点集拓扑复习资料
(点集拓扑学拓扑)知识点
第4章 连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果∅=⋂⋃⋂)()(A B B A则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于∅=⋂B A 和 ∅=⋂A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪B ＝X ，显然 A ∩B=∅，并且这时我们有B B B A B B A B X B B =⋂⋃⋂=⋃⋂=⋂=)()()(因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要求．（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，则由A ＝B '和B=A ' 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵A 、B ≠∅，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A ∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~∩B ~=∅和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=∅矛盾．因此（b ~，b]⊂B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~=∅矛盾．定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ⊂⊂，则Y 是X 的连通子集当且仅当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ⊂Y ．则A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．证明 因为 ))(())(())()(())()(()))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y ⊂A U B ，则或者 Y ⊂A ，或者 Y ⊂B ．证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ⊂AUB ，则∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂)()(()()())(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A 这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=∅，据上式立即可见 Y ⊂B ，如果 B ∩Y ＝ ∅，同理可见Y ⊂A ．定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ⊂X 满足条件Y Z Y ⊂⊂．则 Z 也是X 的一个连通子集．证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ⊂AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，或者Y ⊂A ，∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z Θ或者Y ⊂B,同理,∅=A 。
点集拓扑
一、基 １.定义 定义
B ⊂ T , B 为拓扑空间( X , T )的一个基
⇔ ∀U ∈T , ∃B1 ⊂ B , 使得U = ∪
def A∈
B1
A
2.基的判定 基的判定
(1)
设 B ⊂T ，则B 是X的基 ⇔ ∀x ∈ X , ∀U x ∈ x , U ∃V x ∈B ，使得x ∈V x ⊂ U x .
2.邻域基、邻域子基与连续映射 •定理2.6.6 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y， x∈X．则以下条件等价： （1）f在点x处连续； （2）f(x)有一个邻域基ψ f ( x ) ，使得对于 任何V∈ψ f ( x ) 原象 f −1(V)是x的一个邻域； （3）f(x)有一个邻域子基 ψ f ( x )，使得对于
定理2.7.4 定理2.7.4 设 ( X , ρ ) 是一个度量
{ 空间， 中的一个序列， 空间， xi }i∈Z + 是 X 中的一个序列，
x∈X，则以下条件等价： ∈ ，则以下条件等价： (1) 序列 {xi }i∈Z+ 收敛于 ； 收敛于x； (2) 对任意 (3)
ε >0
使得当 i > N 时
ψ x (⊂ U x )称为x的领域基
⇔ ∀U ∈U x , ∃V ∈ψ x , 使得V ⊂ U ,
def
2.定理2.6.7 2.定理2.6.7 设X是一个拓扑空间，x∈X．则 定理 如果B是X的一个基，则
Bx ={B∈B | x∈B} 是点x的一个邻域基；
四、基、子基与连续映射 1.定理 1.定理 2.6.5 设 X和Y是两个拓扑空间，f: X→Y． 则以下条件等价： （l）f连续； （2）拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何 f −1 一个B∈B， （B）是X中的一个开集； （3）Y有一个子基 ϕ , 使得对于任何一个 ϕ 原象 f −1(S)是X中的一个开集. S∈
点集拓扑知识点总结
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
点集拓扑
是一个
证明:(1)对于X 的任意一个开集U，
i (U ) U 是 X 中的一个开集，所
以恒同映射 iX 是连续映射. (2)
f g
1 X
f 1 ( g 1 (U ))
g 1 (U )
U
X
Y
Z
设 f : X Y 和 g :Y Z 都是连续映射，则对于Z的任意开
g (U ) 和 f ( g (U )) 分别是 集 U，
def
• 邻域
U ( X )为x的邻域 V 开 X , 使得x V U .
定理2.1.3：U是x的一个邻域 0, 使得x B( x, ) U
def
•开集的三条性质 定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质： （1）集合X本身和空集 都是开集； （2）任意两个开集的交是一个开集； （3）任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集．
( AT1 A A )T ( A ) A A 1 AT2 AT2 0
1
A T
.
是X的一个有限子集，所以 由上面的讨论知 T 是X 上的拓扑 AT A T . 根据上述（1），（ 2）和（3），P是X的 这个拓扑称为 X的有限补拓扑，
一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间 称（ X , T ) 为有限补空间. （ X，P）称为一个有限补空间．
注
意
T ；
如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 在称度量空间 ( X , ) 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间 ( X , T ) .
定义2.2.3 设（X，T）是一个拓扑空 间．如果存在X的一个度量ρ 使得拓扑T 即 是由度量ρ 诱导出来的拓扑 Tρ，则称（X， T）是一个可度量化空间．
点集拓扑讲义知识点总结
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
点集拓扑试题及答案
点集拓扑试题及答案1. 定义并解释什么是拓扑空间。
拓扑空间是一个有序对(X, T)，其中X是一个非空集合，T是X的子集的集合，满足以下三个条件：(1) 空集和X本身都属于T；(2) T中的任意有限个集合的并集仍然属于T；(3) T中的任意个集合的交集仍然属于T。
2. 简述连续映射的定义。
设f: X → Y是一个映射，其中X和Y是拓扑空间。
如果对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，则称f是连续的。
3. 证明如果f: X → Y和g: Y → Z是连续映射，则它们的复合映射g ∘ f: X → Z也是连续的。
证明：设W是Z中的一个开集，我们需要证明(g ∘ f)^(-1)(W)是X中的开集。
由于g是连续的，g^(-1)(W)是Y中的开集。
又因为f是连续的，f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集。
因此，(g ∘ f)^(-1)(W) = f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集，所以g ∘ f是连续的。
4. 什么是紧致性？请给出紧致空间的一个例子。
紧致性是指拓扑空间中的每一个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
一个例子是实数线R上的闭区间[0, 1]，它在标准拓扑下是紧致的。
5. 描述什么是连通空间。
连通空间是指不能被分解为两个非空不相交开集的拓扑空间。
6. 证明如果X是连通空间，并且f: X → R是连续映射，那么f(X)是区间。
证明：设a = inf f(X)，b = sup f(X)。
对于任意的x ∈ X，由于f是连续的，存在一个开邻域U_x ⊆ X使得f(U_x) ⊆ (a, b)。
因为X是连通的，所以X = ⋃x∈X U_x，这意味着f(X) = ⋃x∈Xf(U_x) ⊆ (a, b)。
由于f(X)是闭的，所以f(X) = [a, b]。
7. 什么是分离公理？请举例说明。
分离公理是指对于拓扑空间中的任意两个不同的点，都存在两个不相交的开集分别包含这两个点。
例如，在实数线R的拓扑中，对于任意两个不同的点x和y，可以取开区间(x - 1, x + 1)和(y - 1, y + 1)分别包含x和y，且这两个开区间不相交。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑复习题
点集拓扑复习题点集拓扑是数学中的一个分支，它研究的是集合中的点的性质和它们之间的关系。
在学习点集拓扑的过程中，我们经常会遇到一些复习题，通过解答这些题目可以巩固我们对该领域的理解。
下面我将给大家介绍一些常见的点集拓扑复习题。
一、开集与闭集1. 什么是开集和闭集？它们有什么基本性质？开集是指集合中的每个点都有一个邻域完全包含于该集合中。
闭集是指集合的补集是一个开集。
开集和闭集有以下基本性质：- 空集和全集都是既开又闭的。
- 开集的有限并、可数并以及任意并仍然是开集。
- 闭集的有限交、可数交以及任意交仍然是闭集。
2. 证明以下集合是开集或闭集：- (0, 1)：开集- [0, 1]：闭集- [0, 1)：既不是开集也不是闭集- (0, 1]：既不是开集也不是闭集二、连通性与紧致性1. 什么是连通集与不连通集？它们有什么基本性质？连通集是指集合中的任意两点之间都存在一条连续曲线将它们连接起来。
不连通集则是指存在两个不相交的开集，分别包含集合中的一部分点。
连通集和不连通集有以下基本性质：- 连通集的闭包仍然是连通集。
- 不连通集的闭包是两个不相交的连通集的并集。
- 连通集的子集仍然是连通集。
- 连通集的任意开覆盖都存在一个有限子覆盖。
2. 证明以下集合是连通集或不连通集：- (0, 1)：连通集- [0, 1]：连通集- [0, 1)：不连通集- (0, 1]：不连通集三、紧致性与序列紧致性1. 什么是紧致集与序列紧致集？它们有什么基本性质？紧致集是指集合的任意开覆盖都存在一个有限子覆盖。
序列紧致集是指集合中的任意序列都存在一个收敛子序列。
紧致集和序列紧致集有以下基本性质：- 紧致集的闭子集仍然是紧致集。
- 有限个紧致集的并集仍然是紧致集。
- 序列紧致集是紧致集。
2. 证明以下集合是紧致集或序列紧致集：- [0, 1]：紧致集，同时也是序列紧致集。
- (0, 1)：既不是紧致集也不是序列紧致集。
- [0, 1)：既不是紧致集也不是序列紧致集。
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《点集拓扑》复习题 一、概念叙述1、拓扑空间2、邻域、邻域系3、集合A 的凝聚点4、闭包5、基 子基6、子空间7、（有限）积空间8、隔离子集9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题1、有限集不可能有聚点 （ ）2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ）3、如果A B ⋂≠∅，则A B A B ⋂=⋂ （ ）4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。
（ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ）１０、映射:f X Y →是连续映射的⇔若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ⊂ （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ⊂，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点⇔在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ）１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( )19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
20、设A 、B 是拓扑空间X 中的两个连通子集，则A B ⋃也是X 的一个连通子集 （ ）21、如果A 、B 是拓扑空间X 中两个不交的开子集，则A 、B 必是X 中隔离子集 （ ）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ） 23、正规空间必是Hausdorff 空间 （ ）24、在一个紧致的2T 空间中，一个集合是紧致子集⇔它是一个闭集（ ）25、紧空间必是Lindel ǒf 空间 （ ） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ） 27、正则空间必是Hausdorff 空间 （ ）28、设12X X X =⨯是空间1X 、2X 的积空间，A 1X ⊂,2B X ⊂分别是1X 、2X 中闭集 （ ）29、设A 、B 是拓扑空间X 中两个子集，并且A B ⋂≠∅，则有()()()d A B d A d B ⋂=⋂ （ ）30、若拓扑空间X 是连通空间，则X 必是局部连通空间 （ ） 三、填空1、设:f X Y →是同胚映射，则f 必是一一映射，并且 和 都是连续的。
2、设Y 是拓扑空间(),X ℑ的子集，Y 的拓扑Y ℑ称为 ；拓扑空间(),Y Y ℑ称为(),X ℑ的 。
3、连通空间X 中既开又闭的子集只能是 和 。
4、设X 是拓扑空间，若X 的每一 覆盖都有一个 ， 则X 是Lindel ǒf 空间。
5、正规的 空间或紧致的 空间是4T 空间。
6、X 是拓扑空间。
若X 的每一个 开覆盖都有 ，则X 是可数紧致空间。
7、如果A 是离散空间X 中一个非空连通子集，则A 必是 。
8、如果X 是一个可数集，则X 上的可数补拓扑空间必定是 。
9、设X 是离散度量空间，X 上度量为()1,,,0,,x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩则X 中任一点x 的球形邻域(),1B x =。
10、在拓扑空间X 中，如果子集A 是开集，B 是闭集，则A B -是B A -是 。
11、设(),X ℑ是实数集R 上的可数补空间，A 是X 中一个可数集，B 是X 中一个不可数集，则()d A = ，()d B = 。
12、如果集合X 上的任一拓扑ℑ，拓扑空间(,)X ℑ都是紧致空间，则X 必是 。
13、在平面空间2R 中，度量ρ定义为任意两点()()()12121122,,,,,,a x x b y y a b x y x y ρ===-+-则以原点O 为中心，0ε>为半径的球形邻域()0,B ε的图形是 。
14、积空间12X X X =⨯的子基元素的一般形式是 或 。
15、设[)[)0,12,3Y =⋃是实数空间R 的一个子空间，则Y 的子集[)0,1是Y 的 。
16、在实数空间R 中，取A 为整数集，B 为有理数集，则A = ， B = 。
17、设X ={},,a b c ，X 上拓扑{}{},,,X a b ℑ=∅，取子集{}A b =，则()d A = 。
18、如果X 是平庸空间，则X 必为紧致空间，它的每一个开覆盖A ，必有有限子覆盖1A = 。
四、单选题1、设X ={},,a b c ，它的一个拓扑是（ ）()A {}{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅ ()B {}{}{}{},,,,,b c a b c ∅ ()C {}{}{}{},,,,,,,a b a c a b c ∅ ()D {}{}{}{}{},,,,,a b c a b c ∅2、设X 是拓扑空间，F 为所有闭集构成的族，则有（ ）．()A 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋃⋃⋃⋃∈F ()B 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋂⋂⋂⋂∈F()C ,X ∅∉F ()D 若A ∈F 则X A -∈F3、设X 为拓扑空间，则对,A B X ∀⊂，必有（ ）． ()A X ∅= ()B A A ⊂ ()C A B A B ⋃=⋂ ()D A 是闭集4、设X 为拓扑空间，x X ∈，则有 （ ）．()A x 的任意邻域都是X 的开集 ()B x 的任意邻域都是X 的闭集()C 包含x 的开集都是x 的邻域()D 若12,U U 是x 的邻域，但12U U ⋂不是x 的邻域5、已知()0,1是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间()0,1中的开集是 （ ）． ()A [)0,b ()B (],a b ()C [],a b ()D∅其中(),0,1a b ∈．6、设{},,X a b c =，ℑ是平庸拓扑，(),X ℑ中两子集是隔离的是（ ）．()A {}a 与{}b ()B {},a b 与{},b c ()C {}a 与{},b c ()D∅与{}a7、下面命题中正确的是（ ）．()A 平庸空间是0T 空间()B 在2T 空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列()C 1T 空间未必是0T 空间 ()D 1T 空间中每一单点集都是闭集8、若X 是Hausdorff 空间，则X 必是（ ）．()A 正则空间 ()B 正规空间 ()C 3T 空间 ()D 1T 空间9、下面不连通的拓扑空间是（ ）．()A 实数空间 ()B 平庸空间()C 包含多于两个点的离散空间 ()D 拓扑学家正弦曲线21,sin01S x R x x ⎧⎫⎛⎫=∈<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭10、下面正确的命题是（ ）．()A 设:f X Y →是连续映射，若 X 满足第二可数性公理（即X 是2A 空间），则 Y 也是2A 空间。
()B 2A 空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。
()C 若拓扑空间i X ()1i n ≤≤都是2A 空间，则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也是2A 空间。
()D 2A 空间未必满足第一可数性公理。
11、拓扑空间X 中，,A B 是隔离子集，则在子空间A B ⋃中子集A 是（ ）．()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集 12、在实数空间中，子集(]0,1A =，[)0,1B =，()0.1C =，[]0,1D =，其中可能有同胚关系的是（ ）．()A A 与B ()B C 与D ()C A 与C ()D B 与D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff 空间”的（ ）。
()A 充分条件 ()B 必要条件()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件14、设[)[)0,12,3Y =⋃是实数空间R 的一个子空间，则Y 中的子集[)0,1是Y 的（ ）．()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集15、设(),X ℑ集合R 上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ）()A X 是1A 空间 ()B X 是2A 空间()C X 是可分空间 ()D X 是Lindeloff 空间16、拓扑空间X 中“只有单点集”是“X 为离散空间”的（ ）()A 充分条件 ()B 必要条件()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X 是一个集合，令{}X ℑ=∅，，则ℑ是X 的一个拓扑．2、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是不连通的．3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．4、拓扑空间X 的子集U 是开集的充要条件是U 是它的每一点的邻域．5、若X 是1T 空间，则X 中的每个单点集都是闭集。
6实数空间R 不是一个紧致空间。
7、包含不少于两个点的平庸空间不是0T 空间。
8、设()X ρ，为度量空间，如果X 为有限集，证明：()X ρ，为离散空间。
9、设()X ℑ，为拓扑空间，证明：如果X 的每一个子集A 都满足()=∅d A ，则()X ℑ，是离散空间。
10、设X 为拓扑空间，:f X R → （其中R 为实数空间）是连续映射，证明X 中的子集(){}0A x X f x =∈<为开集。
11、证明：正则的0T 空间必是3T 空间。
12、证明：实数集R 上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff 空间。
13、设(),X ρ是度量空间，证明：如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为有限集，且(),X ρ是离散空间。
14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。