数学建模：养老金计划
企业职工退休养老金制度的数学建模问题
文化视野企业职工退休养老金制度的数学建模问题赵晓艳 河南质量工程职业学院基础教学部摘要：社会退休职工的养老问题日益成为社会的热点。
本文选取对山东省历年社会平均工资统计，然后求出历年的平均增长率作为未来的社会平均工资每年增长率，建立计算未来的社会平均工资的模型。
在考虑了基础养老金、个人账户养老金、养老金与职工工资、缴费年限等的相互关系后，给出了相应的具体算例，然后用Excel软件求出某企业2009年的平均工资和其各年龄段的平均工资，降低了数据的计算量，在此基础上计算出基础养老金和个人账户养老金；职工缴费指数和最优替代率。
最后讨论了养老金的最优替代率和收支平衡与最适宜的缴费年龄和退休年龄。
关键词：养老金；社会平均工资；替代率；收支平衡；退休年龄中图分类号：O29 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2018)009-0423-02我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。
在我国，施行养老保险政策非常有必要，在自己能力范围内交养老保险，到达一定年龄就可以领取养老金，这样就可以做到老有所依，老有所养，对子女也会减轻很大的压力，同时对于社会来说，也减轻了社会的负担，让社会变得更加和谐稳定，进而间接促进社会发展。
对于社保的缴纳，国家政策也给予了很大的支持，国家规定，社保是可以中断缴纳的，中途改变工作单位会依法把你缴费记录什么的转移到新工作单位[1]。
这就给在企业中的职工提供了很多便利。
假如有一个城市的每个人工资都是每个月一千块钱，市政府规定人们从四十岁时开始交养老保险，按工资的20%交，交到六十岁开始领养老金，这时候每个月就得交两百块。
随着工资每个月上涨(不管是因为时候水平提高还是因为通货膨胀)，交养老金跟领养老金的钱也在逐月上涨。
国家规定社会养老缴费基数最高为年平均工资的3倍，最低为0.6倍养老金 =(退休时上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)÷2×缴费年限×1%+个人账户储存额÷(人口平均寿命-退休年龄)X12。
养老保险问题建模分析
二分法的优点是方法简单，且只要求 f ( x) 连续即可，可用二分法求出 f ( x) 0 在 a, b 内全部实根，但二分法不能求复 根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数 较多。
• 例4.2.2
用二分法求 f ( x)
1 3 10 2
x
6
x 1 在[1,2]内一
即 x 为方程 (4.2.4) 的解（称 x 为函数 g x 的不动点），显然 在由方程 f ( x) 0 转化为等价方程 x g ( x) 时，选择不同的迭代 函数 g ( x) ，就会产生不同的序列 xk （即使初值 x0 选择一样）且 这些序列的收敛情况也不会相同。
k
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险 人账户上的资金数值。
4.1.4
模型建立
我们关心的是，在第M月时， FK 能否为非负 数？ 如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负，则表明 保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无 所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际 收益。 从这个分析来看，引入变量FK，很好地刻画了整个 过程中资金的变化关系；特别是引入收益率 r，虽然它 不是我们所求的保险人的收益率，但从问题系统环境中 来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效 益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。
k k
k
Байду номын сангаас
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
a b
xk 1 sin xk 0.5, k 0,1,2, xk 1 sin 1 xk 0.5 , k 0,1,2,
4.2.1
x
• 二分法的步骤如下：记 a1 a ， b1 b
数学建模与数学实验：第13讲 个人住房抵押贷款模型养老保险模型
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
马氏链的基本方程
xk 1 Axk
xk x1k , x2k , , xnk T
xik与状态i有关，i 1, 2, , n
转移概率aij 从状态j一步变化到状态i的概率
(1)aij 0,i, j 1, 2,
比例（概率）为aij； 3）T为资源总数，保持恒为正常数。
结论：
经过多轮分配，各个部门分配到的资源趋向于稳定， 总数为T 的资源，将按照P的分量比例分配到各个部门。
金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额T=5400万的基金,分开放置 在位于A城和B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须 确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一 周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A城公司 有10%支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。 起初A城公司基金额为2600万,B城公司基金为2800万。
一阶差分方程基础知识
定义：一阶差分方程 xk1 f (xk ), xk Rn , k N 平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
平衡点的稳定性
lim
k
xk
x
lim
k
xk
x
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
一阶线性差分方程
xk axk1 b, a,b为常数，且a 1
通解：
xk
吸收态。
有r个吸收状态的吸收链的 转移矩阵标准形式
A
Ir O
R
S
S Rnrnr , 非吸收态之间的转移矩阵
R Rrnr , 非吸收态到吸收态的转移矩阵
数学建模小组企业退休职工养老金制度的改革
168540 310134 170 139 2231 26772
月平均领取的养 991 老金 年平均领取的养 11892 老金
3.3-3 问题三该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额
55-75岁缴纳及领取养老金的余额
60-75岁缴纳及领取养老金的余额
从表格中，我们可以看出60岁退休，在75岁死亡时的养 老基金国家补贴了29689元，在73岁时缴纳的养老保险 基金与其领取的养老基金之间达到了收支平衡。
65-75岁缴纳及领取养老金的余额
从表格中，我们可以看出65岁退休，在75岁死亡时的 养老基金国家补贴了32229元，在74岁时缴纳的养老保 险基金与其领取的养老基金之间达到了收支平衡。
2011c题：企业退休职工养老金制度的改革
问题背景
Байду номын сангаас 问题
1978
2010
第一题：
3.2对问题二的求解
3.2-1 各年龄工资与企业平均工资之比
30-55缴纳的养老保险总金额
3.3-2 问题二 从退休到75岁死亡每年领取的保险金总额
55退休 总的缴费金额 计发月数
60岁退休
65岁退休 545885 101 5405 64860
养老金问题的数学模型探究
−
.
×
.
整合呈现பைடு நூலகம்问题求解
整合研究，问题求解
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
缴纳
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
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2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
= . ， = . − + .
故{ +
设，使得 + = . − + ≥
即 = 1.035−1 + 0.035，
故. = . , 即 =
.
.
=
+
，公比. ，
通项公式为
式，年利率为3.5%
第1年
第2年
第3年
第4年
……
第n年
……
利润
结余
分段探究，建立模型
任务三、寻求 与− 的递推关系
【学生展示1】
【学生展示2】
×
没缴纳养老金≠没利润
递推关系： = . − − ≥
分段探究，建立模型
任务四：由 与− 的递推关系推导 的通项公式
P 没
钱
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划是一个涉及金融和经济领域的复杂问题，需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
以下是其中一些常用的数学模型：
1. 精算模型
精算模型是用来计算养老金计划负债和成本的工具。
它基于一系列假设，包括人口统计数据、投资收益率、通货膨胀率、利率等，通过这些假设来模拟未来现金流和负债变化的情况。
精算模型可以帮助计划发起人制定合适的费率，以保证养老金计划的长期稳定运行。
2. 投资组合模型
投资组合模型是用来优化养老金资产配置的工具。
它通过将资产分配到不同的投资品种中，以实现风险和收益的平衡。
投资组合模型通常采用现代投资组合理论（如Markowitz模型），通过计算每一种投资品种的期望收益、方差和相关系数，来找出最优的投资组合。
3. 随机过程模型
随机过程模型是用来模拟养老金计划负债和投资的动态变化的工具。
它基于随机过程理论，可以考虑到许多随机因素的影响，如死亡率、投资收益率、通货膨胀率等。
随机过程模型可以帮助计划发起人预测未来负债和资产的变化情况，从而更好地制定决策。
4. 仿真模型
仿真模型是用来模拟养老金计划在不同情况下的表现的工。
它通过设定不同的参数和假设条件，模拟出未来可能出现的各种情况，并对这些情况进行评估和分析。
仿真模型可以帮助计划发起人评估不同策略的风险和收益，从而更好地制定决策。
李斯特养老金计划需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
这些模型可以帮助计划发起人制定合适的费率、优化资产配置、预测未来变化情况以及评估不同策略的风险和收益。
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程养老金是自然人在退休后保障生活的一项社会福利制度。
在现代社会，养老金的计算和分析变得越来越复杂，需要运用数学建模的方法来进行分析和计算。
首先，我们需要考虑养老金的基本构成。
养老金通常由两部分组成：基础养老金和个人账户养老金。
基础养老金由国家统一提供，与个人工作年限和月平均工资有关。
个人账户养老金则是个人按一定比例缴纳的，由个人投资运营，与个人缴费和投资收益有关。
接下来，我们可以用数学建模的方法来计算养老金。
首先，我们需要确定基础养老金的计算公式。
通常，基础养老金与个人工作年限和月平均工资的乘积有关。
我们可以将其表示为：基础养老金=工作年限×月平均工资×系数其中系数为国家制定的统一标准，与个人年龄和性别也有关。
然后，我们需要计算个人账户养老金。
个人账户养老金的计算涉及到个人缴费和投资收益。
我们可以将个人缴费表示为：个人缴费=个人工资×缴费比例缴费比例通常由国家制定，可以根据个人工资水平等因素进行调整。
个人账户养老金的投资收益可以通过投资收益率进行计算。
假设投资收益率为r，个人账户养老金的投资收益可以表示为：投资收益=个人缴费×(1+r)^缴费年限最后，我们可以将基础养老金和个人账户养老金加总，得到总养老金：总养老金=基础养老金+个人账户养老金通过这样的计算，我们可以得到一个基于数学模型的养老金计算公式，可以根据不同的个人情况和参数进行计算。
除了计算养老金的数学模型，我们还可以利用简化编程来实现对养老金的分析和计算。
例如，我们可以使用Python等编程语言来编写一个程序，输入个人的工作年限、月平均工资、个人工资、缴费比例、投资收益率等参数，然后自动计算出养老金的结果。
在编程中，我们可以使用变量来存储输入的参数，使用数学函数来进行计算，使用条件判断和循环语句来实现不同情况下的计算逻辑。
通过编程，我们可以快速准确地计算养老金，避免手工计算产生的错误和繁琐。
第十届华为杯研究生数学建模F题论文
（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号队员姓名1 2 3（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究摘要：在人口老龄化程度日益加深的背景下，我国的养老保险体系遇到了极大的挑战。
养老金缺口已经出现并且缺口可能还会继续扩大。
如果不及时解决养老金缺口问题，它将会给社会经济发展带来沉重的负担，如何保障养老保险体系持续健康稳定的发展，成为一个亟待研究的重要问题。
为此，本文立足现实，探讨适合国情的养老保险体系，探寻促进我国城乡养老保险体系可持续发展的路径，同时为国家制定城乡居民养老保险相关政策提供参考。
问题一(建立中国城乡居民养老保险体系数学模型)，首先确定影响养老保险体系的相关因素，此处一方面利用题目给出的影响因素；另一方面借鉴相关专家学者的研究以及我国经济社会发展的现实情况，最终确定影响中国城乡居民养老保险体系的主要因素，包括养老金收入、养老金支出、养老金替代率、缴费率、养老金结余量、投资收益率、投资收益额、政府财政投入、GDP增长率、GDP增长额、分年龄段死亡率、养老金领取人数、CPI增长率、年平均工资水平、个人缴费总额、缴费率、缴费人数、劳动人口数、就业率。
其次，确立各因素之间的假设关系。
然后，构建基本养老保险体系的系统动力学模型，并进行系统仿真。
模型建立要紧密结合社会我国的经济发展状况。
问题二，(1) 本文利用问题一中构建的基本养老保险系统动力学模型，设置基期为2010年的实际数据，预测今年至2035年我国养老金缺口，从2021年养老金开始出现缺口，并呈现扩大趋势。
选取2000-2010年的数据来预测2011-2035年的养老金结余，其中2011年我国实际养老金结余为19496.6亿元，经过预测得到2011年的养老金结余为20672.1亿元，测量误差仅为6%，可见对养老金缺口的预测非常合理。
(2) 如果国家现行养老保险政策保持不变，根据本文构建的数学模型，我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况将在2035年出现，基金缺口将高达2.00102e+011元。
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数学建模A题养老金计划养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅。
参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入1X元，30岁~39岁每月存入2X元，40岁~49岁每月存入3X元，50岁~59岁每月存入4X元。
参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年。
试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄的计划参加者的月退休金。
1、从20岁开始参加养老金计划，假设1234200X X X X====元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设2200X=元，3500X=元，41000X=元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设31000X=元，42000X=元。
论文题目：养老金计划姓名1：**（写作）专业：数学与应用数学姓名1：**（编程）专业：信息与计算科学姓名1：**（建模）专业：信息与计算科学2010年8月14日摘要：随着人口老龄化的到来，世界各国都在不断努力寻求解决老龄化社会问题的途径，已形成了各具特色的养老保险制度。
但是我国养老金制度还存在层次单一，覆盖面狭窄和管理不协调的问题，因此本文就养老金计划问题进行讨论，旨在分析不同年龄阶段、投资不同金额的投保人在60岁后的20年里每月初所能领取养老金p。
首先依据题设，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。
至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。
但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，可认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。
因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。
其次，采用迭代方法建立不同情况下的四种数学模型，利用MATLAB编写对应模型的程序，并用二分法求解出符合问题条件下的P值。
最终，运用所建立的数学模型最终求解出P1=10397.3511元，P2=5264.6136元，P3=4383.79385元。
从结果可以看出，越早参加养老金计划，在60岁后的20年里每月初也能领取相当多的养老金。
关键词：养老金月初虚拟账户目录一、问题的提出二、问题的分析三、建模的过程1.模型的假设2.模型的建立3.模型转换为MATLAB程序4.求解问题5.模型分析四、模型的评价与改进一、问题的提出：养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅。
参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁—29岁每月存入X1元，30岁—39岁每月存入X2元，40岁—49岁每月存入X3元，50岁—59岁每月存入X4元。
参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年。
求按不同的年龄段不同的投资额，在60岁（退休后）每月月初所取的养老金p是否一样，并计算P值。
二、问题的分析：由问题意可知，参加养老金计划的人在60岁前（为退休时）存入一定的金额，在退休后（60岁）开始，每月初领取退休金一直领取20年。
目的就是建立一种模型，解决计算不同年龄阶段参加者最终每月获取的退休金p值。
三、建模过程：1.模型假设首先，假设此问题的外部因素不会发生改变；其次，银行必须在投资者80岁时，把投资者所投金额以及所有的利息全部返还给投资者；再次，参加计划的投资者在一开始投资后，到59岁末都必须每月按时、按额投资该月的资金，中间无间断和拖欠。
2.模型建立由问题知，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，我们可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。
至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。
因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。
例：按一月份进行分析。
如果在20岁的第一月存入X元的投保资金，则在第二年的第一个月对应虚拟账户上的累计户额为上一年一月利息加上本金，以及本年一月所存入的养老金额X。
依次类推，在60岁的一月对应虚拟账户累计金额为40年来所有一月的本金和利息的总和。
但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，我们可以认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。
因此对于一月而言，从60岁开始领取P金额后，所剩的资金还会在次年有10%的利息，依次类推到第二十年时，一月的虚拟帐户将会为零，即虚拟账户中所有累计金额全部返回给投保人，此时可以得到一个一次方程，P 是未知量，所以方程的解就是P 的值。
用此方法可以计算出不同年龄阶段的投资者投资不同资金时，从60岁开始的后二十年内每月月初所领取的养老金P 。
因此针对上述问题可建立如下四个不同年龄阶段的数学模型，即（符号说明：20-80岁之前第n 岁，一月份办理业务之后账户所剩余额；X 1为20—29岁阶段每月存入的金额数量，X 2为30—39岁阶段每月存入的金额数量；X 3为40—49岁阶段每月存入的金额数量；X 4为50—59岁阶段每月存入的金额数量；p 为60岁开始每月领取的退休金）1．从20—29岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=+=+=+=-----.79,,60%110;59,,50%110;49,,40%110;39,,30%110;29,,%110141312111 n p S n x S n x S n x S m n x S S n n n n n n2. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=+=----.79,,60%110;59,,50%110;49,,40%110;39,,%1101413121 n pS n x S n x S m n x S S n n n n n3. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+=---.79,,60%110;59,,50%110;49,,%11014131 n pS n x S m n x S S n n n n 4. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎩⎨⎧=-=+=--.79,,60%110;59,,%110141 n pS m n x S S n n n3.模型转化的MATLAB 程序：程序分为pension 、pension_X 、REM 三个函数，其中pension 为求解时输入参数的函数，REM 为二分法求解线性方程的函数，REM 求解时调用了pension_X 函数，当p 值满足pension_X(p)=0是，p 为问题所求的解。
函数pension ：function [x,k,y]=pension(age,twenties,thirties,forties,fifties);% age为开始参加养老金计划的年龄；%twenties为20-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%thirties为30-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%forties为40-49岁阶段每月所需缴纳的养老金；%fifties为50-59岁阶段每月所需缴纳的养老金；%x为退休后每月所领取的退休金，即p值；%k为应用二分法求解p值时所迭代的次数；%y为退休金全部领取完后，账户所剩余额。
format long;global m x1 x2 x3 x4;m=age;x1=twenties;x2=thirties;x3=forties;x4=fifties; if (m>=20)&(m<=59)a=1000;b=50000;f=@pension_X;delta=0.0001;[x,k,y]=REM(f,a,b,delta);else'此程序不解决这个年龄的问题'end函数pension_X：function s=pension_X(p);%p为每月领取退休金的金额数量%s为每次办理业务后的账户余额global m x1 x2 x3 x4 s;if (m>=20)&(m<=29)s=x1;for k=m+1:1:29s=1.1*s+x1;endfor k=30:1:39s=1.1*s+x2;endfor k=40:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=30)&(m<=39)s=x2;for k=m+1:1:39s=1.1*s+x2;endfor k=40:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=40)&(m<=49)s=x3;for k=m+1:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=50)&(m<=59)s=x4;for k=m+1:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endend函数REM：function [x,k,y]=REM(f,a,b,delta);%f为引用了pension_x的函数%a、b为分布在解两侧的估计值%delta为迭代求解时的精度%x为方程的解，即所需要求的p值%k为迭代次数%y为已经领取结束时，所有账户所剩的总余额ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0disp('This equation has no solution');endfor k=1:1:100000c=(a+b)/2;yc=f(c);if yc==0a=c;ya=yc;b=c;yb=yc;elseif ya*yc<0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif ((b-a)<delta)&(feval(f,(a+b)/2)>0) break;endendx=(a+b)/2;y=12*feval(f,(a+b)/2);4.求解问题：①从20岁开始参加养老金计划，X1=X2=X3=X4=200元；将所给参数带入函数，即[x,k,y]=pension(20,200,200,200,200) 在命令窗口运行得到：x =1.039735106285662e+004k =29y =0.02793443250266可知此人退休后没人可领取养老金10397.35元②从35岁开始参加养老金计划，X2=200，X3=500，X4=1000元；[x,k,y]=pension(35,0,200,500,1000)在命令窗口运行得到：x =5.264613660983741e+003k =29y =0.01393053673746可知此人退休后没人可领取养老金5264.61元③从48岁开始参加养老金计划，X3=1000，X4=2000元；[x,k,y]=pension(48,0, 0,1000,2000)在命令窗口运行得到：x =4.383793860763035e+003k =38y =2.563500311225653e-005可知此人退休后没人可领取养老金4383.79元5.模型分析此模型的建立是依据利息按照年进行计算，每月的投资金到了次年的该月才会产生利息，且养老金又是按月来领取的，所以把每一个月单独地看成一个个体，用这个个体的情况来估计总体的趋势。