断裂力学第三章

应力强度因子的计算公式（平面问题） 应力强度因子的计算公式（平面问题）
KI − iKII = 2 2π lim z − aφ′(z)
z→a
KI − iKII = 2 2πξ[φ′(z) + ic]
σ x +σ y = 4 Re[φ′(z)]
KI − iKII 2 Re σ x +σ y = ξ 2π
y z
1
ξ
=
1 reiθ KI
= = =
Re Re
ξ
iKII
ξ
−θ 2 2 cos θ − KI siniKII σ x σσ y+ σ = (KI Re KII + = ) x yπr 2 ξ2 2π 2
ξ
r
θ
P
x
−a
o
a
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
弹性力学平面问题的复变函数解法回顾
复应力函数 Φ(x, y) = Re[ zφ(z) + ∫ψ (z)dz] 应力组合的复势表示 σ y +σ x = 4 Re[φ′(z)]
σ y −σ x + 2iτ xy = 2[zφ′′(z) +ψ ′(z)] 位移组合的复势表示
§3.3 加权残差法
子域法
选取权函数为
1 Wi = 0 在子域Vi内 在子域Vi外 i =1, 2, L, N
残差方程变为
∫
Vi
R(x)dV = 0
子域法把域V分割成 个子域 子域法把域 分割成N个子域，在每个子域内近 分割成 个子域， 似解残差的算术平均值为零
§3.3 加权残差法
迦辽金法
5
V ∂V
j
§3.4 有限元法
求解断裂力学问题的有限元法可分三类
常规单元法 奇异单元法 杂交应力单元法 富 集 有 限 元 法 (Enriched Finite Element Method) 扩 展 有 限 元 法 (eXtended Finite Element 奇异性， 裂纹尖端应力奇异性，必须细分网格 单元边长为裂纹长度的1/100~1/1000倍 单元边长为裂纹长度的 倍
奇异单元法
裂纹尖端用奇异单元建模 奇异单元的形函数具有r的 奇异性， 奇异单元的形函数具有 的 -1/2奇异性， 可以较 奇异性 好地模拟裂纹尖端应力奇异性 不需细分网格， 不需细分网格，降低求解自由度
空心环域中的解析函数可展成Laurent级数 级数 空心环域中的解析函数可展成
φ′(z) = ψ ′(z) =
m=−∞ ∞
Am zm ∑
∞
m=−∞
∑B z
m
m
含圆孔无限域上的解析函数， 含圆孔无限域上的解析函数，应力无穷远有界
φ′(z) = ∑ Am z−m
m=0 ∞ ∞
ψ ′(z) = ∑Bm z−m
选取权函数为
~ ∂u Wi = = ui ∂ai i = 1, 2, L, N
残差方程变为
∫ R(x)u dV = 0
V i
迦辽金法使近似解残差与试验函数正交， 迦辽金法使近似解残差与试验函数正交 ，残差 方程有严格的物理意义（ 方程有严格的物理意义（功）
§3.3 加权残差法
最小二乘法
选取权函数为
m κ ψ (z) = ∑(Rxk − iRyk ) ln( z − zk ) +ψ∗ (z) 2π (κ +1) k =1
φ∗ (z), ψ∗ (z)为多连通域内的单值解析函数
如果作用在每个孔边的载荷都能单独构成自平衡力 系，则复势就是单值的
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
弹性力学平面问题的复变函数解法回顾
Wi = xi−1 i = 1, 2, L, N
残差方程变为
∫
V
R(x)xi−1dV = 0
矩量法将权函数取为幂函数， 矩量法将权函数取为幂函数 ， 若取为其他完备 函数序列， 函数序列，则称为广义矩量法
§3.3 加权残差法
对于含裂纹体， 对于含裂纹体，结合应力函数法
假设Airy应力函数为级数形式 应力函数为级数形式 假设
u′ + iv′ = e−iβ (u + iv)
y′
y
x′
β
o
x
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
弹性力学平面问题的复变函数解法回顾
复势的确定程度
第一类边值问题
φ1(z) = φ(z) + icz + γ ψ1(z) =ψ (z) + γ ∗
c为任意实常数
γ , γ ∗为任意复常数
第二类边值问题和混合边值问题
∂R Wi = ∂ai i = 1, 2, L, N
残差方程
∂R ∫V R(x) ∂ai dV = 0
最小二乘法要求调整待定参数， 最小二乘法要求调整待定参数 ，使残差的均方 和取最小 2
m ℜ(a1, a2 ,L, aN ) = ∫ [R(x)] dV in
V
§3.3 加权残差法
矩量法
选取权函数为
§3.4 有限元法
杂交应力单元
基于H-R变分原理，可建立杂交应力单元 变分原理， 基于 变分原理 单元内部精确满足平衡方程和协调方程（ 单元内部精确满足平衡方程和协调方程 （用解 析解描述位移场和应力场） 析解描述位移场和应力场） 单元边界的位移采用节点位移插值， 单元边界的位移采用节点位移插值 ， 插值函数 与常规单元的形函数相同， 与常规单元的形函数相同， 可以与常规有限单 元匹配 不需细分网格， 不需细分网格，降低求解自由度
y z
可得应力组合
σ x +σ y =
2 θ θ (KI cos − KII sin ) 2 2 2π r
−a
ξ
r
θ
P
x
o
a
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
应力强度因子的计算公式（平面问题） 应力强度因子的计算公式（平面问题）
1 θ θ (cos − i sin ) 2 2 r KI θ cos 2 r KII θ sin 2 r
Fu − f = 0 Gu − g = 0 在域V内 在边界∂V上
F、G是微分算子，f、g是与u无关的非齐次项
近似解
~ u = ∑aiui
i =1
N
ai为待定参数，ui是选定的函数项
近似解不一定点点满足微分方程和边界条 件
§3.3 加权残差法
方程右边出现非零残差
~ Fu − f = RI ~ Gu − g = R
y z
ξ
r
θ
P
x
−a
o
a
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
应力强度因子的计算公式（平面问题） 应力强度因子的计算公式（平面问题）
KI − iKII = 2 2π lim z − aφ′(z)
z→a
y′
ξ
r θ
z1
o′
P
x′
对于倾斜裂纹（ 对于倾斜裂纹（倾角为β0）
β0
KI − iKII = 2 2π lim (z − z1)e−iβ0 φ′(z)
z→a
y z
ξ
r
θ
P
x
−a
o
a
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
例1：含倾斜穿透裂纹无限大板，无穷远处 ：含倾斜穿透裂纹无限大板， ∞ ∞ ∞ σ x , σ y , τ xy ，求裂纹尖端应力强度因子 载荷为
σ y +σ x = 4 Re[φ′(z)] σ y −σ x + 2iτ xy = 2[zφ′′(z) +ψ ′(z)]
§3.3 加权残差法
配点法
选取权函数为
∞ Wi = δ (x − xi ) = 0 x = xi x ≠ xi i = 1, 2, L, N
残差方程变为
∫ R(x)W (x)dV = R(x ) = 0
V i i
配点法仅要求在选择的N个离散点上近似解精 配点法仅要求在选择的 个离散点上近似解精 确满足方程， 确满足方程，其他点上允许存在残差
y
2a o
β0
x
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
例2：含水平穿透裂纹无限大板，裂纹表面 ：含水平穿透裂纹无限大板， 受线性分布正压力作用， 受线性分布正压力作用 ， 计算裂纹尖端应 力强度因子
y
p = p0 + p1
x a
x
p0 − p1
o
p0 + p1
2a
§3.3 加权残差法
弹性力学问题的微分提法
应力函数和应力的边界条件
(U)i = Mi ∂U ( )i = −Ti ∂n ∂U ( )i = Ni ∂t (σn )i = (Sn )i (τ nt )i = (St )i
v t
Ti
Mi
Γ
Ni
v n
i
v F
o
V ∂V
§3.3 加权残差法
对于含裂纹体， 对于含裂纹体，结合应力函数法
残差
R1 = U − M ∂U R2 = +T ∂n ∂U R3 = −N ∂t R4 = σ n − Sn R5 = τ nt − St
φ1(z) = φ(z) + γ ψ1(z) =ψ (z) + γ ∗
其中γ 与γ ∗满足 κγ −γ ∗ = 0
§3.2 复变函数法计算K 复变函数法计算K
弹性力学平面问题的复变函数解法回顾
多连通域中复势的多值性
φ(z) = −
∑(R 2π (κ +1)