2018年福建省泉州市石狮市中考数学模拟试卷(4月份)含精品解析

2018年福建省泉州市石狮市中考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（共40分）1．（4分）﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．（4分）在如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）2018年政府工作报告中指出，5年来我国有约80 000 000农业转移人口成为城镇居民．用科学记数法表示数据80 000 000，其结果是（）A．80×106B．0.8×108C．8×107D．8×1084．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a3）2＝a5C．a2•a4＝a6D．a﹣3÷a﹣2＝a5．（4分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m＝n C．m＞﹣n D．m＝﹣n7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130o B．50o C．40o D．25o8．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．69．（4分）在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共80个，除颜色外其它都相同，小明将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回塑料袋中，通过大量重复试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在30%附近，则塑料袋中白色球的个数为（）A．24B．30C．50D．5610．（4分）在下列直线中，与直线y＝x+3相交于第二象限的是（）A．y＝x B．y＝2xC．y＝kx+2k+1（k≠1）D．y＝kx﹣2k+1（k≠0）二、填空题（共24分）11．（4分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝．12．（4分）分解因式：2x2﹣2＝．13．（4分）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是小时．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则DF的长为．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，∠ABD＝60°，CD＝2，则的长为．16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A（m，6），B（﹣6，n），则△OAB的面积为．三、解答题（共86分）17．（8分）先化简，再求值：（1+），其中x＝+2．18．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？请解答上述问题．21．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．22．（10分）进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）从2008年到2015年，年全国汽车保有量增速最快；（2）已知2016年汽车保有量净增2200万辆，与2015年相比，2016年的增速约为%（精确到1%），同时请你预估2018年我国汽车的保有量，并简要说明你预估的理由．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是OB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE＝EF；（2）如果sin F＝，EF＝5，求AB的长．24．（13分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E、F分别是线段BD、BC上的点，∠AEF＝90°，线段AF与BD交于点H．（1）当AE＝AB时．①求证：FB＝FE；②求AH的长；（2）求EF长的最小值．25．（13分）如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），且AB ∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线y＝x2+2x上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（1）直接写出点B的坐标；（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；（3）以点E为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点F，当点P在正方形ABCD内部（不包含边）时，求a的取值范围．2018年福建省泉州市石狮市中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（共40分）1．（4分）﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质求解．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．故选A．【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（4分）在如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（4分）2018年政府工作报告中指出，5年来我国有约80 000 000农业转移人口成为城镇居民．用科学记数法表示数据80 000 000，其结果是（）A．80×106B．0.8×108C．8×107D．8×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：80 000 000＝8×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a3）2＝a5C．a2•a4＝a6D．a﹣3÷a﹣2＝a【分析】分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别计算可得．【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，此选项错误；B、（a3）2＝a6，此选项错误；C、a2•a4＝a6，此选项正确；D、a﹣3÷a﹣2＝a﹣3﹣（﹣2）＝a﹣1，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方．5．（4分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．6．（4分）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m＝n C．m＞﹣n D．m＝﹣n【分析】由图可知：点m表示的数是﹣2，点n表示的数是2，2与﹣2互为相反数，即可解答．【解答】解：由图可知：点m表示的数是﹣2，点n表示的数是2，2与﹣2互为相反数，∴m＝﹣n，故选：D．【点评】本题考查了有理数，解决本题的关键是由数轴得到点m，n所表示的数．7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130o B．50o C．40o D．25o【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠2．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠ABC＝∠1＝50°，又∵AC⊥b，∴∠2＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．8．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和的3倍可得方程180°（n﹣2）＝360°×3，再解方程即可．【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：180°（n﹣2）＝360°×3，解得：n＝8．故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．9．（4分）在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共80个，除颜色外其它都相同，小明将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回塑料袋中，通过大量重复试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在30%附近，则塑料袋中白色球的个数为（）A．24B．30C．50D．56【分析】设有白球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可．【解答】解：设白球有x个，根据题意得：＝30%，解得：x＝56，即白色球的个数为56个，故选：D．【点评】本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．10．（4分）在下列直线中，与直线y＝x+3相交于第二象限的是（）A．y＝x B．y＝2xC．y＝kx+2k+1（k≠1）D．y＝kx﹣2k+1（k≠0）【分析】利用两直线平行的问题可对A进行判断；利用直线y＝2x不经过第二象限可对B进行判断；利用直线y＝kx+2k+1（k≠1）过定点（﹣2，1）可对C进行判断；利用k＝1时，直线y＝kx﹣2k+1与直线y＝x+3平行可对D进行判断．【解答】解：A、直线y＝x与直线y＝x+3平行，它们没有交点，所以A选项错误；B、直线y＝2x经过第一、三象限，所以B选项错误；C、直线y＝kx+2k+1（k≠1）一定过定点（﹣2，1），而点（﹣2，1）在直线y＝x+3上，所以C选项正确；D、直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）一定过定点（2，1），而点（2，1）在第一象限，且当k＝1时，直线y＝kx﹣2k+1与直线y＝x+3平行，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．对C进行判断的关键是确定该直线过定点．二、填空题（共24分）11．（4分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝10．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝9+1＝10．故答案为：10．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 12．（4分）分解因式：2x 2﹣2＝ 2（x +1）（x ﹣1） ．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【解答】解：2x 2﹣2＝2（x 2﹣1）＝2（x +1）（x ﹣1）． 故答案为：2（x +1）（x ﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．（4分）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是 7 小时． 【分析】根据众数的概念求解．【解答】解：这15名学生中，一周在校的体育锻炼7小时的人数最多，即众数为7． 故答案为：7．【点评】本题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．14．（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，连接DE 交AB 的延长线于点F ，若CE ＝1，BE ＝2，则DF 的长为 3．【分析】根据正方形的性质以及相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：在正方形ABCD 中， AD ＝CD ＝CB ＝CE +BE ＝3， ∵CD ∥BF ， ∴△CDE ∽△BFE∴＝∴∴BF ＝6∴AF＝AB+BF＝9，∴由勾股定理可知：DF＝3故答案为：3【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，∠ABD＝60°，CD＝2，则的长为．【分析】连接AD，OD，利用垂径定理得出半径OD，再利用圆周角定理得出∠BOD＝60°，进而利用弧长公式解答即可．【解答】解：连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ABD＝60°，CD＝2，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴DE＝，在Rt△OED中，OD＝，∴的长＝，故答案为：【点评】此题考查弧长的计算，关键是利用垂径定理得出半径OD．16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A（m，6），B（﹣6，n），则△OAB的面积为16．【分析】作AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，直线AM 与BN 交于点P ，根据旋转的性质得出点A （m ，6），B （﹣6，n ）在函数y ＝﹣的图象上，根据待定系数法求得m 、n 的值，继而得出P （6，6），然后根据S △AOB ＝S 矩形OMPN ﹣S △OAM ﹣S △OBN ﹣S △PAB 即可求得结果．【解答】解：作AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，直线AM 与BN 交于点P ，∵曲线l 是由函数y ＝在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转90°得到的，且过点A （m ，6），B （﹣6，n ），∴点A （m ，6），B （﹣6，n ）在函数y ＝﹣的图象上，∴6m ＝﹣12，﹣6n ＝﹣12， 解得m ＝﹣2，n ＝2，∴A （﹣2，6），B （﹣6，2）， ∴P （﹣6，6），∴S △AOB ＝S 矩形OMPN ﹣S △OAM ﹣S △OBN ﹣S △PAB ＝6×6﹣×2×6﹣×6×2﹣×4×4＝16， 故答案为16．【点评】本题考查反比例函数的图象、旋转的性质、待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是矩形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共86分）17．（8分）先化简，再求值：（1+），其中x ＝+2．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1+）＝＝＝，当x＝+2时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．【分析】先证出∠ABC＝∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC＝AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点．【解答】解：如图即为所求作的菱形理由如下：∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键．20．（8分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？请解答上述问题．【分析】求大马和小马的总数，直接设两个未知数，依据大马的总数+小马的总数＝100，大马拉瓦的总数+小马拉瓦的总数＝100，构建一个二元一次方程组求解．【解答】解：设大马x匹，小马y匹，依题意得：，解得：，答：大马有25匹，小马有75匹．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键找到大小马的总数和大小马拉的瓦总数两个等量关系，难点是会小马总数来表示拉瓦总数．21．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知m＝5，还原方程，利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）由题意知，△＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，又m﹣2≠0，即m≠2，则m＜6且m≠2；（2）由（1）知m＝5，则方程为3x2+10x+8＝0，即（x+2）（3x+4）＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22．（10分）进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）从2008年到2015年，2010年全国汽车保有量增速最快；（2）已知2016年汽车保有量净增2200万辆，与2015年相比，2016年的增速约为13%（精确到1%），同时请你预估2018年我国汽车的保有量，并简要说明你预估的理由．【分析】（1）由图可得，从2008年到2015年，2010年全国汽车保有量增速最快；（2）根据2016年汽车保有量净增2200万辆，即可得出2016年汽车的保有量，根据2200÷17200，即可得到2016年的增长率，根据每年的汽车增长量，求得2018年我国汽车保有量即可．【解答】解：（1）由图可得，从2008年到2015年，2010年全国汽车保有量增速最快，为19%；故答案为：2010；（2）∵2200+17200＝19400万辆，2200÷17200≈13%，∴2016年汽车的保有量为19400万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为13%，与上一年相比，预估2017年，2018年的增速分别为12%，11%，由此预估2018年我国汽车的保有量将达到24118万辆．故答案为：13．【点评】本题主要考查了折线统计图以及条形统计图，解题时注意：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是OB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE＝EF；（2）如果sin F＝，EF＝5，求AB的长．【分析】（1）根据切线的性质得：∠1+∠2＝90°，由垂直定义和同圆的半径相等得：∠A＝∠1，∠2＝∠F，所以CE＝EF；（2）本题介绍两种解法：解法一：根据sin∠F＝，设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，表示DB＝k，AB＝4k，证明△FAD∽△BGD，列比例式得：，DG＝k，根据直角三角形的性质得：∠3＝∠4，则得k的值，从而代入AB＝4k＝．解法二：设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，根据勾股定理列方程：CO2+CE2＝OD2+DE2＝OE2，则（2k）2+52＝k2+（4k﹣5）2，解出k的值可得结论．【解答】（本小题满分10分）（1）证明：如右图，连结OC．∵CE切⊙O于点E，∴OC⊥CE．………………………………（2分）∴∠1+∠2＝90°．∵FD⊥AB，∴∠A+∠F＝90°．又∵OC＝OA，∴∠A＝∠1．…………………………………．（3分）∴∠2＝∠F．∴CE＝EF．……………………………………………………………．（4分）（2）解法一：∵FD⊥AB，sin∠F＝，∴设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k．……………（5分）∵D为OB的中点，∴DB＝k，AB＝4k．…………（6分）连结CB交FD于点G．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝∠FCB＝90°．∴∠F＝∠B．∵∠FDA＝∠GDB＝90°，∴△FAD∽△BGD，………………………………………（7分）∴，即，解得DG＝k，可得FG＝4k﹣k＝k………………………………………………（8分）∵∠FCB＝90°，∴∠4+∠F＝∠2+∠3．∵∠F＝∠2，∴∠3＝∠4．∴CE＝EF＝EG．…………………………………………（9分）∵EF＝5，∴FG＝10．∴＝10，k＝，∴AB＝4k＝．…………（10分）（2）解法二：如右图，∵FD⊥AB，sin F＝，∴设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k．……………（5分）∵D为OB的中点，∴DB＝k，AB＝4k．…………（6分）由（1）得CE＝EF＝5．………………………………………（7分）连结OE．∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∴CO2+CE2＝OD2+DE2＝OE2，……………………（8分）即（2k）2+52＝k2+（4k﹣5）2，13k2﹣40k＝0，解得k1＝0（舍去），k2＝．……………………………（9分）∴AB＝4k＝．………………………………………（10分）【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，圆周角定理以及勾股定理等知识，第二问利用三角函数的比设未知数是关键．24．（13分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E、F分别是线段BD、BC上的点，∠AEF＝90°，线段AF与BD交于点H．（1）当AE＝AB时．①求证：FB＝FE；②求AH的长；（2）求EF长的最小值．【分析】（1）①先根据矩形的性质得出∠ABF＝90°，再利用HL证明△ABF≌△AEF，即可得出FB ＝FE；②由AE＝AB，FB＝FE，根据线段垂直平分线的判定定理得出AF垂直平分BE．在Rt△ABD中根据勾股定理求出BD＝＝2，再证明△AHB∽△DAB，根据相似三角形对应边成比例求出AH；（2）过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，易得MN⊥AD，MN⊥BC．设AM＝x，则DM＝4﹣x．易证△DME∽△DAB，根据相似三角形对应边成比例求出ME＝2﹣，那么EN＝．再证明△AEM ∽△EFN，得出EF＝AE．根据垂线段最短得到当AE⊥BD时，AE最小，EF也最小．由（1）可知AE的最小值为，那么EF的最小值为．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABF＝90°．在Rt△ABF和Rt△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（HL），∴FB＝FE；②∵AE＝AB，FB＝FE，∴AF垂直平分BE，即∠AHB＝90°．在Rt△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝2．在△AHB与△DAB中，∵∠AHB＝∠DAB＝90°，∠ABH＝∠DBA，∴△AHB∽△DAB，∴＝，∴AH＝＝＝；（2）如图，过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，易得MN⊥AD，MN⊥BC．设AM＝x，则DM＝4﹣x．∵EM∥AB，∴△DME∽△DAB，∴＝，即＝，解得ME＝2﹣，∵MN＝AB＝2，∴EN＝．∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠FEN＝90°，∵∠EFN+∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠EFN．又∵∠AME＝∠ENF＝90°，∴△AEM∽△EFN，∴＝，解得EF＝AE．当AE⊥BD时，AE最小，EF也最小．由（1）可知AE的最小值为，∴EF的最小值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，垂线段最短的性质．综合性较强，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．25．（13分）如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），且AB ∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线y＝x2+2x上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（1）直接写出点B的坐标；（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；（3）以点E为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点F，当点P在正方形ABCD内部（不包含边）时，求a的取值范围．【分析】（1）先利用A点和D点坐标得到正方形ABCD的边长为4，然后写出B点坐标；（2）设点P（x，x2+2x），利用正方形的性质得到PE＝PF，即x2+2x＝﹣x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的边长；（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），利用顶点式表示以E为顶点的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m＝，接着求出抛物线y＝x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），则利用点P在正方形ABCD内部（不包含边）得到﹣1＜m＜1且m≠0，然后分别解﹣1＜＜0和0＜＜1即可．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），∴正方形ABCD的边长为4，∴B（3，3）；（2）设点P（x，x2+2x），∵四边形PEOF是正方形，∴PE＝PF，即x2+2x＝﹣x，解得x1＝0，x2＝﹣3，∴P（﹣3，3），∴正方形PEOF的边长为3；（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），以E为顶点的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2，把F（0，m2+2m）代入得a（0﹣m）2＝m2+2m，解得m＝，当y＝3时，x2+2x＝3，解得x1＝﹣3，x2＝1，抛物线y＝x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），∵点P在正方形ABCD内部（不包含边），∴﹣1＜m＜1且m≠0，当﹣1＜m＜0时，﹣1＜＜0，解得a＜﹣1；当0＜m＜1时，0＜＜1，解得a＞3，综上所述，a的取值范围为a＜﹣1或a＞3．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解不等式；理解坐标与图形性质．。