 123–√2==−i +ω2(−+i)123–√22143–√234i 2=−−i =123–√2ω¯¯¯AC【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：，.因为是的充分不必要条件，所以 且等号不同时成立，解得 .故选.4.【答案】B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由等体积法进行求解.【解答】解：因为球与正四棱锥所有面都相切，所以于是由等体积法知：,即，所以.故选．5.【答案】C p :{x|(x −m)(x −(m +2))<0}={x|m <x <m +2}q :{x|−9x +14<0}={x|2<x <7}x 2p q {m ≥2,m +2≤7,2≤m ≤5C O S −ABCD =+V S−ABCD V O−ABCD V O−SAB +++V O−SBC V O−SDAV O−SCD××h =××113421342+4×××1134×+4h 2−−−−−√2h =83B斜二测画法画直观图旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据斜二测画法可知：，，根据圆锥的表面积公式进而即可求得结果.【解答】解：根据斜二测画法可知：，，为直角三角形，将绕所在直线旋转一周后形成的几何体为圆锥，底面半径为，高为，侧面母线长为，几何体的表面积为.故选.6.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据和正六边形的性质得出答案．【解答】∵正六边形的边长为，∴，，，∴．7.【答案】D【考点】正弦函数的单调性正弦函数的奇偶性和对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】AB ＝1AC ＝3–√AB =1AC =3–√△ABC △ABC AC 13–√2∴S =π×1×2+π×=3π12C =BD →AE →ABCDEF 2AC =AE =CE =23–√=BD →AE →∠CAE =60∘∗=∗=2×2×cos =6AC →BD →AC →AE →3–√3–√60∘A sin(ωx +φ)利用正弦函数的图象和性质，函数＝的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】∵函数的图象为，当时，＝，为最小值，故①关于直线对称，正确．当时，＝，为最大值，故②关于点对称，错误．在上，，单调递增，故③在上是增函数，正确．由＝的图象向右平移个单位长度，可得＝＝＝＝＝的图象，故④正确，8.【答案】C【考点】函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由是奇函数，且定义域为，可得，所以，显然函数在上单调递增.由可得，所以，所以，解得.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）y A sin(ωx +φ)f(x)=2sin(2x +)π3C x =7π12f(x)−2C x =π712x =π12f(x)1C (,0)π12(−,)π3π122x +∈(−,)π3π3π6sin(2x +)π3f(x)(−,)π3π12y 2cos 2x π12y 2cos 2(x −)π122cos(2x −)π62sin(+2x −)π2π6−2sin(2x −)π3f(x)f(x)=+a4x 2x R f(0)==0+a4020a =−1，f(x)=−2x 2−x f(x)R f(2m −1)+f(m −2)≥0f(2m −1)≥−f(m −2)f(2m −1)≥f(2−m)2m −1≥2−m m ≥1C9.【答案】A,D【考点】棱柱的结构特征截面及其作法【解析】画出截面图，根据图形判断．【解答】解：如图所示，截面有这两种可能性，故正确，错误；截面变化过程中，六边形的面积在发生变化，故错误；设正方体棱长为，周长恒为，故正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的共线的充要条件，三角不等式的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：若 ，则，故错误；对于：若 则存在唯一实数入使得，故错误．A B C a 6×a =3a 2–√22–√D AD A B C D A //,//a →b →b →c →(≠)b →0→//a →c →A B //(≠)a →b →b →0→=λa →b →B →−|=||+||→→→对于：两个非零向量，若，则与共线且反向，故正确；对于：因为的夹角为锐角，所以，且不能同向共线即，解得，所以实数的取值范围是，故错误.故选.11.【答案】A,C【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.【解答】解：对于，由正弦定理及大边对大角，所以正确；对于，可得或，是直角三角形或等腰三角形，所以错误；对于，由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确；对于，由余弦定理可知，，可得角是锐角，但不能得出是锐角三角形，所以错误．故选．12.【答案】A,D【考点】诱导公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用三角形内角和为以及诱导公式即可求解.【解答】C ,a →b →|−|=||+||a →b →a →b →a →b →CD ,a →b →⋅=2+2x >0a →b →4−x ≠0x >−1,x ≠4x (−1,4)∪(4，+∞)D ABD A A B A =B A +B =π2△ABC B C a −b =c +−a 2c 2b 22ac +−b 2c 2a 22bc =+a 2b 2c 2C D cos C =>0+−a 2b 2c 22ab C △ABC D AC 180∘A sin(B +C)=sin(π−A)=sin A解：，，正确；，，错误；，，错误；，，正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】或,【考点】复数的基本概念复数的模【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出．【解答】解：设.∵是实数，∴，∴.又∵，∴. ①∵的实数与虚部是相反数，∴. ②联立①②解得或故或，.故答案为：或；.14.【答案】【考点】A sin(B +C)=sin(π−A)=sin A B cos(A +B)=−cosC C tan()=tan()=A +B 2π−C 21tan C 2D sin()=sin()=cos A +B 2π−C 2C 2AD −1−2i −2−i 5–√z z =a +bi z +5z a +bi +5a +bi =(a +bi)+5(a −bi)+a 2b 2=(a +)+(b −)i 5a +a 2b 25b +a 2b 2b −=05b +a 2b 2b ≠0+=5a 2b 2z +3a +3+b =0{a =−1,b =−2{a =−2,b =−1,z =−1−2i z =−2−i |z|=5–√−1−2i −2−i 5–√3–√向量的模【解析】根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，，∴，∴，故答案为：．15.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令得或，∵在上单调递减，在上单调递增，∴作出 的函数图象如图所示：|+2e 1→e 2→|2|+2|e 1→e 2→⋅=−e 1→e 2→12||=1e 1→||=1e 2→|+2=+4⋅+4=1−2+4=3e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→2|+2|=e 1→e 2→3–√3–√{−e ，−，2，}5ln 552f(x)=0x =−2x =ln 5f(x)(−∞,0)(0,+∞)|f(x)|= −4,x ≤−2，x 24−,−2<x ≤0,x 25−,0<x <ln 5,e x −5,x >ln 5.e x y =|f(x)|∵关于的方程恰有三个不同的实数解，∴直线与有个交点，∴ 过点 或过点 或与 的图象相切，若 过点 ，则；若 过点 ,则 ；若 与在 上的图象相切，设切点为 ，则解得；若 在 上的图象相切，设切点为 ，则解得.综上所述，的取值集合为.故答案为：.16.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析x |f(x)|−ax −5=0y =ax +5y =|f(x)|3y =ax +5(−2,0)(ln 5,0)y =ax +5y =|f(x)|(1)y =ax +5(−2,0)a =52(2)y =ax +5(ln 5,0)a =−5ln 5(3)y =ax +5y =|f(x)|(−2,0)(,)x 0y 0 −2=a ，x 0=a +5,y 0x 0=4−.y 0x 20a =2(4)y =ax +5y =|f(x)|(0,ln 5)(,)x 1y 1 −=a ，e x 1=a +5,y 1x 1=5−.y 1e x 1a =−e a {−e ，−，2，}5ln 552{−e ，−，2，}5ln 552【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．∴半径，∴这个圆心角所对的弧长；．【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．∴半径，∴这个圆心角所对的弧长；．18.【答案】解：，若是纯虚数，则解得，此时，.，(1)22π3r ==1sin π323–√l =×=π23–√2π343–√9(2)S =××=1223–√4π3–√94π9(1)22π3r ==1sin π323–√l =×=π23–√2π343–√9(2)S =××=1223–√4π3–√94π9(1)z ==2+4mi 1−i (2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−2m)+(1+2m)i z {1−2m =0,1+2m ≠0,m =12z =2i |z|=2(2)=(1−2m)−(1+2m)i z ¯¯¯−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−¯¯¯2(1+2m)i，因为复数在复平面上对应的点位于第三象限，所以解得．所以当复数在复平面上对应的点位于第三象限时，的取值范围是．【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简．由实部为且虚部不为列式求得值；求出的代数形式，再由实部与虚部均小于联立不等式组求解．【解答】解：，若是纯虚数，则解得，此时，.，，因为复数在复平面上对应的点位于第三象限，所以解得．所以当复数在复平面上对应的点位于第三象限时，的取值范围是．19.【答案】解：由，得，即，又，化简可得，−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−z ¯¯¯2(1+2m)i =(2m −1)+(−3−6m)i −2z z ¯¯¯{2m −1<0,−3−6m<0,−<m <1212−2z z ¯¯¯m −<m <1212z (1)00m (2)−2z z ¯¯¯0(1)z ==2+4mi 1−i (2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−2m)+(1+2m)i z {1−2m =0,1+2m ≠0,m =12z =2i |z|=2(2)=(1−2m)−(1+2m)i z ¯¯¯−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−z ¯¯¯2(1+2m)i =(2m −1)+(−3−6m)i −2z z ¯¯¯{2m −1<0,−3−6m <0,−<m <1212−2z z ¯¯¯m −<m <1212(1)a =2b sin(C +)3–√π3sin A =2sin B (sin C cos +cos C sin )3–√π3π3sin B cos C +cos B sin C 3–√3–√=sin B sin C +sin B cos C 3–√sin C >0cos B =sin B 3–√tan B =3–√即，因为，所以.因为，所以，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当，时，等号成立，所以，即的最小值为.【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】暂无暂无【解答】解：由，得，即，又，化简可得，即，因为，所以.因为，所以，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当，时，等号成立，所以，即的最小值为.20.【答案】解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√ac =4△BCD C =+−2a ⋅cos B D 2a 2()c 22c 2=+−2≥2a ⋅−2=2a 2c 24c 2a =2–√c =22–√CD ≥2–√CD 2–√(1)a =2b sin(C +)3–√π3sin A =2sin B (sin C cos +cos C sin)3–√π3π3sin B cos C +cos B sin C 3–√3–√=sin B sin C +sin B cos C3–√sin C >0cos B =sin B 3–√tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√ac =4△BCD C =+−2a ⋅cosB D 2a 2()c 22c 2=+−2≥2a ⋅−2=2a 2c 24c 2a =2–√c =22–√CD ≥2–√CD 2–√(1)O则以为始边，为终边的角为，故点的坐标为，∴，即.点在圆上转动的角速度是，故转过的弧度数为，∴，.缆车从最低点到达最高点时，.令，则，∴，解得，∴缆车从最低点到达最高点至少需要.【考点】已知三角函数模型的应用问题在实际问题中建立三角函数模型由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，易得到到与间的函数关系式；（2）由秒转动一圈，易得点在圆上转动的角速度是，故秒转过的弧度数为，根据（1）的结论，我们将代入解析式，即可得到满足条件的值．【解答】Ox OB θ−π2B (4.8cos(θ−)，4.8sin(θ−))π2π2h =4.8+0.8+4.8sin(θ−)π2h =5.6+4.8sin(θ−)(θ≥0)π2(2)A rad/s π30t s t π30h =5.6+4.8sin(t −)π30π2t ∈[0，+∞)(3)A h =10.4m 5.6+4.8sin(t −)=10.4π30π2sin(t −)=1π30π2t −=π30π2π2t =30s A 30s O x Y 4.8m 0.8m 60h θ60A π30t t π30t π30t (1)O解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以为始边，为终边的角为，故点的坐标为，∴，即.点在圆上转动的角速度是，故转过的弧度数为，∴，.缆车从最低点到达最高点时，.令，则，∴，解得，∴缆车从最低点到达最高点至少需要.21.【答案】证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，取的中点并连结，由题意得， ，又平面 平面， 平面, (1)O Ox OB θ−π2B (4.8cos(θ−)，4.8sin(θ−))π2π2h =4.8+0.8+4.8sin(θ−)π2h =5.6+4.8sin(θ−)(θ≥0)π2(2)A rad/s π30t s t π30h =5.6+4.8sin(t −)π30π2t ∈[0，+∞)(3)A h =10.4m 5.6+4.8sin(t −)=10.4π30π2sin(t −)=1π30π2t −=π30π2π2t =30s A 30s (1)A AB AD AE x y z E (0,0,)，B (2,0,0)，D (0,2,0)2–√BD F CF CF ⊥BD ABD ⊥BDC CF ⊥ABD (0,−2,)−→−(1,1,),−→−，，∴，∴.解：，，，∴，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，∵，∴，则，取，得，∴设二面角的平面角为，由图知为锐角，，∴，则，∴二面角的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，取的中点并连结，由题意得， ，又平面 平面， 平面, ，，∴，∴C(1,1，)2–√=(0,−2,)DE −→−2–√=(1,1,),AC −→−2–√⋅=(0,−2,)⋅(1,1,)=0DE −→−AC −→−2–√2–√DE ⊥AC (2)B(2,0,0)D(0,2,0)E(0,0,)2–√=(2,0,−)EB −→−2–√=(−1,1,)BC −→−2–√BCE =(x,y,z)n →{ 2x −z =02–√−x +y +z =02–√x =1=(1,−1,)n →2–√FCE =(a,b,c)m →F(1，1，0)=(1，1，0)，=(0，0，)EC −→−FC −→−2–√{a +b =0c =0a =1=(1,−1,0)m →B −EC −F θθcos <，>===m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →22×2–√2–√2cos θ=2–√2θ=π4B −EC −F π4(1)A AB AD AE x y z E (0,0,)，B (2,0,0)，D (0,2,0)2–√BD F CF CF ⊥BD ABD ⊥BDC CF ⊥ABD ∴C(1,1，)2–√=(0,−2,)DE −→−2–√=(1,1,),AC −→−2–√⋅=(0,−2,)⋅(1,1,)=0DE −→−AC −→−2–√2–√DE ⊥AC∴.解：，，，∴，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，∵，∴，则，取，得，∴设二面角的平面角为，由图知为锐角，，∴，则，∴二面角的大小为．22.【答案】解：已知函数是定义在上的奇函数，则，即，解得.在定义域上单调递减.证明如下：由知，，则.设，则，∴.∵，∴,∴，即，∴在定义域上单调递减.由可得函数在定义域上单调递减，而在上有解，即在上有解，即在上有解.令 ，，DE ⊥AC (2)B(2,0,0)D(0,2,0)E(0,0,)2–√=(2,0,−)EB −→−2–√=(−1,1,)BC −→−2–√BCE =(x,y,z)n →{ 2x −z =02–√−x +y +z =02–√x =1=(1,−1,)n →2–√FCE =(a,b,c)m →F(1，1，0)=(1，1，0)，=(0，0，)EC −→−FC −→−2–√{a +b =0c =0a =1=(1,−1,0)m →B −EC −F θθcos <，>===m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →22×2–√2–√2cos θ=2–√2θ=π4B −EC −F π4(1)g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√R g(0)=0lg(−0)0+a −−−−√=lg =0a −√a =1(2)g(x)R (1)a =1g(x)=lg(−x)+1x 2−−−−−√0<<x 1x 20<<+1x 21−−−−−√+1x 22−−−−−√+<+1x 21−−−−−√x 1++1x 22−−−−−√x 2−+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2=>1++1x 22−−−−−√x 2++1x 21−−−−−√x 1lg −+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2>0g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)R (3)(2)f (x)R g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b +2<2x +1x 2x ∈[2,3]b <2x −1x 2x ∈[2,3]=t 1x t ∈[,]1312h (t)=−+2t2则 的对称轴为，故在区间上单调递增，可得 ，所以，故实数的取值范围为.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明复合函数的单调性函数最值的应用函数单调性的性质不等式恒成立问题【解析】（1）利用函数为奇函数，由奇函数在原点的值为零求解即可.（2）由（1）所得信息以及函数为奇函数用赋值法求出，进而即可判断函数的单调性.（3）由（2）中所得信息将问题进行转化，利用换元法进行求解即可.【解答】解：已知函数是定义在上的奇函数，则，即，解得.在定义域上单调递减.证明如下：由知，，则.设，则，∴.∵，∴,∴，即，∴在定义域上单调递减.h (t)=−+2tt 2t =1h (t)[,]1312h =h ()=(t)max1234b <34b (−∞,)34f(1)(1)g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√R g(0)=0lg(−0)0+a −−−−√=lg =0a −√a =1(2)g(x)R (1)a =1g(x)=lg(−x)+1x 2−−−−−√0<<x 1x 20<<+1x 21−−−−−√+1x 22−−−−−√+<+1x 21−−−−−√x 1++1x 22−−−−−√x 2−+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2=>1++1x 22−−−−−√x 2++1x 21−−−−−√x 1lg −+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2>0g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)R (3)(2)f (x)R由可得函数在定义域上单调递减，而在上有解，即在上有解，即在上有解.令 ，，则 的对称轴为，故在区间上单调递增，可得 ，所以，故实数的取值范围为.(3)(2)f (x)R g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b +2<2x +1x 2x ∈[2,3]b <2x −1x 2x ∈[2,3]=t 1x t ∈[,]1312h (t)=−+2t t 2t =1h (t)[,]1312h =h ()=(t)max 1234b <34b (−∞,)34。
山西省大同市第一中学高一数学下学期模块测试(期中)试题
2015~2016学年度第二学期 模块测试高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共30分）一、选择题 (每题3分，共30分)1．下列角中，终边与330°角相同的是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°2．已知22(,)a =-，3(,)b x =-，若a b ⊥，则x 的值为A ．3B ．1C ．－1D ．－33．已知向量34(,)a =，(sin ,cos )b αα=，且//a b ，则tan α=A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．若02απ<<，且sin α<，1cos 2α>，利用三角函数线得到角α的取值范围是A ．33(,)ππ-B ．03(,)πC ．523(,)ππD ．50233(,)(,)πππ 5． 已知向量34(,)a =，则与a 方向相同的单位向量是( )A ．4355(,)B ．3455(,)C ．3455(,)-- D ．43(,) 6． 在△ABC 中，若sin()sin()A B C A B C +-=-+，则△ABC 必是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7． 已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB a =，AC b =，则AD =( )A ．12a b -B ．12a b -C ．12a b +D ．12a b +8． 为了得到函数3sin(2)y x π=+的图象，只要把3sin()y x π=+AODA ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 9． 函数22sin y x =是A ．以2π为周期的偶函数B ．以π为周期的偶函数C ．以2π为周期的奇函数D ．以π为周期的奇函数10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，且在[3,4]上是增函数，A 、B 是锐角三角形的两个内角，则A ．(sin )(cos )f A fB < B ．(sin )(cos )f A f B >C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B >第II 卷 主观卷（共30分）二、填空题 (每题4分，共20分) 11．cos12π= ．12．tan 20tan 403tan 20tan 40++= ．13．在△ABC 中，||5AB =，||4AC =，||3BC =，则AB BC = ．14．如图在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 中点，则MN = ．(用a ，b 表示)15．已知当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= ．三、解答题 (每题10分，共50分)MN(1) 求a b ；(2) |2|a b -17．(10分) 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0A >，0ω>，||2πϕ<)的部分图象如图所示，(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 求函数()f x 在区间[,]2ππ--上的最大值和最小值．18．(10分) 已知α是一个三角形的内角，且1sin cos 5αα+=(1) 求tan α的值； (2) 用tan α表示221sin cos αα-并求其值．19．(10分) 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，()f x a b =(1) 求函数()f x 图象的对称轴方程； (2) 若对任意实数[,]63x ππ∈，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．20．(10分) 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =(1) 若||25c =且//c a ，求c 的坐标；(2) 若5||2b =，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．。
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A．若点 A 的纵坐标是 ， 那 么 sinα 的值是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2015 高一下·广安期中) 若 1 和 a 的等差中项是 2，则 a 的值为（ ） A.4 B.3 C.1 D . ﹣43. （2 分） (2016 高一下·汕头期末) 设 an= sin 正数的个数是（ ），Sn=a1+a2+…+an ， 在 S1 ， S2 ， …S100 中，A . 25B . 50第1页共9页C . 75 D . 1004. （2 分） (2017 高二上·中山月考) 定义为 个正数 ， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2016 高一下·邯郸期中) 已知锐角 α 满足 sinα+cosα= ，则 tan（ ） =（ ）A.﹣B.C.D.6. （2 分） (2020·漳州模拟) 在中，D 是边 AC 上的点，且，则的值为（ ）A. B. C.第2页共9页D. 7. （2 分） 要得到函数 A . 向左平移 个单位 B . 向左平移 个单位 C . 向右平移 个单位 D . 向右平移 个单位的图象,可以将函数的图象（ ）8. （2 分） (2017 高三上·河北月考) 已知函数则的取值范围是（ ），设，若，A.B.C.D. 9. （2 分） 与 30°角终边相同的角的集合是（ ）A . {α|α=k•360°+ ，k∈Z} B . {α|α=2kπ+30°，k∈Z} C . {α|α=2k•360°+30°，k∈Z}D . {α|α=2kπ+ ，k∈Z}10. （2 分） (2017 高一下·长春期末) 在△ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别为,则为（ ）第3页共9页为锐角，A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、 填空题 (共 7 题；共 11 分)11. （1 分） (2018 高一下·苏州期末) 已知的三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ，，且角 ， ， 成等差数列，则的值为________．12. （1 分） (2017 高一下·天津期末) 已知{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a6=5，S4=12a4 ， 则公 差 d 的值为________．13. （1 分） (2016 高二上·莆田期中) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，若 bcosC=ccosB 成 立，则△ABC 是________三角形．14. （1 分） (2015 高三上·上海期中) 若三个数 a，1，c 成等差数列（其中 a≠c），且 a2 ， 1，c2 成等比数列，则的值为________．15. （1 分） (2018 高二上·惠来期中) 等比数列 中，，________。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（ ）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（ ）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，， 则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面， ，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据 ，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中， ，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中， ，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，， ，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量 ，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以 ，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． 【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。
山西省大同1中10-11学年高1数学下学期期中试题新人教A版
2021~2021学年度第二学期期中试卷高 一 数 学第|一卷 客观卷 (共48分 )一、选择题 (每题4分 ,共48分 ) 1． 角α的终边经过点P 33(sin,cos )44ππ,且2a απ≤< ,那么α的值为 A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π2． 以下等式中恒成立的是A ．sin(2)sin x x π+=B ．sin()sin x x π-=-C ．sin()cos()22x x ππ-=- D ．cos()cos x x π+=3． 向量(1,0)a = ,11(,)22b = ,那么以下结论成立的是 A ．||||a b = B ．22a b =C ．//a bD ．a b -与b 垂直 4． 在△ABC 中 ,AB c = ,AC b = ,假设点D 在BC 上满足2BD DC = ,那么AD 等于A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5． 角α是第二象限角 ,那么πα-是A ．第|一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 6． 圆的半径为6cm ,那么15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为 A ．22cm πB ．232cm πC ．2cm πD ．23cm π7． tan 2α= ,那么2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A ．0B ．34C ．1D ．548． 在△ABC 中 ,5tan 12A =- ,那么cos A =A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213- 9． 函数1()|sin()|23f x x π=+的最||小正周期为A ．4πB ．3πC ．2πD ．π10．直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交 ,那么相邻两交点间的距离为A ．πB ．2πω C ．πωD ．2πω 11．如右图是函数2sin()y x ωϕ=+ ,(||2πϕ<)的图象 ,A ．1011ω=6πϕ= B ．1011ω= 6πϕ=-C ．2ω= 6πϕ=D ．2ω= 6πϕ=-12．点O 是△ABC 内一点 ,且OA OB OC O ++= ,那么O 是△ABC 的A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心第II 卷 主观卷 (共52分 )二、填空 (每题4分 ,共16分)13．假设向量1e ,2e 不共线 ,且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底 ,那么实数k 的取值范围为 ． 14．假设02απ<< ,且sin α<和1cos 2α>同时成立 ,那么α的取值范围．15．函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 ． 16．设a 、b 、c 是任意的非零向量 ,且相互不共线 ,给定以下结论① ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=- 其中正确的表达有 ．三、解答题17．(12分) 求函数1tan tan()6xy x π-=+的定义域．18．(12分) 向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角．19．(12分) 函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最||高点坐标为(,3)6π,与其相邻的对称中|心的坐标是(,0)12π-,求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式．20．(10分) (附加题) 向量(cos23,cos67)a = (cos68,cos22)b =求：(1) a ·b ；(2) 假设向量b 与向量m 共线 ,u a m =+ ,求u 的模的最||小值．2021~2021学年度第二学期期中试卷高一数学答案。
核心素养练-山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版
~度第二学期期中试卷高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分） 1Q已知角α的终边经过点P 33(sin,cos )44ππ，且2a απ≤<，则α的值为 A Q4π B Q34π C Q54π D Q74π2Q下列等式中恒成立的是A Qsin(2)sin x x π+=B Qsin()sin x x π-=-C Qsin()cos()22x x ππ-=-D Qcos()cos x x π+=3Q已知向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论成立的是 A Q||||a b = B Q2a b =C Q//a b D Qa b -与b 垂直 4Q在△ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 在BC 上满足2BD DC =，则AD 等于AQ2133b c + B Q5233c b - C Q2133b c - D Q1233b c + 5Q已知角α是第二象限角，则πα-是A Q第一象限角 B Q第二象限角 C Q第三象限角 D Q第四象限角6Q圆的半径为6cm ，则15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为AQ22cm πBQ232cm πC Q2cm π D Q23cm π7Q已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A Q0 B Q34 C Q1 D Q548Q在△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A =AQ1213 B Q513 C Q513- D Q1213- 9Q函数1()|sin()|23f x x π=+的最小正周期为A Q4π B Q3π C Q2π D Qπ10Q直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交，则相邻两交点间的距离为AQπ BQ2πω C QπωD Q2πω 11Q如右图是函数2sin()y x ωϕ=+，(||2πϕ<)的图象，那么A Q1011ω=6πϕ=B Q1011ω= 6πϕ=-C Q2ω= 6πϕ=D Q2ω= 6πϕ=-12Q已知点Q 是△ABC 内一点，且OA OB OC O ++=，则Q 是△ABC 的A Q垂心 B Q重心 C Q内心 D Q外心第II 卷 主观卷（共52分）二、填空 (每小题4分，共16分)13Q若向量1e ，2e 不共线，且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底，则实数k的取值范围为 Q14Q若02απ<<，且sin α<和1cos 2α>同时成立，则α的取值范围Q15Q函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 Q16Q设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论Q ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=- 其中正确的叙述有 Q三、解答题17Q(12分)求函数tan()6y x =+Q18Q(12分) 已知向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角Q19Q(12分) 已知函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最高点坐标为(,3)6π，与其相邻的对称中心的坐标是(,0)12π-，求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式Q20Q(10分) (附加题) 已知向量(cos23,cos67)a = (cos68,cos22)b =求：(1) a ·b ；(2) 若向量b 与向量m 共线，u a m =+，求u 的模的最小值Q~度第二学期期中试卷高一数学答案。
山西省大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
山西省大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数1i43i++的虚部是（ ） A ．1i 25B ．125C ．1i 25-D ．125-2．已知向量,a b r r 满足2=r a ，1=r b ，且π,3a b =r r ，则2a b +=r r （ ）AB ．2C ．D 3．斜四棱柱侧面中矩形的个数最多可有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b =r ，则a r 在b r上的投影向量为（ ） A ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm,2cm ，则此球的体积为（ ）A 3cmB 3cmC ．316πcm 3D ．332πcm 36．在平行四边形ABCD 中，G 为ABC V 的重心，满足(),R AG xAB y AD x y =+∈u u u r u u u r u u u r ，则2x y +=（ ）A ．43B ．53C ．0D ．1-7．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．π)33B ++B ．π)36B ++C ．π6sin()33B ++D ．π6sin()36B ++8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3，150AOB ∠=︒，点E ，F分别在»AB ，»CD上，且2FE OF =u u u r u u u r ，则AF OE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．156,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡-⎢⎣⎦D ．6,3⎡-⎢⎣⎦二、多选题9．复数1z =，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（ ） A ．z 对应的点在复平面的第四象限 B ．2z 是一个纯虚数 C ．2z z ⋅=D ．i z z= 10．下列选项中哪些是正确的（ ）A ．12342023i i i i ..i 1++++⋯⋯+=-（i 为虚数单位）B ．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台C ．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 是钝角三角形D ．当32x <时，向量(),3a x =r ，()2,1b =-r 的夹角为钝角 11．在正四面体ABCD 中，若2AB =，M 为BC 的中点，下列结论正确的是（ ）A B ．正四面体外接球的表面积为6πC ．正四面体-P ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值D ．正四面体ABCD 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD 上，上底圆面与面ABD 、面ABC 、面ACD三、填空题12．如图，O A B '''△是水平放置的OAB V 的斜二测直观图，若3O A ''=，4OB '=，则O A B V 的面积为.13．在ABC V 中，13,2,cos()3a b A B ==+=，则c = .14．已知圆台12O O 的轴截面是等腰梯形ABCD ，//AB CD ，2CD AB =，圆台12O O 的底面圆周都在球O 的表面上，点O 在线段12O O 上，且122OO OO =，记圆台12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V = ．四、解答题 15．回答下列问题(1)已知复数2i z m =+是方程26130x x ++=的根（i 是虚数单位，m ∈R ），求z ． (2)已知复数32i z =-+，设复数20231i a z z-=，（z 是z 的共轭复数），且复数1z 所对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围．16．如图，在等腰三角形ABC中，30,AB AC BAC F ∠==o 是线段AC 上的动点（异于端点），3BC BE =u u u r u u u r.(1)若F 是AC 边的中点，求AE BF ⋅u u u r u u u r的值； (2)当AE BF ⋅=u u u r u u u r F 的位置.17．已知圆锥的顶点为P ，母线P A ，PB 所成角的余弦值为14，轴截面等腰三角形P AC 的顶角为90︒，若PAB V的面积为(1)求该圆锥的侧面积；(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.18．在①()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+；②()()222sin sin cos 1sin sin B C A A B A C ++-=++；③sin sin sinsin b B c C a A A c B +-；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______. (1)求A ；(2)若ABC V 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.。
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7．
已知 tan
2
，则
2 sin sin
2
cos cos
的值为
3
A．0
B．
C．1
4
8． 在△ABC 中， tan A 5 ，则 cos A 12
1
5
D．
4
12
A．
13
5
B．
13
C． 5 13
9． 函数 f (x) | sin(1 x ) | 的最小正周期为 23
A． 4
B． 3
③ (bAc)Aa (cAa)Ab 不与 c 垂直
④
(3a
2b)(3a
2b)
2 9a
2 4b
2
其中正确的叙述有
．
三、解答题
17．(12 分)
求函数
y
1 tan x tan(x ) 的定义域．
6
18．(12 分) 已知向量 a 、 b 满足| a | 5 b (1, 3) 且 (2a b) b
求：(1)向量 a 的坐标；(2) 向量 a 与 b 的夹角．
19．(12 分) 已知函数 y Asin( x ) ( x R ； A 0 ； 0 ；| | ) 该函数 2
图象上的一个最高点坐标为 ( ,
3) ，与其相邻的对称中心的坐标是 ( ,
0) ，
6
12
求该函数 y Asin( x ) 的解析式．
A．
2
b
1
c
33
B．
5
c
2
b
33
C．
2
b
1
c
33
D．
1
b
2
c
33
5． 已知角 是第二象限角，则 是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6． 圆的半径为 6cm，则 15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为
A． cm2 2
B． 3 cm2 2
C． cm2
D． 3 cm2
C． sin(
x)
cos(
x)
2
2
3． 已知向量 a (1,
0)
，
b
(
1
,
2
D． cos( x) cos x 1
) ，则下列结论成立的是 2
A．| a || b |
B． aAb
2
2
C． a // b
D． a b 与 b 垂直
4． 在△ABC 中， AB c ， AC b ，若点 D 在 BC 上满足 BD 2DC ，则 AD 等于
C． 2
D． 12 13
D．
10．直线 y 3 与函数 y tan x ( 0 )的图象相交，则相邻两交点间的距离为
A．
2
B．
C．
D．
2
11．如右图是函数 y 2sin( x ) ，(| | )的图象，那么
y
2
A． 10
11
6
C． 2 6
B． 10
1
11
k 的取值范围为
．
14．若 0 2 ，且 sin 3 和 cos 1 同时成立，则 的取值范围
2
2
．
15．函数 y 2 sin x 1的单调递增区间为
．
16．设 a 、 b 、 c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论
① (aAb)Ac (cAa)Ab 0
② | o
6
12．已知点 O 是△ABC 内一点，且 OA OB OC O ，则 O 是△ABC 的
x 11
12
A．垂心
B．重心 C．内心
D．外心
第 II 卷 主观卷（共 52 分）
二、填空 (每小题 4 分，共 16 分)
13．若向量 e1 ， e2 不共线，且 k e1 e2 与 e1 k e2 可以作为平面内的一组基底，则实数
高一第二学期数学期中试卷
第Ⅰ卷 客观卷（共 48 分）
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1． 已知角 的终边经过点 P (sin 3 , 4
A．
4
3
B．
4
2． 下列等式中恒成立的是
cos 3 ) ，且 a 2 ，则 的值为 4
5
C．
4
7
D．
4
A． sin(2 x) sin x
B． sin( x) sin x
20．(10 分) (附加题) 已知向量 a (cos 23, cos 67 ) b (cos 68, cos 22 )
求：(1) a · b ；
(2) 若向量 b 与向量 m 共线， u a m ，求 u 的模的最小值．
3
2010~2011 学年度第二学期期中试卷
高一数学答案
4