高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2i i i j i j ± 第一章1、简述量子力学基本原理。

答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。

QM 原理二1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符( Aˆ )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ˆ 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 Aˆ 的本征态 a i 展开如下： = ∑Ci aiiC i = a i ；而物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。

原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符 x ˆ 和相应的正则动量算符 p ˆ 有如下对易关系： [x ˆ , x ˆ ]= 0 ， [p ˆ , p ˆ ]= 0 ， [xˆi, p ˆ j]= i ij原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量(t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给i ∂ ∂t(t ) = Hˆ (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 Aˆ(H )(t ) 的运动规律由海森堡方程给出： d A ˆ(H ) (t ) = 1 [A ˆ(H ), H ˆ ]原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt iHillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。

2、薛定谔图景的概念？ 答：(x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t来自 ψ(t ) 而 x 来自 x，这叫做薛定谔图景.⎛1 ⎫ ⎛ 0⎫ 3、 已知= ⎪,= ⎪. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛1 ⎫ 1 | S x ± >=⎪ = ⎝ 1⎭ (± ).4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求 证：2 21 12 2 x y z 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 21 12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2)P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 2+y 2-x 2-y 2P 2=P 2+P 2+P 2=4(x x +y y )2+4(x y -x y )2+(x 2+y 2-x 2-y 2)2=4(x 2x 2+y 2y 2+x 2y 2+x 2y 2)+(x 4-2x 2x 2-2x 2y 2-2x 2y 2-2y 2y 2-2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 4+2x 2x 2+2x 2y 2+2x 2y 2+2y 2y 2+2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 2+y 2+x 2+y 2)2=(|C 1|2+|C 2|2)2 5、∧∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量 A 和 B 成立不等式：（1）先证明一个引理 --- schwarz 不等式：对于两个态矢|〉 和| 〉 ，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量 a,b ，必有：对任意复常数，我们有：（3）（4）〈|〉 取= - 〈| 〉，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|〉 来强调对任何 ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6） 因：⎡ ∧ ∧ ⎤ ⎡ ∧ ∧ ⎤ （7） 其中对易子⎢∆ A , ∆ B ⎥ = ⎢ A , ∆ B ⎥ 是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反⎢⎣ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎧ ∧ ∧}对易子⎨∆ A , ∆ B ⎩是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。

7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解: 设 |n ⟩ 是幺正算符 S 的一个本征态, 本征值为 n, 则 ⟨n|S |n ⟩ = n => ⟨n|S = ⟨n|n => S +|n ⟩ = n +|n ⟩即|n ⟩ 也是 S +的本征态，而 H = S + S + 是厄米算符， H |n ⟩ = (n + n +)|n ⟩故|n ⟩ 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。

这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q-1。

9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案: 态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。

海森堡图景,态矢|（t（〉S依赖时间t 而基矢|x〉不含t,而对于海森堡图景而言，|〉H不含t，于是时间依赖性完全转移到|x,t〉H中去了。

10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量2m ⎛ ⎝ 答：一维谐振子的经典哈密顿量： H =1 (P 2+ m 2w 2q 2 ) 2m12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?答案: 产生,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：∧ †由此可知 a ∧ | n 〉 和 a ∧| n 〉 分别是 N 的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。

故称其为产生湮灭算符。

13、证明谐振子在激发态中2 2⎛ 1 ⎫2∧∧∧ +⎫ ∧m ⎛ ∧ + ∧ ⎫ (∆x ) (∆p )= n + ⎪ 2证明： x = a + a ⎪ , p = i a - a ⎪ ⎝∧∧⎛ 2 ⎭∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2⎭∧ 2 ⎛ ∧ ⎫2 2 ⎝ ⎭ x = 0, p = 0x ⎪ = x ⎪ - x = x ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2∧ 2 ⎛ ∧ ⎫2同理： p ⎪ = p ⎪ - p = p ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ∧ ∧ + ⎫ ⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ⎫ x ⎪ = 2m a + a + a a + a a ⎪ = 2m a + a +1+ 2 a a ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2m ⎛ ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ⎫p ⎪ = 2 - a - a +1+ 2 a a ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭对于激发态 n ⎛ ∧ ⎫2x ⎪ =(1+ 2n )⎛ ∧ ⎫2p ⎪= m (1+ 2n )⎝ ⎭⎛ ∧ ⎫2⎛ ∧ ⎫2⎛ 12m⎫2 ⎝ ⎭2 x ⎪ p ⎪ = + n ⎪ 2⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭14、请构造相干态.解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为L x y z在 N 表象中解此方程，展开：由 得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。

（1） 海森波的矩阵力学，它重视可观察量。

把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。

（2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。

16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。

第二章17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能V (r 1r 2 ) 表达的引力或斥力，这时的散射称为势散射. 18、证明 S 算符是么正的证明：因为 s + s = Ω(+)+Ω(-)Ω(-)+Ω(+)且所以所以算符 S 是么正的第三章19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

轨道角动量ˆ = r ⨯ p ；[L , L ] = iLxyxyˆ自旋角动量S ；[S x , S y ] = i S z[L , S ] = 0 → J = L + S 仍为角动量[J x , J y ] = [L x + S x , L y + S y ]证： = [L , L ] +[S , S ]= i L z + i S z = i J z一般地若两角动量满足[J 1, J 2 ] = 0 则 J = J 1 + J 2 也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 J n ⨯ J m = i J n nm即[J nx , J my ] = i J nz nm则对于 J = J n n =1⇒ J =∑n =1 J ˆn ; = x , y , z[J x , J y ] = [∑ J nx , ∑ J my ] = ∑∑[J nx , J my ]n =1m =1 n =1 m =1= ∑∑i J n nm = ∑i J nz =i J zn =1 m =1n =1k kk k k kk k k∑。