2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级(上)期中数学试卷 解析版
2022-2023学年上海市徐汇区九年级上学期数学学科期中考测试卷(徐汇部分学校联考)含详解
C.△BDF∽△BECD.△BDF∽△BAE
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
10.如果向量 、 、 满足 ，用 、 表示 ______．
11.已知 与 相似，且 与 的相似比为 ，如果 的面积为18，那么 的面积等于______．
12.点 在线段 上，且 ， ，那么 的长为______．
13.如图，已知直线 ，直线 分别与直线 、 、 相交于点 、 、 ．直线 分别与直线 、 、 相交于点 、 、 ，直线 与 交于点 ．如果 ， ，那么 的长为______．
A. B. C. D.
3.下列关于二次函数 的图像说法中错误的是（）
A.它的对称轴是直线 B.它的图像有最高点
C.它的顶点坐标是 D.在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小
4.下列说法中正确的是（）
A.如果 或 ，那么
B.如果 与 均是单位向量，那么
C.如果 是单位向量， 的长度为5，那么
D.如果 、 非零实数， 为非零向量，那么 ．
点P是线段AB的黄金分割点且
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割点的概念并能正确判断较长线段和较短线段是解决本题的关键．
13.如图，已知直线 ，直线 分别与直线 、 、 相交于点 、 、 ．直线 分别与直线 、 、 相交于点 、 、 ，直线 与 交于点 ．如果 ， ，那么 的长为______．
C、如果 是单位向量， 的长度为5，那么 ，原说法正确，符合题意，选项正确；
2021-2022学年上海市徐汇区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市徐汇区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜05．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约厘米．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM ＝．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sin A＝＝，故选：B．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；C．当x＝时，函数有最小值为﹣＜6，故C选项符合题意；D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．故选：C．3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝【分析】根据相等向量，平行向量，向量的乘法等知识，一一判断即可．解：A、若＝，＝，则＝，正确，本选项不符合题意．B、2（﹣）＝2﹣2，正确，本选项不符合题意．C，若＝﹣，则∥，正确，本选项不符合题意．D、若||＝||，则＝，模相等，向量不一定相等，错误，本选项符合题意．故选：D．4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向即可判断A；根据对称轴的位置即可判断B；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断C；结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，即可判断D．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A正确；∵对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＜0，故B不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故C正确；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，即a+b+c＜0，故D正确；故选：B．5．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证明△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得出答案．解：①∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴BO：OE＝OC：OD＝2：1，∴对△BOD和△COE来说不存在两组对边成比例，故△BOD和△COE不一定相似，故①错误．②∵DE∥BC，∴S△BCD＝S△BCE，∴S△BOD＝S△COE，故②正确；③∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，∴，，∴，∵，∴；故③正确；④由③可知．故④错误．故选：B．6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα【分析】作AE⊥OB交OB的延长线于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A到OC的距离．解：如图，作AE⊥OB交OB的延长线于点E，∵OC⊥OB，∴∠AEB＝∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，∵＝cos∠ABE＝cosα，∴BE＝AB•cosα＝a•cosα，∵＝sin∠BCO＝sinα，∴OB＝BC•sinα＝b•sinα，∴OE＝BE+OB＝a•cosα+b•sinα，∵AE∥OC，∴点A、点E到OC的距离相等，∴点A到OC的距离等于a•cosα+b•sinα，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．解：由＝，得a＝．当a＝时，＝＝＝，故答案为：．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约7厘米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．解：设图上距离为x厘米，则1：5000000＝x：35000000，所以x＝7（厘米）．上海与南京的图上距离约7厘米．故答案为7．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是y＝2x2+3．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．解：二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，得：y＝2x2+3．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝1：．【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．解：由勾股定理得：＝100米，∴坡度i＝＝1：．故答案为：1：．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为12．【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．解：把原点（0，0）代入解析式，得﹣12+m＝0，解得，m＝12，故答案为：12．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．解：原式＝2×+1﹣2×﹣＝+1﹣1﹣＝0．故答案为：0．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＞y2（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．【分析】将x＝﹣3和x＝0分别代入函数解析式求得y的值，然后比较大小．解：当x＝﹣3时，y1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+5＝20，当x＝0时，y2＝5，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM＝2﹣2．【分析】根据PM为MN、PN比例中项得出PM2＝MN×PN，再把MN＝4代入，即可求出答案．解：∵PM为MN、PN比例中项，∴PM2＝MN×PN，∵MN＝PM+PN＝4，∴PM2＝4×（4﹣PM），解得：PM＝2﹣2（负数舍去），故答案为：2﹣2．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为12．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG ＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为：12．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．【分析】根据三角形法则求得和，结合图形易求，然后求比值．解：∵，∴＝﹣＝﹣．∵＝，，∴＝﹣＝+﹣＝﹣＝（﹣）．∴＝﹣＝﹣﹣（﹣）＝﹣＝（﹣）．∴＝．故答案是：．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为（﹣，）．【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE ＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），即可得到3m2＝1，解得m的值，即可求得A的坐标．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵点C的坐标为（0，1），∴3m2＝1，∴m2＝，∴﹣m＝﹣，∴A（﹣，）．故答案为：（﹣，）．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．解：如图2所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即较短的那条长为．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．【分析】过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，利用等腰三角形的性质得出BE，进而利用三角形的面积得出BD，进而解直角三角形即可．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝3，∴AE＝，∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，即，∴AD＝，∴cos A＝＝．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，进而得出答案．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）向左平移2﹣（﹣1）＝3个单位，平移后抛物线的顶点为（﹣1，1）落在直线y＝﹣x上，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1．也可以向下平移三个单位得到顶点落在y＝﹣x上．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．【分析】（1）根据平行线分线段成比例推出，从而推出，则有EF∥BD；（2）根据平行线的性质得到∠DFE＝∠ADB、△CEF∽△CBD，∠FDE＝∠A、△DFE ∽△ADB从而根据相似三角形的性质推出，．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴，∵CD2＝CF•CA，∴，∴，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠DFE＝∠ADB，△CEF∽△CBD，∴，∵DE∥AB，∴∠FDE＝∠A，∴△DFE∽△ADB，∵，∴．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．【分析】（1）当∠ANB＝45°时，根据等腰三角形的性质可得∠NMB＝90°．再根据等腰直角三角形的性质和三角函数可得BN的长度，根据CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN即可求解；（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．根据三角函数可得BN＝2BE＝12cm，CB＝AN＝20cm，依此即可作出判断．解：（1）当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．在Rt△NMB中，sin∠B＝，∴BN＝＝＝12cm．∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°在Rt△BEM中，cos∠B＝，∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM）cos∠B＝6cm．∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝12cm．∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．【分析】（1）先由AC2＝AD•AB得到△ADC∽△ACB，从而得到∠ADC＝∠ACB，然后结合AE⊥BC，AF⊥CD得到∠AFD＝∠AEC＝90°，从而得证△AFD∽△AEC，最后利用相似三角形的性质得证结果；（2）先由AF⊥CD、AF平分∠DAG得到DF＝FG，然后得到△GFA∽△GEC，得到EG：FG＝EC：FA，结合（1）中的△AEC∽△AFD得到AE：AF＝EC：FD，从而得证结果．【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，∴AC：AB＝AD：AC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ADC＝∠ACB，＝，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，∴△AFD∽△AEC，∴＝，∵＝，∴＝．（2）∵AF⊥CD，AF平分∠DAG，∴DF＝GF，∠AFG＝∠GEC＝90°，∵∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△CGE∽△AGF，∴＝，∵由（1）得，△AEC∽△AFD，∴＝，∴：＝：，化简得，＝，∵DF＝GF，∴．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1，代入即可；（2）由于点C是直线y＝x+1和抛物线对称轴x＝1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标即可；（3）设直线DE交y轴于F，连接BF，先证明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再证明tan∠DBF＝＝3，接下来连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，设HD＝x，则GH＝3x，由DF＝4x＝3得x＝，可求G（0，），此时求出DG解析式，再与抛物线联立即可求得P的坐标．解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴＝1，∴对称轴为x＝1，∴B（1，0）；（2）∵直线y＝x+1与此抛物线的对称轴x＝1交于点C，∴C（1，2），∴BC＝2，∵∠DEB＝45°，∠xBA＝45°，∴∠BCD＝∠CBA＝135°，∵∠BDC＝∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC2＝CD×AB，∴CD＝2，设点D（m，m+1），∵C（1，2），∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（2）2，∴m＝3或m＝﹣1（舍），∴D（3，4），∵点D在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴9a+3b﹣1＝4，∵4a+2b﹣1＝﹣1，∴a＝，b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1；（3）如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，∵直线CD：y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴F（0，1），E（﹣1，0），∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，∴∠CFB＝90°，∵BF＝＝，FD＝＝3，∴tan∠DBF＝＝3，∴tan∠PDC＝3，连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，∴tan∠PDC＝＝3，设HD＝x，则GH＝3x，∵∠GFH＝∠OFE＝45°，∴GH＝FH＝3x，∴DF＝4x＝3，解得x＝，∵GF＝＝3x，∴GF＝，∴GO＝+1＝，∴G（0，），设直线PD：y＝kx+，代入点D（3，4），得k＝，∴直线PD：y＝x+，令y＝x+＝x2﹣x﹣1，整理得10x2﹣17x﹣39＝0，解得x＝3或，∴P的坐标为（，）．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．【分析】（1）①先证明△ABC∽△ECD，再证明△CAF∽△DEF，△AFE∽△CFD，推导出∠FAE＝∠B，得AE∥BC；②由△AFE∽△BFC，得，依次求出AB、AE、AF、BF的长，再根据勾股定理求出CE的长，再求出BD的长；（2）分三种情况讨论，一是PE＝CE，可证明△PAD≌△CBD，求出AP的长，在Rt△EAC中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是PC＝EC，可证明BD＝BC＝6，则AE＝AP＝AD＝4，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是PE＝PC，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线BA没有交点．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，∴△ABC∽△ECD，∴∠B＝∠ECD，∵∠CAF＝∠DEF，∠AFC＝∠EFD，∴△CAF∽△DEF，∴，∴AF•DF＝EF•CF，，∵∠AFE＝∠EFD，∴△AFE∽△CFD，∴∠FAE＝∠ECD，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC．②如图1，∵EF＝CF，∴，∵△AFE∽△BFC，∴，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∴AE＝BC＝×6＝3，AF＝AB＝×10＝，BF＝AB＝×10＝，∵∠EAC＝180°﹣∠ACB＝90°，∴CE＝＝，∴EF＝CE＝，CF＝CE＝，∴DF＝×，解得DF＝，∴BD＝BF﹣DF＝﹣＝．（2）如图2，PE＝CE，∵DE⊥PC，∴PD＝CD，∵AP∥BC，∴∠P＝∠BCD，∠PAD＝∠B，∴△PAD≌△CBD（AAS），∴AP＝BC＝6，∴CE＝PE＝AE+6，∵AE2+AC2＝CE2，∴AE2+82＝（AE+6）2，∴AE＝，∵AE∥BC，∴，∴，∴BF＝；如图3，PC＝EC，∵AC⊥PE，∴AP＝AE，∠ACE＝∠ACP，设DE交AC于点G，∵∠CEG＝∠DAG，∠CGE＝∠DGA，∴△CEG∽△DAG，∴∠ACE＝∠ADE＝∠ACP，∵∠BDC+∠ADE＝90°，∠BCD+∠ACP＝90°，∴∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC＝6，∵∠ADP＝∠BDC，∠P＝∠BCD，∴∠ADP＝∠P，∴AE＝AP＝AD＝10﹣6＝4，∵△FAE∽△FBC，∴，∴，∴BF＝30；如图4，PE＝PC，则∠AEC＝∠DCE，∵∠CAE＝∠EDC＝90°，CE＝EC，∴△ACE≌△DEC，∴∠ACE＝∠DEC＝∠BAC，∴CE∥AB，∴射线CE与射线BA没有交点，综上所述，BF的长为或30．。
2020-2021上海西南位育中学初三数学上期中第一次模拟试题附答案
如何通过增加或减少这个不透明盒子内球的具体数量，使得在这个盒子里每次摸到白球的概率为 ？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；
B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；
【详解】
A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
16．已知：如图， 是 的直径， 切 于点 ， 的延长线交 于点 ， ，则 ________度．
17．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=__．
18．已知点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB＝10，BC：AC＝3：4，阴影部分的面积为_____．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【详解】
∵A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB＝ ，
∴OA+AB1+B1C2＝ +2+ ＝6，
2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题(附答案)
2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题(附答案)一、选择题1．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130° 2．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．6．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)7．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．199．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 212．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．15．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.17．已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，阴影部分的面积为_____．18．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．19．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣5，1），B （﹣2，2），C （﹣1，4），请按下列要求画图：（1）将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）画出与△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并直接写出点A 2的坐标．23．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？24．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．25．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案
2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150° 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1106．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 7．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．28．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 10．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 4312．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.14．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________． 15．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=16．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，O 是ABC 的外接圆，30C ∠=，2AB cm =，则O 的半径为________cm ．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y（元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．①求 w 与 x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？24．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）．设点D 移动的时间为t 秒．（1）试判断四边形DFCE 的形状，并说明理由；（2）当t 为何值时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ，在运动过程中，当⊙F 与四边形DFCE 只有1个公共点时，请直接写出t 的取值范围．25．解方程：2411231x x x -=+--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，3．C解析：C【解析】【分析】把x 1代入方程ax 2+2x+c=0得ax 12+2x 1=-c ，作差法比较可得．【详解】∵x 1是方程ax 2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax 12+2x 1+c=0，即ax 12+2x 1=-c ，则M-N=（ax 1+1）2-（2-ac ）=a 2x 12+2ax 1+1-2+ac=a （ax 12+2x 1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N ＜0，∴M ＜N ．故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．6．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 8．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+-()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110164c b a ++=， ∴即14是方程N 的一个根，故不符合题意； C 、∵方程M 有两根符号相同， ∴两根之积c a＞0， ∴a c ＞0，即方程N 的两根之积＞0， ∴方程N 的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根也可以是x ＝－1，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a −b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 14．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为 解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-15．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1+x 2-x 1x 2=1-a ，∴-=1-a ，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．16．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33【解析】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰解析：1 6【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16，故答案为：16． 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r 则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】 解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r ，则2πr=6π，则r=3． 故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算． 20．2【解析】【分析】作直径AD 连接BD 得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB 发现等边△AOB）【详解】作直径AD 连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD ，连接BD ，得∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，则AD =4．即圆的半径是2．（或连接OA ，OB ，发现等边△AOB ．）【详解】作直径AD ，连接BD ，得：∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，∴AD =4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．三、解答题21．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400，解得：x 1=40，x 2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣＜t ＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE 是平行四边形；（2）设点D 出t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，利用BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，求出此时t 的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形；（2）如图1中，设点D 出发t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，根据题意得， DE ＝AD ＝2t ，BD ＝12﹣2t ，CF ＝DE ＝2t ，又∵BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积， ∴2t （12﹣2t ）＝20，t 2﹣6t +5＝0，（t ﹣1）（t ﹣5）＝0，解得t 1＝1，t 2＝5；答：点D 出发1秒或5秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，在Rt △DFB 中，∵∠B ＝90°，AD ＝DF ＝CF ＝2t ，BD ＝BF ＝12﹣2t ，∴2t 2（12﹣2t ），∴t ＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t ＜6时，⊙F 与四边形DFCE 有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．。
2020-2021学年上海徐汇区初三(上)中考一模数学试卷及答案
（参考数据： sin 37 0.60,cos37 0.80, tan 37 0.75, 3 1.73 ）
第3页
23. 如图，在 ACB 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，AD=AB，BE=CE，AD 与 BE 交于点 F，且 AF DF = BF EF .
5
D.
3 海里
3
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个矩形必相似
B. 两个含 45°角的等腰三角形必相似
C. 两个菱形必相似
D. 两个含 3定义：
x
表示不超过实数
x
的最大整数，例如：1.7
=
1,
3 5
=
0,
−2
1 4
= −3 ，根据你学习函数的经
验，下列关于函数 y = x 的判断中，正确的是（ ）
DP 的长是____________
15. 如图，已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，正方形 DEFG 的顶点 D、E 分别在边 AC、AB 上，点 F、
G 在边 BC 上，那么 AD 的长是____________
16.《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 ABCD 的面积是正 方形 EFGH 面积的 13 倍，那么∠ABE 的余切值是____________
ED=5，如果 ECD 的面积是 6，那么 BC 的长是____________
三、解答题 19. 计算： sin 45cot 45 − tan 60 + 2cos 45 − cot 30
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．2．计算：＝．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．已知行列式，则＝．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．二、选择题（共4小题）.13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}2．计算：＝．解：＝＝﹣．故答案为：﹣．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．解：∵＝i，∴＝i，∴z＝＝＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是（x∈R）．解：函数f（x）＝x3，反函数为（x∈R）．故答案为：（x∈R）．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．6．已知行列式，则＝3．解：∵＝1×﹣2×+3×＝3×，∴＝3，故答案为：3．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝8．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，q＝＝＝．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n＝，则＝＝＝8．故答案为：8．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m＝＝36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p＝＝．故答案为：．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．解：设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2﹣3，过原点O且倾斜角为60°的直线方程为，联立，消去y得，，∴，∵，∴，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，y0）＝0，∴，化简整理得，a4﹣6a2﹣3＝0，解得，∴，∴椭圆C的长轴长为．故答案为：．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝12．解：连接BM，BN，因为AB为直径，所以∠AMB＝∠ANB＝90°，又因为AB＝5，AM＝3，BN＝2，∴BM＝＝4；∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣•+•＝||•||cos∠ABM﹣||•||•cos∠ABN＝﹣＝42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．解：如图，由条件可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD＝，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB ＝90°，则PA⊥底面ABC，球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE＝，所以球O的半径OA＝＝，所以球的体积为V＝＝．故答案为：．二、选择题13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．解：对于A，当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故选项A错误；对于B，因为（a+b）2≥0，所以a2+b2+2ab≥0，则a2+b2≥﹣2ab，故选项B正确；对于C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故选项C错误；对于D，当a＝0，b＝﹣1时，不等式不成立，故选项D错误．故选：B．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．解：f（x）＝sin x+a cos x＝（sin x•+cos x•），设cosθ＝，sinθ＝，则tanθ＝a，即f（x）＝sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴+θ＝kπ+，k∈Z，则θ＝kπ+，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ+）＝tan＝1，故选：A．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）解：当n＝1，2，3，4，…时，f（n）＝的函数值为：1，0，1，0，…对于A：f（2）﹣f（1）＝﹣1，故A不成立；对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；对于C：n为偶数，则αf（n）＝1，f（n+1）+αf（n）＝1；n为奇数，则αf（n）＝α，f（n+1）+αf（n）＝α；∴C正确；对于D：αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；故选：C．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣，所以函数f（x）的图象如图．g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，即函数f（x）与函数y＝x+b有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即＝x+b有2个相等的实数根，即x2+bx﹣1＝0有2个相等的实数根．由△＝0求得b＝，数形结合可得g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点时，实数b满足﹣＜b＜，故此式要求的b的集合为（﹣，）．再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k﹣，4k+），k∈Z，故选：C．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC＝，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ＝．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．解：（1）当a≠2时，f（1）＝a﹣1，f（﹣1）＝a﹣3，故f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a＝2时，f（x）+f（﹣x）＝2a﹣﹣＝2a﹣4＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a＝2，则f（x）＝2﹣，由不等式f（x）≥，可得u≤2•3x﹣，可令3x+1＝t，t∈[4，244]，（因为x∈[1，5]），故u≤2（t﹣1）﹣＝2（t+）﹣6，由于函数φ（t）＝2（t+）﹣6的导数φ′（t）＝2（1﹣）＞0，可得φ（t）在[4，244]递增，所以φ（t）min＝φ（4）＝3，因此不等式在x∈[1，5]上恒成立时，u的最大值为3．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．解：（1）如图，连结OP，设NP＝3a，则MN＝2a，OM＝，因为OP2＝PN2+ON2，则有，解得，所以此国旗的面积为＝（m2）；（2）设∠POB＝α，则PN＝，OM＝，所以，故此国旗的面积为，整理可得，其中，因为，故，所以当且仅当时，，故组成的红旗图案的最大面积为（m2）．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．解：（1）由题意可知：准线方程x＝﹣1，则﹣＝﹣1，则p＝2，∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝t，代入y2＝4x得，A（t，2），B（t，﹣2），则•＝t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x＝my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝t2．•＝x1x2+y1y2＝t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2＝（x﹣t）2+（2﹣0）2＝x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x＝t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x＝0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x＝t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）＝．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．解：（1）若{a n}是“D1型”数列，可得a m、a m+1、a m+2成等比数列，即有{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，且，可得q2＝，即q＝，则＝＝＝2；（2）若{a n}是“D2型”数列，可得a m、a m+2、a m+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，a n＝1；当n为偶数时，a n＝2，当n为偶数时，前n项和S n＝+＝2﹣1+；当n为奇数时，前n项和S n＝+2﹣1；（3）证明：{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．从而当m≥4时，a m2＝a m﹣3a m+3＝a m﹣1a m+1．所以当n≥4时，a m2＝a m﹣1a m+1，即＝，即＝．当n≥4时，设q＝．当1≤m≤3时，m+3≥4，从而由（*）式知a m+32＝a m a m+6，故a m+42＝a m+1a m+7，从而＝•＝q2，因此＝q对任意n≥1都成立．故数列{a n}为等比数列．。
上海市徐汇区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(解析版)
【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．
解：设图上距离为x厘米，则
1：5000000=x：35000000，
所以x=7（厘米）．
上海与南京的图上距离约7厘米．
故答案为7．
9.将二次函数 图象向左平移 个单位后，所得图象的解析式是________．
【答案】
14.已知 为线段 上一点，且 为 、 比例中项，若 ，则 ________．
【答案】 ##
【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 或 ，那么线段b是a和c的比例中项”得出 ，再把 代入，即可求出答案．
【详解】解： 为 、 比例中项，
∴ ，
即 ，
，
，
，
，
解得： 或 （舍去），
【详解】解：把原点 代入解析式，得 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
12.计算： ________．
【答案】0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【详解】解：2cos30°+tan45°−2sin30°−cot30°
．
故答案为： ．
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比例中项的定义．
15.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.
【答案】12
【详解】试题分析：本题主要考查的是三角形的重心．延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12．
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2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．96．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．10．化简：3（）﹣2（）＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝cm时，使得△ADE与△ABC相似．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是cm．（结果保留整数）16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5【分析】对于四条线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案即可．【解答】解：A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tan B＝＝，故选：C．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα＝＝．故选：B．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；∴，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．9【分析】由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD＝．故选：A．6．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是（）2＝，故答案为：4：9．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝45°．【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵sinα＝cos60°＝×＝，∴α＝45°．故答案为：45°．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．【解答】解：∵tan A＝，∴∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴cos B＝．故答案为：．10．化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝6．【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：∵tan A＝，∴＝，即＝，解得，AC＝6，故答案为：6．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝或1.5cm时，使得△ADE与△ABC相似．【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：有两种情形：如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝（cm），当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，∴△ADE′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE′＝1.5（cm），故答案为或1.5．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是10．【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，∴AC＝2÷＝6．在Rt△ADC中，AD＝＝＝10．故答案为：10．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是185cm．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为0.618分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计算即可．【解答】解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为：185．16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用▷ABC的面积先求出BD，在Rt△BCD中求出∠ACB的正弦．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由题图知：AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，∴×2×2＝×2×BD，∴BD＝．在Rt△BCD中，sin∠ACB＝＝＝．故答案为：．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝2：1：3．【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，证明△CHE∽△CDB，根据相似三角形的性质得到CH＝DH，证明△EGH∽△AGD，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴△CHE∽△CDB，∴＝＝＝，∴CH＝DH，∵AD＝DB，∴＝，∵EF∥AB，∴△EGH∽△AGD，∴＝＝，∴DG：GH：CH＝2：1：3，故答案为：2：1：3．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．【分析】根据相似三角形的判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可．【解答】解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，∴△MDN∽△NEQ，∴＝，∴DN＝＝2，在△MDN和△PBQ中，，∴△MDN≌△PBQ（ASA），∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，∴DM＝＝，∴每个小正方形的面积为，故答案为：．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝+3＝．20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．【分析】根据勾股定理求出斜边c，再根据tan A＝，求出∠A，最后根据∠A+∠B＝90°，求出∠B即可．【解答】解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知＝，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，∴＝＝．又∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【分析】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，求得∠1＝∠2，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAG＝DAE＝45°，根据相似三角形的性质得到AD2＝CD•DG，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ACF+∠ACB＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF；（2）证明：∵∠DAE＝90°，作AG平分∠DAE，∴∠DAG＝DAE＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠DAG＝∠ACB，∵∠ADG＝∠CDA，∴△DAG∽△DCA，∴，∴AD2＝CD•DG，由（1）知，△ABD≌△ACF，∴AF＝AD，∴AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．【分析】（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE＝AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．【解答】解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，∴，∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1∴BE＝4﹣x，∴，∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）∵DE⊥EC，∴∠DEC＝90°，又∵DF＝FC，∴DC＝2EF＝2×2.5＝5，过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4，∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3，∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4，∴﹣x2+4x＝4解得：x1＝x2＝2，∴AE＝2；（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x，设AD＝m，则DE＝4﹣m，∵∠A＝90°，∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2∴，由（1）知：△AED∽△BCE，∴∴∴△BCE的周长不变．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据反比例函数中k＝xy进行解答即可；（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE＝k2﹣k+1，根据S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE 可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．【解答】解：（1）若点E与点P重合，则k＝1×2＝2；（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，∵PF⊥PE，∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE＝S△GEF，∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1，∵S△OEF＝2S△PEF，∴k2﹣1＝2（k2﹣k+1），解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，∵∠MHF＝∠EBM＝90°，∠HMF＝∠MEB，∴△FHM∽△MBE，∴＝，∵FH＝1，EM＝PE＝1﹣，FM＝PF＝2﹣k，∴＝，BM＝，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（1﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，此时E点坐标为（，2），②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，∵FQ＝1，EM＝PF＝k﹣2，FM＝PE＝﹣1，∴＝，BM＝2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（k﹣2）2＝（）2+22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2），∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．。