总结求线性方程组的方法
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解在数学中，线性方程组是求解多元一次方程组的一种重要方法。
它在各种科学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU分解法和Jacobi迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵的基本变换，通过不断变形将线性方程组转化成行最简形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 先将系数矩阵化为上三角矩阵。
从第一行开始，每一行都使用该行的第一个元素除以它下面的元素，将其所在列下面的所有元素消为0。
这个过程称为消元。
3. 接着，再将上三角矩阵转化为行最简形式。
从最后一行开始，每一行都使用该行的第一个非零元素除以它上面的元素，将其所在列上面的所有元素都消为0。
4. 通过以上变换，线性方程组的解就可以直接读出。
具体来说，最后一行所对应的方程是一个单变量方程，规定该变量的解为该方程的解，再逐步回代到前面的方程中求解其他变量即可。
高斯消元法的优点是计算量比较小，而且对于系数矩阵满秩的情况，它的解决效率极高。
但是，当系数矩阵有多个零行或行向量是另一行向量的倍数时，高斯消元法就会出现退化的情况，此时需要通过其他方法进行求解。
二、LU分解法LU分解法是一种比高斯消元法更加高效的求解线性方程组的方法。
它基于矩阵的分解，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 通过高斯消元法将系数矩阵化为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积形式，即A=LU。
3. 将线性方程组转化为LY=B和UX=Y的两个方程组，其中L 和U是A的三角分解矩阵。
4. 先解LY=B，得到向量Y。
再解UX=Y，便得到线性方程组的解。
相对于高斯消元法，LU分解法的计算量更小，尤其是当多次求解同一个系数矩阵时，LU分解法可以提高计算效率。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。
二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。
最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。
矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。
但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。
三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。
迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。
但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。
综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。
在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组三种求解方法
线性方程组三种求解方法
线性方程组是由一组线性方程所组成的集合，它是计算机科学中最基本的抽象模型之一。
线性方程组的求解有多种方法，最常用的方法有三种：高斯消元法，全选主元法和乘法因子法。
高斯消元法是一种消除法。
它能将线性方程组变换成求解矩阵的方法，将线性方程组中的未知数从一个方程参与到另一个方程，以实现变量间的互换，当这种变形在线性方程的个数和方程式的系数不相等的时候，系数矩阵就得到了转换，最后实现方程的求解。
由于本质上利用线性变换方法，有可能不能够求解它，而异常解会出现，所以不适合解决线性方程组。
全选主元法是一种消元法，也是线性方程组求解的重要方法。
全选主元法的基本思路是：从一个给定的方程组开始，选出一个最大的系数做主元，将这个未知数代入另一个方程，不断地进行计算，直到求出所有的未知数的值，最后得到相应的解。
全选主元法的优点是计算次数少，能够求出超定方程组的解。
乘法因子法是一种简化法，也是解高维度方程组的有效方法，它是一种缩减矩阵法，把一组方程简化成新形式，其思路是把一个系数矩阵和它的乘法因子矩阵相乘，乘法因子矩阵通过消去系数矩阵中一些行和一些列，来使原始方程组变得简洁，使得求解系数矩阵变得可能，最后可以实现方程组的求解。
总的来说，三种线性方程组的求解方法都有其优势，它们都是有效的解决方案，根据实际情况应用不同的方法可以求出合适的解，同时，在计算机应用中，更多的方法也在发展和探索当中。
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总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII华北水利水电大学总结求线性方程组的方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2014年12月31日摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。
它广泛应用在数学以及其他领域。
它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。
线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。
本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。
关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则；Summary for the method of liner equationsAbstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.Key words: System of linear equations; Gauss elimination method ; Kramer law正文：1、引言线性代数和高等数学中线性方程组理论是的其中的的重要组成部分。
线性方程组的求解特殊线性方程组和克拉默法则以及高斯消元法，在线性代数课本中以及高数课本中都有相当详细的介绍和解法。
本文主要研究的对象是齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解法和基本构成。
和非齐次线性方程组和齐次线性方程组它们之间最主要求别就在于常数项全部为零齐次线性方程组：求其基础解系的方法，一般是对系数矩阵A 进行初等变换然后使之成为行最简矩阵，从而得出与原方程组的同解方程组，然后再通过自由变量来得出原方程组的基础解系。
非齐次线性方程组：本文通过增广齐次方程组和增广齐次方程组的条件解的概念，然后求增广齐次线性方程11=+n x 的条件解，然后进一步的求出一般线性方程组的通解2 正文内容2.1线性方程组的概念 1.线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 2.线性方程组矩阵的一般形式：b Ax =⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n a a aa a aa a a A 212222111211， ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=n b b b b 21， ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=n x x x x 21 A 为系数矩阵，b 为常数项向量，x 为未知数向量3.)(b A 为增广矩阵 增广矩阵()b A ：)(⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a ab A212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫n b b b 21 增广矩阵()b A 记为A2.2线性方程组解的判断平时在解某一些方程时要讨论解的情况在解线性方程组中也一样要讨论线性方程组的解的情况。
一般情况下我们在求线性方程组之前，一般我们先讨论判断线性方程组解的情况，线性方程组的解有可能只有一个。
同时也有可能没有解即无解。
有可能有无穷多个解。
这三种情况。
这些情况必须讨论不能有任何的疏忽。
设；b Ax =为非齐次线性方程组。
其中()A R 为系数矩阵A 的秩，)(b A R 为增广矩阵()b A 的秩。
则有()()n A R b A R <=时，方程有无穷多个解。
()()n A R b A R ==时，方程有唯一的解。
()()n A R b A R >=时，方程无解。
2.3 克拉默法则克拉默法则是线性代数方程组的一个很好的求解方法，是我们学习求解线性代数方程组的主要方法之一。
对于齐次线性方程组方程组来说，有一个零解)(0,0,0，。
所以对齐次线性方程组的研究就是齐次线性方程组什么时候有非零解和非零解的形式是什么。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的系数矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式 0≠=A d那么线性方程组有解，而且它的解唯一dd x d dx d d x n n ===,,,2211 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 ，所成的行列式例题1： 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x解：0276741212060311512≠=-----=A所以27=d81674021*******5181=-----=d 10867012150609115822-=----=d 276412520693118123-=--=d 2707415120903185124=-----=d则[][]T T x x x x 1,1,4,3,,,4321--=则原方程的解为[]T1,1-4-3，，2.4高斯消元法高斯消元法是很常见的一种解方程组的方法，在平常的方程组问题求解中都有用得到。
高斯消元法通过很多的加减运算进行消元运算，是把方程变化成上三角矩阵或者下三角矩阵，然后逐个往回代求解出方程组。
例题2：解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+224056242321321321x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=214511242A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=206b增广矩阵() ⎝⎛---=214511242b A ⎪⎪⎪⎭⎫206 ⎝⎛→12-0063-02-42 ⎪⎪⎪⎭⎫3-3-6⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=-+4123413123636242321332321x x x x x x x x x2.5解齐次线性方程组定理1：设R k S x x ∈∈,,021则01021S kx S x x ∈∈+，文献[1] 定义1：设有t x x x ,,,21 是齐次线性方程组的解向量，如果t x x x ,,,21 与线性无关，而且方程的任意一个解都可以由t x x x ,,,21 的线性表示，那么就称t x x x ,,,21 是齐次方程组的一个基础解系。
根据定义1如果找到了基础解系t x x x ,,,21 ，那么方程组的所有解x 都可以表示为t t x k x k x k x +++= 2111，且0S 得维数t S =)dim(0，其中t k k k ,,,21 为任意实数。
这样齐次线性方程组的求解问题就归结为其基础解系问题。
文献[2]定理2：设n m A ⨯的秩()n r A R <=，则齐次线性方程组存在基础解系，且基础解系含r n -个线性无关解向量，即()r n S -=0dim 文献[3]定理3：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为()n A R =；有非零解的充分必要条件为()n A R <。
文献[4]当齐次线性方程有非零解时需要注意三点。
[1] [2] [3] [4]（1)化矩阵A 为行阶梯形矩阵时，只能实施初等变换； （2)r n -个自由元的确定不是唯一的，但无论如何选择，必须保证非自由元构成的保留方程组的系数矩阵的秩为r（3)既然自由元选择不是唯一的，也就决定了齐次线性方程组的基础解系是不唯一的。
但不同的基础解系是同等的那么我们根据根据定理2，如果齐次线性方程组0=Ax 与齐次线性方程组0=Bx 有相同的解，那么()()B R A R =,但是反过来说是不成立的例题：求解齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+=-++=-++0192483032540342046534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：把系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19-248332-543-4214-653A 进行初等变换，变为行阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000005-61078-01U ⎩⎨⎧+-=-=4324315678x x x x x x 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=105701685678434343434321x x x xx x x x x x x x x通解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1057016821k k x ，21k k 、为任意常数 2.6解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的向量表示式为b x x x n n =+++ααα 2211其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量，所以，方程组有解的充分必要条件是向量b 可以由系数矩阵列A 的列向量线性表示，从而有()()b R R n n ,,,,,,,2121αααααα =那么系数矩阵的秩：()()b A R A R =于是就有下列定理定理1：对于非齐次线性方程组 文献[5]（1）b Ax =有解；（2）b 可以由系数矩阵A 的列向量组线性表示；（3）系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即()()b A R A R =由于b 可由A 的列向量n ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一的从分必要条件是n ααα,,,21 线性无关，所以我们有下述定理。
定理2：非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 文献[6]()()n b A R A R ==定理:3：设0021,,S x S x x b ∈∈，则b S x x S x x ∈+∈-01021,。