高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

a
lim
n
(a2
c c2
)n
的值是
(
)
A0
B1
C 0或1
D 不存在
3 lim ( x x x x ) =_________ n
4 若 lim (a 2n 2 n 1 nb) =1,则 ab 的值是 _________ n
5
在数列 { an} 中，已知
3 a1= ,a2=
31
,且数列 { an+1－
1 an } 是公比为
x 1) (ax b) 2
x
x
x 2 x 1 ax b
(1 a2 ) x 2 (1 2ab) x (1 b 2 )
lim
x
x2 x 1 ax b
要使上式极限存在，则 1－ a2=0, 当 1－ a2=0 时，
1 b2
上式
(1 2ab) x (1 b2 ) lim
lim
(1 2ab)
x2
x
2
x x 1 ax b
n
a1 a2
1 ) lim 2(1 1 ) 2 答案 A
an n
n
2 解析
ac 2 ac 2
ac2
a 2c2
,得 1
a2
学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限
2 运算法则中各个极限都应存在
都可推广到任意有限个极限的情况， 不能推广到无
限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限
3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如
n
( 1) lim
0, lim an 0(| a | 1)
学生巩固练习
2n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1
2n 1 3 2n 3 2n 1 2n
1 (n为奇数 ) 6 3 ( n为偶数 ) 2
1 an 是 (1+ x)n 展开式中含 x2 的项的系数，则 lim ( 1 1
n
a1 a2
1 ) 等于 an
A2
B0
C1
D －1
2
若三数 a,1,c 成等差数列且 a2,1,c2 又成等比数列，则
1 的等比数列，
5 100
10
2
3
数列 {lg( an+1 － 1 an} 是公差为－ 1 的等差数列 2
(1)求数列 { an} 的通项公式； (2)Sn =a1 +a2+… +an( n ≥1),求 lim Sn
n
参考答案
1 解析
an
C
2 n
n( n 1) ,
1
2( 1
1) ，
2
an
n1 n
lim ( 1 1
a1
(1 b)2
an
bb
[
an 2
1 b1 b
b (1 b) n ]
1 (1 b) n 1
( b )2an 2 1b
( b )2[ b an 3 1b 1b
b (1 b) n 1 ]
b b2 (1 b) n 1
( b )2 an 3 1b
b b2 b3 (1 b)n 1 ,
由此猜想 an
( b )n 1a1 1b
b(b
bn 1 ) (
1 )n 1(b
1),
1b 1b
1 (1 b) n
0 b 1时 , lim bn 0, lim ( 1 ) n 0, lim Sn 1.
n
n 1b
n
例 3 求 lim n
an 2n
2n 1 an 1
解 : 当a 2或a
2时, lim n
an 2n
2n 1 an 1
1 1( 2)n 1
b b 2 b3
bn 1
(1 b) n 1
把 a1
(1
b b)2
代入上式得
b2 b (1 b) n 1
2
b b2
bn
an
(1 b) n 1
b bn 1 (1 b)(1 b) n 1 (b 1)
n 2n
1
(b
1)
(3)Sn
1 ban
1 (1 b)n
b bn 1
1
b (1
b)(1
b) n 1
1 1 (1 b)n
既有章可循，有法可依 力
因而本题 重 点考查考生的这种能力
也就是本知识的系统掌握能
知识依托 解决本题的 闪光点是对式 子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式
子常用的一种方法
错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错
技巧与方法 有理化处理
解
lim ( x 2
x 1 ax b)
(x2 lim
lim
n
aa (2)n a
1; a
a
an 2n 1
当
2
a
2时, lim n
2n
an 1
( a )n 1
lim
n
22 2 a( a ) n
1 ;
4
2
当a
2时 ,lim n
an 2n
2n 1 an 1
3 2n 1
lim
n
6
2n 1
1 ;
2
当a
n
2时,
a 2n
n1
2 an 1
n
n1
( 2) 2
2n ( 2) n 1
x
11
b
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
a x
由已知得 (1 2ab) 0 1a
(1 2ab) 1a
1
2
1a 0
a1
∴
(1 2ab)
0
解得 b
1
1a
2
例 2 设数列
a1,a2,… ,an,…的前 n 项的和
Sn 和 an 的关系是
Sn=1 －ban－
(1
1 b) n
,其中
b是
与 n 无关的常数，且 b≠－ 1 (1)求 an 和 an－1 的关系式； (2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式；
高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算
高考要求
极限的概念及其渗透的思想， 在数学中占有重要的地位， 它是人们研究许多问题的工具
旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一
本节内容主要是指导
考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题
重难点归纳
1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限
n
n
n
lim
n
a0 x k b0 x l
a1 x k 1 b1x l 1
a0 ,当 k l时
b0
ak 0,当 k l时
b1
不存在 ,当 k l时
典型题例示范讲解
例 1 已知 lim ( x 2 x 1 － ax－ b)=0,确定 a 与 b 的值 x
命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，
(3)当 0＜ b＜ 1 时，求极限 lim Sn n
命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前 系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前 本题考查学生的综合能力
n 项和 Sn 等有紧密的联 n 项和 Sn 再求极限，
错解分析 本题难点是第 (2)中由 (1)中的关系式猜想通项及 n=1 与 n=2 时的式子不统一性
技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律
1
1
解
(1) an=Sn－ Sn－1=－ b(an－ an－1)－ (1
b) n
(1 b) n 1
b
b
b
=－ b(an－ an －1)+ (1
b) n
(n≥ 2)解得 an= 1
b an 1
(1 b) n 1
( n≥2)
1
b
( 2)
a1
S1
1
ba1
1
, b