高中数学函数及其表示知识点

第二章 函数

第一课时

（一）知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则

注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素： 、 和

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

考点2：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01

,01)(x x x g （3）x x f =

)(1+x ，x x x g +=2)(；

（4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（

）

A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x - 例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f

例2.已知()()11,f x x f x +=-=则_____________。

题型3：求抽象函数解析式 例1．已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1

(2)(=+，求)(x f

例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0；偶次根式中被开方数应为非负数.

例1.函数()2143

f x x x =-+-的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞- ，，

B ．[)()2,33+∞ ，

C ．(][)()22,33-∞-+∞ ，，

D ．(]2-∞-，

例2、函数x x x x f -+=0

)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域 考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、322+--=x x y

例2、2285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

（2）分段函数分别求函数值域，

例2、53-++=x x y

例3、函数222(03)()6(20)

x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ） A ．R B ．[)9,-+∞ C ．[]8,1- D ．[]9,1-

（3）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域