第4讲14表格单纯形法的计算步骤
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法表的解题步骤
单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。
这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。
将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。
选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。
修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。
修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
14单纯形法的计算步骤(精)
45 x2 3 3 45
24 x3 1 2 24
0 x4 1 0 0
0 x5 θ i 0 100/3 1 120/3 0
现用例1的标准型来说明上述计算步骤。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x 2 x 3 4x 2 xj 0 8 4x1 x4 16 x 5 12 j 1,2, ,5
i 1
θ列的数字是在确定换入变量后， 0 0 xi xl min a ij 0 按θ规则计算后填入， i a ij a lj 用以确定换出变量； 表1-2 称为初始单纯形表，每迭代一步构造一个新单纯形表。
例 ： 试列出下面线性规划问题的初始单纯型表
z c1 x 1 c m x m c m 1 x m 1 c n x n 0
线 性 规 划 的 方 程 组
为了便于迭代运算，将上述方程组写成增广矩阵形式
z
x1
x2
xm
x m 1
xn
b
0 1 0 0 a 1 ,m 1 0 1 0 a 2 ,m 1 0 0 0 0 1 a m ,m 1 cm 1 1 c1 c 2 c m -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ …
0
X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
θ 4 12
c j→
CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0
x5 0 1 0 0 θ
表 1-5
1/2 -3/2
-14
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法的表格解法
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0
B2 0 1 0
0 0 1
m
z0 cibi , j c j z j ;
a1 j
i1 m
z j ciaij c1a1 j c2a2 j L
i 1
cmamj
c1, c2 ,L
, cm
a2
j
M
amj
c1, c2 ,L , cm p j .
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
1. 最优性检验的依据——检验数σj 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
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-z
02 3 0 0 0 0
cj
230000
cB XB b
x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 6 2 0 1 0 0 -1/2
0 x4 2 1 0 0 1 0 -1/2
0 x5 16 4 0 0 0 1 0 3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4
-z
cj
23000 0
i
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
(4) 根据max(σj＞0)=σk，确定xk为换入变量，按θ 规则计算
minabiik aik0abllk
(5) 以alk为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋
转运算)，把xk所对应的列向量
a1k
0
a2k
0
Pk
a lk
变换
1
第
l行
a mk
0
将XB列中的xl换为xk，得到新的单纯形表。重复 (2)～(5)，直到终止。
x4 x5
12 8 16
4 x2
x6 12
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 i
0 x3 12 2 2 1 0 0 0 12/2
0 x4 8 1 2 0 1 0 0 8/2 0 x5 16 4 0 0 0 1 0 － 0 x6 12 0 4 0 0 0 1 12/4
计算步骤
对于目标函数求极大情形
(1) 按数学模型确定初始可行基和初始基可行解，建
立初始单纯形表。
m
(2) 计算各非基变量的检验数，j cj ciaij,
检查检验数，若所有检验数
i1
j 0, j1,2,n
则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
(3) 在σj＞0,j=m+1,…,n中，若有某个σk对应xk的 系数列向量Pk≤0，则此问题是无界，停止计算。 否则，转入下一步。
xm1
0
a1,m1
0
a2,m1
1
am,m1
m
0 cm1－ ciai,m1 i＝1
xn
b
a1n a2n
b1 b2
amn
bm
m
m
cn－ ciai,n － cibi
i＝1
i＝1
根据增广矩阵设计计算表
cj
C B XB
c1 x1
b c x 1 1 c x m m c x m m 1 1 c x n n i
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
cj
2 3 00 0 0
i
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x6 4 0 0 2 -4 0 1 2 x1 4 1 0 1 -1 0 0 0 x5 0 0 0 -4 4 1 0 3 x2 2 0 1 -1/2 1 0 0
2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4
2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
-z -14 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4 2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
练习
MaxZ 2x1 x2
3x1 5x2 15 6x1 2x2 24 x1 , x2 0
MaxZ 2 x1 x2
3 x1 5 x2 x3 15
6 x1 2 x2 x4 24
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
cj
21 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4
i
1 x2 3/4 0 1 1/4 -1/8 2 x1 15/4 1 0 -1/12 5/24
-z -33/4 0 0 -1/12 -7/24
0 x3 6 2 0 1 0 0 -1/2 6/2
0 x4 2 1 0 0 1 0 -1/2 2
0 x5 16 4 0 0 0 1 0 3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4
16/4 －
-z
-9 2 0 0 0 0 -3/4
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4
§1.4（表格）单纯形法的计算步骤
为了便于理解计算关系，现设计一种计算表， 称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似，下面 来建立这种计算表。
线性规划的方程组
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm amm1xm1 amnxn bm
z c1x1 cmxm cm1xm1 cnxn 0
b 1 1 0 a1,m1 a1n 1
c m x m b m 0 1 am,m1 amn m
z cibi 00 j cj ciaij
minb(i akj
akj
0)
例 题：
maxZ 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 0x6
2x1 2x2 x3
4xx11 2x2
cj
2 3 00 0 0
i
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 0 0 0 1 -1 -1/4 0 2 x1 4 1 0 0 0 1/4 0 0 x6 4 0 0 0 -2 1/2 1 3 x2 2 0 1 0 1/2 -1/8 0
-z -14 0 0 0 -3/2 -1/8 0
为了便于迭代运算，可将上述方程组写成
增广矩阵形式
z x1 x2
xm xm1
xn b
0 1 0
0
0
1
0 0 0
1 c1 c2
0 a1,m1 0 a2,m1
1 am,m1 cm cm1
a1n a2n
b1 b2
amn bm
cn 0
z x1 x2
0 1 0
0
0
1
0 0 0
1 0 0
xm