2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题(word版)
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题
，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(精编含解析)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M 的纵坐标，弦的长度为，即， 整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)解析
广东省高考数学一模试卷（理科）解析卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．2【解答】解：==，∴复数的实部为0．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}【解答】解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴C U B={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，1，2}．故选：A．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x2=x+2”，解得x=2或﹣1．由“x=”，解得x=2．∴“x2=x+2”是“x=”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．18【解答】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′﹣ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱﹣V棱锥=3×﹣=18﹣=．故选：C．9．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）=0，即（2x+）+（2x+）=0，解可得a=﹣1，为偶函数，则g（x）=g（﹣x），即bx﹣log2（4x+1）=b（﹣x）﹣log2（4﹣x+1），解可得b=1，则ab=﹣1，f（ab）=f（﹣1）=2﹣1﹣=﹣；故选：D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．【解答】解：若，可得sinA==，由正弦定理可得b===7，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积为S=absinC=×5×7×=10．故选C．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24π B．28π C．32π D．36π【解答】解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC==2，=，即，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=，则B（2，0，0），P（﹣，﹣，1），设球心O（0，0，t），则OB=OP，∴=，解得t=﹣1，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R==3，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．【解答】解：（ax﹣1）4（x+2）=（1﹣ax）4（x+2）=（1﹣4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为﹣4a+12a2=1，即12a2﹣4a﹣1=0，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．【解答】解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为p===．故答案为：．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由，可得N为PQ的中点，AN⊥PQ，在直角三角形F1AN中，AF1=a+c，AN=，即有∠NF1A=30°，直线PQ的斜率为，AN的斜率为﹣，由F1（﹣c，0），A（a，0），可得直线PQ的方程为y=（x+c），代入双曲线的方程可得（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，PQ的中点N的横坐标为，纵坐标为（+c）=，由k AN==﹣，即为=﹣，即为a2c﹣3a（c2﹣a2）+a3=﹣c（c2﹣a2），化为（c﹣2a）2=0，即c=2a，可得e==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）因为数列{a n}为等差数列，设a n=An+B，因为{a n}的公差不为零，则，所以，因为，所以An2+（A+2B）n=A2n2+（2AB+λ）n+B2，所以．（2）由（1）知a n=n，所以，所以．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元60007000800090000.40.30.20.1获得相应职位概率乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D（X）=（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1=5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANP，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．（2）以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，所以，所以，则，所以设平面BPD的一个法向量为，则，可取，设平面PDC的一个法向量为，则由，可取，所以，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＞b，且，所以椭圆C1的方程为．（2）依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k（x﹣3），则直线，联立：得（1+9k2）x2﹣54k2x+（81k2﹣9）=0，则同理可得：，所以△PAB的面积为：，当且仅当3（k2+1）=8k，即是面积取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+∞）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，，因为，所以，，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（x0，+∞）上，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即＞0．∴f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
2019届广东省深圳实验,珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题
广东省六校2019届高三第一次联考理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B = A ．[1,0)- B ．(1,0)- C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞-2．若复数z 满足i 12i z =+，则z 的共轭复数的虚部为A ．2iB ．iC ．1D ．23．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若542S S =，248a a +=，则5a =A ．6B ．7C ．8D ．104．在区间[π,π]-上随机取两个实数,a b ，记向量(,4)OA a b =，(4,)OB a b =，则24πOA OB ≥的 概率为A ．π18-B ．π14-C ．π12-D ．3π14-5．已知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1MF 、2NF 都垂直于x 轴（其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为 A ．3B ．5C ．51-D ．512+ 6．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足4EB EC =，则ED =A ．5463AB AC - B ．4536AB AC -C ．5463AB AC +D ．4536AB AC +7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是 A ．3273cm 2 B ．39cm 2C ．393cm 2D ．327cm 28．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =， 则1(2019)2f =A ．94 B ．14 C ．94-D ．14-10．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为A ．118B ．54C ．32D ．111．已知三棱锥P ABC -中，A B B C ⊥，22AB =，3BC =，32PA PB ==，且二面角P A B C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π12．已知数列}{n a 满足12323(21)3n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n ∈N ，则λ的最小值是A ．32B ．94C ．3112 D ．3118二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省六校届高三第一次联考试题目数学理共10页
广东省六校2019届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x =-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ等于ab 1-A ．()2||a b aa b ⋅-- B ．()2||a a ba b ⋅--C ．()||a b aa b ⋅-- D ．()||a a ba b ⋅-- 8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学(解析版)
9．答案：D
）
1
B．
4
9 C．
4
1 D．
4
解析：由 f (x) f (2 x) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称，由 f (x) f (x) 可知函数 f (x) 关于原点
(0, 0) 对称，所以函数 f (x) 是双对称函数，所以是周期函数，周期T 4 ，
1 7 1 1 1 所以 f 2019 f f f ．
1．答案：A
2
2
x 1
解析：由 ≤1 ，得： 1≤ 0, ≥ 0 ，解得 x ≥1或 x 1，即 A (, 1) [1, ) ，
x 1
x 1
x 1
则 R A [1,1) ．由 2x 1，得 x 0 ，即 B (, 0) ，所以 R A B [1, 0) ．
2．若复数 z 满足 zi 1 2i ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
2
O
1
P' 2
A T
Q2
4 ax2 bx 满足 f (1 x) f (1 x) 22 0 ，则 f (x) 的单调递减区间是
．
16．答案： (1,3) （注意：写闭区间也给分） 知识点：①若 f (x) 关于点 (a,b) 对称，则 f (a x) f (a x) 2b ；
x
15．已知点 P(1, 2) 及圆 (x 3)2 ( y 4)2 4 ，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于
点T ，则 PQ QT 的值为
．
15．答案： 4 3
解析：点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1, 2) ，如图，连接 PP, PQ ，由对称性可知，PQ 与圆相切于点T ，
n 3n
14
广东珠海一中等六校2019高三第一次联考-数学(理)
图1乙甲7518736247954368534321广东珠海一中等六校2019高三第一次联考-数学（理）理科数学 试题第一部分选择题〔共40分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1、假设集合M 是函数lg y x =的定义域，N 是函数y =M N 等于()A 、(0,1]B 、(0,)+∞C 、φD 、[1,)+∞ 2、在复平面内，复数311ii+-对应的点位于 〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、以下命题正确的选项是〔〕 A 、2000,230x R x x ∃∈++=B 、32,x N x x ∀∈>C 、1x >是21x >的充分不必要条件D 、假设a b >,那么22a b > 4、向量a =〔x ，1〕，b =〔3，6〕，a ⊥b ，那么实数x 的值为〔〕 A 、12B 、2-C 、2D 、21-5、通过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为〔〕 A 、30x y -+=B 、30x y --= C.10x y +-=D 、30x y ++= 6.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的茎叶图， 那么甲、乙两人这几场竞赛得分的中位数之和是〔〕 A 、65B 、64 C 、63D 、62 7、等比数列{}na中，各项基本上正数，且2312,21,a aa 成等差数列，那么8967a a a a ++等于〔〕A 、21+ B.21- C.223+ D.223- 8.在约束条件53,4200≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是〔〕()A 、[6，15] ()B 、[7，15]()C [6，8] ()D 、[7，8]图4P第二部分非选择题〔共110分〕【二】填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分 〔一〕必做题〔9～13题〕9、(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，那么a 的值为；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，那么其输出的结果是； 11.假设axdx =1⎰，那么实数a 的值是_________.12.双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为. 13、函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，那么a 的取值范围是 .〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为、15、〔几何证明选讲选做题〕如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，那么=PC ____________、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.16.〔本小题总分值12分〕 函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).(1) 求()f x 的最小正周期和最大值；(2) 假设θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17、〔本小题总分值12分〕设函数x x f a log )(=〔1,0≠>a a a 为常数且〕，数列),(1x f ),(2x f ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =.〔Ⅰ〕求数列}{nx 的通项公式；〔Ⅱ〕当21=a 时，求证：3121<+++n x x x . 18、(本小题总分值14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35、〔1〕请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；〔2〕能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；〔3〕现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19、〔本小题总分值14分〕一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.〔Ⅰ〕请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； 〔Ⅱ〕用多少个如此的几何体能够拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1?如何组拼？试证明你的结论； 〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的情形下,设正方体ABCD —A 1B1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E,求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值. 20、〔本小题总分值14分〕点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且FQFP QF QP ∙=∙、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程； 〔2〕圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两正视图侧视图俯视图点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值、 21.〔本小题总分值14分〕函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，同时1l 与2l 平行.〔1〕求(2)f 的值；〔2〕实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；〔3〕令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，关于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，同时使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2018届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准【一】选择题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、共10小题，每题5分，总分值50分、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B A B C D【二】填空题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分、其中14～15题是选做题，考生只能选做一题、 9、1或-110、211、212.22143x y -=13.⎥⎦⎤⎝⎛41.014、3415、2 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1)解:()2sin cos cos2f x x x x=+sin 2cos2x x =+……2分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭……3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=,.……6分(2)解:∵83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.……7分∴1cos 23θ=.……8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==……12分 17、〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕nn x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===nn n a a x nx 22log :==即--------6分〔Ⅱ〕当21=a 时，n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41 314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nn n x x x ----------12分 18、(本小题总分值14分)解：〔2〕∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分〔3〕喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分 其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯=---------------------14分19、〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是7266312=⨯⨯=V ------------------------4分 〔Ⅱ〕依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个如此的四棱锥能够拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.------------------------6分 证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，因此D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---==故所拼图形成立.---8分〔Ⅲ〕方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，那么B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角或其补角的平面角.--------10分 在Rt △ABG 中，180=AG ，那么512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.---14分方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系〔如图3〕，∵正方体棱长为6，那么E 〔0，0，3〕，B 1〔0，6，6〕，A 〔6，6，0〕. 设向量n =〔x ，y ，z 〕，满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，ABC DC 1图1因此⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.--------------------12分取z =2，得n =〔2，-1，2〕.又=1BB 〔0，0，6〕，321812||||,cos 111==>=<BB n BB故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.----------------14分 20、〔本小题总分值14分〕 〔1〕解：设(),P x y ，那么(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--、--------------------2分即()()22121y x y +=--，即24x y =，因此动点P 的轨迹C 的方程24x y =、--------------------4分 〔2〕解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，那么24a b =、①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-、令0y =，那么()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=、②由①、②解得，2x a =±、--------------------6分 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =、--------------------8分∴22212122112l l l l l l l l ++====当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==、当且仅当a =±--------------------12分 当0a =时，由③得，12212l l l l +=、--------------------13分故当a =±时，1221l l l l +的最大值为--------------------14分 21.〔本小题总分值14分〕解:()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=-由题意可得12l l k k =，即1a =，………………………………………………2分∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-=…………………………………………3分2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…………………4分令ln u x x =，在[]1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤…………………………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-…………………………………6分②当122tu e-=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+-………………………………7分③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=-…………………………………8分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 因此()F x 在区间(1,)+∞上单调递增……………………………………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=， 12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，………………………………………１０分∴由)(x f 的单调性知0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.………………………………11分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符……………………………………12分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.……………………………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈……………………………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
广东省六校联盟2019-2020学年高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届六校联高三第一次联考试题理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设()()24f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要而不充分的条件是（ ）A. 0x <B. 04x x <<或C. 11x ->D. 23x ->【答案】C 【解析】由()0f x >可得0x <或4x > ，所以，0x <是()0f x >的充分不必要条件；0x <或4x >是()0f x >的充要条件；由11x -> 得0x <或2x >，所以11x ->是()0f x >的一个必要而不充分的条件，由23x ->得，1x <-或5x >， 所以23x ->是()0f x >充分不必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 2. 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模.3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<【答案】A 【解析】 【分析】由给出的四组数据的散点图，结合相关系数的概念，逐图判定，即可求解.【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0， 题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-， 由此可得24310r r r r <<<<． 故选：A ．4. 已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=； 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.5. 已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为（ ） A .4-B. 2-C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令导函数当2x =时为0，列出方程求出a 值，利用导数求出()f m 的极值，判断极小值且为最小值． 【详解】解：2()32f x x ax '=-+，函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，1240a ∴-+=，解得3a =，2()36f x x x '∴=-+，∴当[1,1]m ∈-时，32()34f m m m =-+-，2()36f m m m '=-+，令()0'=f m 得0,2m m ==（舍去）， 由于10,()0,()m f m f m '-≤<<递减，01,()0,()m f m f m '<≤>递增．所以0m =时，()f m 取极小值，也为最小值，且为−4． 故答案为：−4．故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值是通过比较函数在(,)a b 内所有极值与端点函数(),()f a f b 比较而得到的，是中档题． 6. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】取1DD 中点F ，连接1,AF C F ．平面1AFC E 为截面，然后即可得出侧视图. 【详解】取1DD 中点F ，连接1,AF C F ．平面1AFC E 为截面．如下图：故选：C【点睛】本题考查的是三视图的知识，较简单，解题的关键是把截面作出来.7. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=【答案】D 【解析】 【分析】设出,A B 两点的坐标，利用点差法求得,a b 的关系式，结合222a b c =+求得22,a b ，进而求得椭圆E 的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.8. 函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (2,4) B. (],2-∞ C. (],4-∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：∵2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由(,)62x ππ∈得1(,1)2t ∈，依题意有2()21g t t at =-++在1(,1)2t ∈是减函数，∴142a ≤，即2a ≤，故选B ． 考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.9. 某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.310C.710D.45【答案】D 【解析】【分析】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3人中既有男生又有女生的概率．【详解】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人， 再从这10位学生中随机抽取3人座谈， 基本事件总数310120n C ==，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数333104612042096C C C --=--=，3人中既有男生又有女生的概率9641205m p n ===． 故选：D ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 10. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ） A.227B.4715C.5116D.196【答案】D 【解析】 【分析】依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即221x y +<，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可． 【详解】解：依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，所以112042m π=-， 当35m =时，有11203542π=-， 得196π=．故选：D ．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．11. 已知数列{}n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于（ ）A. 201921-B. 1010323⨯-C. 101123-D. 1010322⨯-【答案】C 【解析】 【分析】由1=2n n n a a +⋅得：11=2n n n a a --⋅，两式相除，可得数列{}n a 奇数项和偶数项均为等比数列，分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求2019S . 【详解】解：*1=2()n n n a a n N +⋅∈，故1*1=2(2,)n n n a a n n N --⋅≥∈,两式相除得：111222nn n n a a +--==， 故数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，()(2019132019242018)S a a a a a a ∴=++⋯+++++()()10101009121111a q a q qq--=+--()10091010212121212--=+-- 101010102122=-+-101123=-故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前n 公式的运用，考查了分组求和，是中档题.12. 已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】把已知函数变形，可得21()(1)1]sin(1)11f x x x x ⎡=---++⎣- ，令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-，结合(2)()0g x g x -+=，可得()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称，从而求得M m +的值． 【详解】解：∵221()(2)sin(1)(1)1]sin(1)111x f x x x x x x x x ⎡=--+=---++⎣-- 令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-， 而21(2)(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x-=----+-，∴(2)()0g x g x -+=，则()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称． ∴2M m +=． 故选：B ．【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．二、填空题：13.1||-1x e dx ⎰值为______．【答案】22e -. 【解析】 【分析】由||x y e =是偶函数可得11||-12x x e dx e dx =⎰⎰，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为||x y e =是偶函数，11||1100-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 故答案为：22e -【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题. 14. 已知{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ______． 【答案】21. 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知()15610382a a b b a b +++=+，代入即可求解 【详解】解：∵{}n a 、{}n b 都是等差数列， 若110+=9a b ，38+=15a b ，又∵()1561038230a a b b a b +=+=++，()561103030921a b a b ∴+=-+=-=，故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题15. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于,A B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝_________【答案】【解析】试题分析:抛物线的准线方程为2px =-,设,A B 两点的纵坐标为,A B y y ,由双曲线方程可知22214ABp y y ==+,焦点到准线的距离为p .由等边三角形的特征可知AB p =,p =,可得p =故答案应填考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于p 的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于p 的方程.16. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其 中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．【答案】111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+．点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．【答案】（1）23π（2）2]． 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；（2）由b 及cos B 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a +c 的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a +c 的范围即可．【详解】(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ． ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝23π．(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2-22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝34 (a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b a ＋c ∈，2]．即a ＋c 的取值范围是2]．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键． 18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择； 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元. 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元. （1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列； （2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？ 【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案. 【解析】 试题分析：(1)由题意可知X 的取值可以是0,500,1000 ，结合题意求解相应的概率即可求得分布列； (2)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的方案. 试题解析：（1）()141170552525P X ==+⨯⨯=， ()412500525P X ==⨯=， ()4148100052525P X ==⨯⨯=.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X （元）的分布列为：（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值()5001000520525E X =⨯+⨯=， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，则()26355E ξ=⨯=， 抽奖所获奖金X 的均值()()()400400480E X E E E ξξ===，故选择方案甲较划算.点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是p i ≥0(i ＝1,2，…)；二是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验分布列的正误．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，6DC =，8AD =，10BC =，45PAD ∠=︒，E 为PA 的中点．（1）求证：//DE 平面BPC ；（2）线段AB 上是否存在一点F ，满足CF DB ⊥？若存在，试求出二面角F PC D --的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在，817【解析】 【分析】（1）取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN AB ⊥，垂足为点N ．推导出四边形CDAN 为平行四边形，从而8CN AD ==，6DC AN ==，12AB =，推导出四边形CDEM 为平行四边形，从而//DE CM ．由此能证明//DE 平面BPC ．（2）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法能求出二面角F PC D --的余弦值．【详解】（1）证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN AB ⊥，垂足为点N ．CN AB ⊥，DA AB ⊥，//CN DA ∴，又//AB CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形，8CN AD ∴==，6DC AN ==， 在Rt BNC ∆中，22221086BN BC CN --=，12AB ∴=，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点，//EM AB ∴且6EM =，又//DC AB ，//EM CD ∴且EM CD =，四边形CDEM 平行四边形，//DE CM ∴．CM ⊂平面PBC ，DE ⊂/平面PBC ，//DE ∴平面BPC ．（2）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(8A ，0，0)，(8B ，12，0)，(0C ，6，0)，(0P ，0，8)． 假设AB 上存在一点F 使CF BD ⊥，设点F 坐标为(8，t ，0)，则(8CF =，6t -，0)，(8DB =，12，0)， 由0CF DB =得23t =．又平面DPC 的一个法向量为(1m =，0，0)， 设平面FPC的法向量(n x =，y ，)z ，则(0PC =，6，8)-，(8FC =-，163，0)， 由·68016·803n PC y z n FC x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取12y =，得(8n =，12，9)， 设二面角F PC D --的平面角为θ， 则||8cos ||||171289n m n m θ===⨯．∴二面角F PC D --的余弦值为817． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()22:116.M x y ++=相切.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设(),0G m 为轨迹C 内一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，当k 为何值时？ 22GA GB ω=+ 是与m 无关的定值，并求出该值定值.【答案】（1）22143x y +=（2）352.【解析】 【分析】（1）由题意可得点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()(),022G m m -<<，直线():l y k x m =-，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A 、B 的横坐标与纵坐标的和与积，再由22GA GB ω=+是与m 无关的定值求得k ，进一步得到该定值．【详解】（1）由题设得：|4PM PN +=，∴点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，24a =，22c =，b ∴==∴椭圆方程为22143x y+=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()(),022G m m -<<，直线():l y k x m =-，由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222438430k x k mx k m +-+-=，由韦达定理得2122843k mx x k +=+，()221224343k m x x k -=+， ()()22211GA k x m =+-，()()22221GB k x m =+-，()()()()()22222222221212121122GA GB k x m x m k x x m x x m ⎡⎤⎡⎤∴+=+-+-=++-++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()2222221212122226432431431222kx x x x m x m k k x m k k⎡⎤=++--++⎣+⎦--+=++，22GA GB ω=+的值与m 无关，2430k ∴-=，解得k =．此时352ω=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．21. 设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =.（1）求,a b 的值；（2）证明：当1≥x 时，2()(1)f x x ≥-；（3）若当1≥x 时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,1a b ==-；（2）详见解析；（3）32m ≤. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义得()10f '=，再结合()21f e e e =-+ 联立方程组，解得,a b 的值；（2）即证明差函数()22ln g x x x x x =+-的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为()10g =，（3）令函数()()22ln 11h x x x x m x =---+，因为()10h =，所以()min 0h x =.先求差函数导数，再求导函数的导数得()2ln 32h x x m '+'=- ，所以分33,22m m ≤>进行讨论：当32m ≤时，()()()()()01010h x h x h h x h ≥⇒≥⇒'=≥''='满足题意；当32m >时，能找到一个减区间，使得()()10h x h <=不满足题意.【详解】（1）由题意可知，()()2ln 1f x ax x b x =+-定义域为()0,,,x x o >∈∞即()2ln ,(0)f x ax x ax b x =++>'，()10f a b ='+=，()()()222111f e ae b e a e e e e =+-=-+=-+1,1a b ∴==-．（2）()2ln 1f x x x x =-+，设()22ln g x x x x x =+-，()1x ≥，()2ln 1g x x x x =-+'由()()'2ln 10g x x +'=>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，∴()()10g x g ''≥=，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=．∴()()21f x x ≥-．（3）设()()22ln 11h x x x x m x =---+,()1x ≥，()()2ln 211h x x x x m x =+---'，由（2）中知()()22ln 111x x x x x x ≥-+-=-，ln 1x x x ≥-，∴()()()()()3121321h x x m x m x ≥---=--'，当320m -≥即32m ≤时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，()()10h x h ∴≥=，成立． ②当320m -<即32m >时，()()()2ln 121h x x x m x +-'=- ()'()2ln 32h x x m +'=-，令()()'0h x '=，得2321m x e-=>，当[]01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()()1h x h '<'，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，所以()()10h x h <=，不成立． 综上，32m ≤． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4―4：坐标系与参数方程]22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,{0,x y y x y +-=+-=解得0,{0,x y ==或2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3,)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．[选修4―5：不等式选讲]23. 已知函数()212f x x x =++-. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证： 2223b c aa b c++≥.【答案】（1）3；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意根据1x <-、12x -≤<、2x ≥分类讨论，求出函数()f x 的取值范围，即可得解；（2）由题意结合基本不等式可得()()2222b c a a b c a b c a b c+++++≥++，即可得证.【详解】（1）当1x <-时， ()()()212f x x x =-+--()33,x =-∈+∞； 当12x -≤<时， ()()()212f x x x =+--[)43,6x =+∈； 当2x ≥时，()()()212f x x x =++-[]36,x =∈+∞； 综上，()f x 的最小值3m =；（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，且满足3a b c ++=， 所以()222b c a a b c a b c +++++222b c a a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222b c a a b c a b c ≥⋅⋅⋅=()2a b c ++，当且仅当1a b c ===时，等号成立，所以222b c a a b c a b c ++≥++即2223b c a a b c++≥.【点睛】本题考查了绝对值函数最值的求解，考查了利用基本不等式及综合法证明不等式，关键是对于条件做合理转化，属于中档题.。
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案(理科)
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） 必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xex ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k f x =()f x ，则k 的最小值为 ． 选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A作l三、的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x =, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．第15题图17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º 16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯3cos23x x =+1sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分 当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： …12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，DE，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EHEF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e，右焦点为)0 , 3( F ，∴c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分00(,1)OPOA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=（2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1(,)77P -， (11)分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a m n a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分 （2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。
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广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，又，，所以，，所以．（2）由，，得，，所以，由正弦定理，得，所以△的面积为．【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，因为平面，平面，所以平面⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，所以平面与平面所成二面角的平面角，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，，；又由，得，于是，，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得，于是，，在中，作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面, 所成二面角的余弦值为．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．【答案】（1）3.95万元（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果. （2）根据题设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润.【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）；若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由△恒成立，设、，可得：，，，令8，则，，，．综上，弦长的最大值为．【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，确定函数在上单调性和最值，即可求出函数在上的值域；（2）通过构造函数，将问题转化为在区间上问题，求导函数，通过分类讨论确定实数的取值范围．【详解】解：（1）易知，在上单调递减，，时，，在上的值域为．（2）令，则，①若，则由（1）可知，，在上单调递增，，与题设矛盾，不符合要求；②若，则由（1）可知，，在上单调递减，，符合要求；③若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减，，，．由题：，即，，即．且由（1）可知在上单调递减，．综上，．【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.【详解】解：（1）由得将代入，整理得曲线的普通方程为，设曲线上的点为，变换后的点为由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为，曲线的参数方程为(为参数).（2）设四边形的周长为，设点，，且，，，．且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；（2）根据化简函数，将恒成立，问题转化为恒成立，解绝对值不等式，令为其子集，即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式即为，①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，无解；综上，不等式的解集为．（2）当时，，即为恒成立，，即，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理。