三年级奥数专题知识要点系列之方阵问题练习
小学奥数三年级第25讲方阵问题例题
预备知识
什么是方阵？
让若干人或物体排队，若行数和列数相等，恰好排成一个正方形，所排的图形就叫方阵。
空心(中空)方阵：若方阵的中间不排物体，叫空心(中空)方阵。
【例1】(★★)【铺垫】(★★★)
一群士兵排成了一个单层的空心方阵，每条边上有7个人，那么这个数青蛙，填空格，找规律
都是在操练单层方阵，觉得已经没有意思了，于是他们今一共120名战士排成了一个三层的空心方阵，那么这个方阵的最外层天排出了一个双层的空心方阵，这个方阵的外层每条边上有10人，那有多少人？么这个方阵一共有多少人？
【例3】(★★★)【例4】(★★★★)
将军又找来了一些士兵，现在排成了一个实心方阵，最外层每条边上 士兵排成一个实心方阵，后来又来了11个士兵排上去，使横竖各增加有12个人，那么这个实心方阵一共有多少人？ 一排，仍是实心方阵。求原方阵共有多少士兵？
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
三年级思维数学奥数专题(方阵问题)
知识结构一、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41 ”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例题精讲一、方阵问题【例1】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【巩固】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【例2】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共方阵问题三年级奥数专题有多少人？【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【例3】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？三年级奥数专题【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【例4】育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗．如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？【巩固】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【例5】新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？【巩固】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【例6】在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？【巩固】希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。
三年级上奥数精品讲义方阵问题
表演方阵(方阵问题)知识图谱表演方阵知识精讲一．方阵问题1．方阵问题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题．2．一般的，方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差2，而每层的人数总差8．注意：方阵最里层只有1个人的时候此层不符合要求．空心方阵时此规律仍适用．二．数量关系1．方阵每边人数和四周人数的关系：（1）()14-⨯=每边人数四周人数；（2）41四周人数每边人数．÷+=2．方阵总人数的计算方法：（1）实心方阵：每边人数⨯每边人数=总人数．（2）空心方阵：外边人数⨯外边人数-内边人数⨯内边人数=总人数；若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：()4-⨯⨯=外边人数层数层数总人数．（3）逐层相加，则：第一层人数＋第二层人数＋第三层人数＋……=总人数．三．三角形阵列1．1个n层实心的三角形阵列，总人数为：1234n++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+．2．类比方阵的计算方法，注意特殊位置．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次培养学生的观察推理能力．本讲内容是在数列规律的基础上，学习阵列问题．从生活中常见的阵列问题出发，学习实心方阵、空心方阵，掌握阵列中的相关计算．后续课程还会进一步学习数表规律．课堂引入例题1、一年一度的学校运动会就要来临了，学校要求每个班级都要走一个表演方阵．三年级二班在班长及体育委员的带领下，为全班36人组织了一个变化方阵．刚开始还没有入场时，大家可以先站成一个3列的队伍．然后等到入场我们就变换成一个实心方阵．等经过舞台中央时，部分同学组成一个空心阵，然后让其余同学在中间举起我们的口号就可以了！非常棒！如果这个空心阵不好排的话，我们也可以变成圆的嘛！请问：艾小莎所说的这个实心方阵共有几层呢？最外层每条边上有几个同学呢？例题2、若干名同学站成一个8×8的方阵，那么这个方阵一共有________人．实心方阵问题例题1、（1）若干名同学站成一个13×13的方阵，那么这个方阵最外层一共有多少人？（2）若干名同学站成一个13×13的方阵，那么这个方阵一共有多少层？最里层有多少人？（3）若干名同学站成一个16×16的方阵，那么这个方阵一共有多少层？最里层有多少人？方阵的最外层的人数，不是每边的人乘以4吗？例题2、（1）某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？（2）有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？方阵的总人数怎么求，还记得吗？例题3、（1）一个方阵，最外面一层共有64人，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加多少人？（2）有100人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？方阵增加一行一列，是增加了两条边，但是还有重复……例题4、用红、绿两种颜色的正方形瓷砖共144块铺满一面正方形的墙，最外层是红色，第二层是绿色，第三层是红色，……，就这样下去，那么整面墙上共有红色瓷砖多少块？红色瓷砖有多少层？相邻两层差多少呢？随练1、一个方阵，最外面一层共有108人，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加多少人？随练2、用红、绿两种颜色的正方形瓷砖共100块铺满一面正方形的墙，最外一层是红色，第二层是绿色，第三层是红色，……，就这样下去，那么整面墙上红色瓷砖比绿色瓷砖多多少块？空心方阵问题例题1、（1）某校少先队员可以排成一个四层空心方阵．如果最外层每边有20个学生，这个空心方阵最里边一层有多少人？这个四层空心方阵共有多少人？（2）一个空心方阵，最外层有56人，最里层有32人，这个方阵有多少层？这个好像跟前面的不一样了，是空心方阵……例题2、（1）共有300人排成一个5层的空心方阵，如果在外部加一层，变成一个六层的空心方阵，那么应该增加多少人？（2）共有156人排成一个3层的空心方阵，如果在内部加一层，变成一个四层的空心方阵，那么应该增加多少人？是不是先要求出来最外层有多少人呢？例题3、共有132人排成一个3层的空心方阵，如果要在内部加人，变成一个实心方阵，那么还需要增加多少人？空心方阵变成实心方阵，先找出最里层每边多少人．随练1、共有300人排成一个3层的空心方阵，如果要在内部加人，变成一个实心方阵，那么还需要增加多少人？随练2、共有132人排成一个3层的空心方阵，那么这个方阵最外层共有多少人？其他方阵问题例题1、高思小学的学生排成了一个每边为10人的三角阵，请问：最外层有多少人？共有多少层？刚刚还是方阵，怎么变成三角阵了，这可怎么办？例题2、三年级的男生们排成一个每边10人的实心三角形阵之后，女生站在外层，所有人排成一个每边15人的三角阵．请问：三年级男生和女生谁的人数多？多多少人？例题3、如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？草地A B水池草地草地C随练1、四年级1班共45人，那么可以排成一个每边__________人的三角形阵列．随练2、三年级的男生们排成一个每边8人的实心三角形阵列后，女生继续排在男生外面，男女生一起排成了一个每边11人的三角形阵列，那么女生有__________人．易错纠改例题1、 有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵？方阵中共有杨树，柳树各多少棵？拓展1、 一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有________人．2、 若干名同学站成一个12×12的方阵，那么这个方阵一共有__________层．3、 一个方阵，最外面一层共有36人，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加__________人．4、 共有156人排成一个3层的空心方阵，如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那么应该增加__________人．5、 共有200人排成一个5层空心方阵，这个方阵最外面一层每边_________人．6、 如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A 、B 、C 点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，每条边上有8朵花．那么，整个绿地一共要种__________朵花．7、 用红、绿两种颜色的正方形瓷砖共144块铺满一面正方形的墙，最外一层是红色，第二层是绿色，第三层是红色，……，就这样下去，那么整面墙上红色瓷砖比绿色瓷砖多__________块．8、 阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等．已知方阵最外面一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生……如此下去直到最里面．如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学生多少人？ 9、 分析并口述题目的做题思路及方法．一批同学站成一个的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第3层有多少人？1010 这个简单，我们求出来最外一层有多少棵树，杨树和柳树隔株相间而种，那就是各自一半．等等，“隔株相间”什么意思？为什么就是杨树和柳树各自一半呢？我还是先思考一下吧．大家快来帮唐小虎解决一下这个问题吧．草地草地草地 水池ABC。
小学三年级奥数《第7讲 方阵问题》
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
小学奥数：方阵问题
归纳 • 例如小明用棋子摆了一个实心方阵，他发现再加入20
枚棋子，使得原方阵增加两行两列，正好可以成为一 个大一点的实心方阵.请问原来的方阵有多少枚棋子？
如果增加两行两列， 则角落会多几枚棋子？
纵横共多出几排？
如何得出原方阵最外 层每边数？
总结：
• 如果一个方阵加入棋子，使得方阵增加几行几 列，角落里（红色部分）的棋子会有几×几。
笔记：
• 判断下面四个图形是不是方阵？
①
②
③
④
• 例1：49人排成一个实心方阵，这个方阵每边 多少人？
49=7×7 答：这个方阵每
边有7人。
• 小试牛刀： • 1.一个实心方阵，每边站20个人，请问这个方阵
共有多少人？
• 2.64人排成一个实心方阵，这个方阵每边人数是 多少？
• 3.如果是100人排成一个实心方阵，这个方阵每 边多少人？
——两层空心方阵
这是一个几层的空心方阵？
从空心方阵发现方阵的特点
外层 中层 内层
总数 28 20 12
每边数 8 6 4
总结
• 方阵问题 • 四、方阵的特点： • 1. 相邻两层的总数相差8个； • 2. 相邻两层每边数相差2个.
• 例4：若干盆花围成一个一层空心方阵，发现每边有 5盆花，请问一共有几盆花？
• 3.公园进行郁金花花卉展览，把一些黄色的郁金香刚好排列成一 个方阵，如果给这个方阵增添25盆花，刚好能让方阵增加一行一 列，请问这个黄色的郁金香方阵原来是有多少盆花？
• 例3：运动会入场式要求运动员排成一个10行 10列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少 多少名学生？
• 想一想：如果原来是10行10列，去掉2行2列后， 还有几行几列？
三年级小学奥数方阵问题【五篇】
三年级小学奥数方阵问题【五篇】导读：本文三年级小学奥数方阵问题【五篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇：士兵方阵】习题：有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？答案：(240÷4)-1=59(人)59×59=3481(人) 【第二篇：空心方阵】习题：某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最里边一周有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？答案：(20-2×3-1)×4=42(个)(20-40×4×4=256(个) 【第三篇：鲜花方阵】习题：六一儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆？答案：最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数204÷4÷3+3=20(盆) 【第四篇：体操表演】习题：三年级(1)班的学生参加体操表演，排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形，求正六边形一周共有多少名学生？三(1)班参加体操表演的共有多少人？答案：7×6-6=36(人)7×12-6×2-5=67(人) 【第五篇：松柏方阵】习题：最新的三年级奥数题及答案：方阵问题：现有松树和柏树以隔株相间的种法，种成9行9列的方阵，问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵？方阵*有松树柏树各多少棵？答案：最外层松柏各是：(9-1)×4÷2=16(棵)共有松柏树是：(9×9+1)÷2=41(棵)81-41=40(棵)答：柏树41棵，松树40棵，或松树41棵，柏树40棵。
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1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层一周共有240人,问这个方阵共有多少人?
2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?
3.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?
4.三年级(1)班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?三(1)班参加体操表演的共有多少人?
5.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?
三年级奥数知识要点系列之方阵练习答案
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
(2)(20-2×3-1)×4=42(个) (20-40×4×4=256(个)
(3)最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20(盆)
(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
(5)最外层松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏树是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)
答:柏树41棵,松树40棵,或松树41棵,柏树40棵。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向
里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)
答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×
4=144(个)
答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,
再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×
8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除
最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。
因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:7×7-25=24(棵)
(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)
答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。