二元二次多项式的因式分解
举一反三系列01——二元二次多项式的因式分解
举一反三系列01——二元二次多项式的因式分解二元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a，b，c不全为零)如何因式分解呢？这里以x^2+4xy-12y^2-x+26y-12为例介绍一种方法——仨十字相乘法，即连续三次运用十字相乘法进行分解。
这种方法的步骤是：第一步，用十字相乘法把二次项x^2+4xy-12y^2分解为(x-2y)(x+6y)；第二步，用十字相乘法把只含x及常数项的二次项式x^2-x-12分解为(x+3)(x-4)。
注意这里对x^2的分解要保持与第一步的分解相同；第三步，用十字相乘法把只含y及常数项的二次项式-12^2+26y-12分解为(-2y+3)(6y-4)。
这里要注意两点：（1）对y^2的分解要保持与第一步的分解相同；（2）对常数项-12的分解要保持与第二步的分解相同；第四，把第二步和第三步常数项相同的因式分别并为一个因式，同时相同的常数项只写一个，即把(x+3)与(-2y+3)并为一个因式，得(x-2y+3)；把(x-4)与(6y-4)并为一个因式，得(x+6y-4).则x^2+4xy-12y^2-x+26y-12=(x-2y+3)(x+6y-4)。
说明：上述第一步、第二步和第三步中，如果某一步不能分解或不能满足条件，则说明该多项式是不能分解的。
上述分解用十字相乘法可表示为如图1：如果把常数项的分解多写一遍，则可以显得更加直观明了(如图2所示)。
例如，分解因式：x^2-3xy+2y^2+11x-17y+30。
解：如图3所示，则原式=(x-2y+5)(x-y+6)。
练习：分解因式：（1）x^2+4xy+3y^2+x+5y-2；（2）2x^2+3xy+y^2-26x-21y+80；（3）x^2-y^2+6x+18y-72.。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法
二元二次方程组是由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组。
二元二次方程组的解法有代入法，因式分解法，配方法，韦达定理法，消除常数等方法。
1
在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
2
1.代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
2.因式分解法
在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。
3.配方法
将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
4.韦达定理法
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
5.消常数项法
当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元（即整体法）
因式分解时可以用一个字母代替一个整式，也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替，（一般都是既约多项式），分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候，可以按照一个主要字母（任选）的降幂整理后，
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式：6x2-7x+2
解：采用类似的办法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成(-1)×(-2)，写在第二
列；然后交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面。如下：
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数，于是有：
上面的算式称之为长十字相乘，式子中的三个十字，就是上面所说的三个十字相乘，我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式：x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解：由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想，在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解，是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂，
二元二次非齐次多项式因式分解的条件分析
维普资讯
罗安文 ：二元二欠非齐次多项式因式分解的条件分析
＝ ＋ ）２＋，／ｄ－（ｍ＋凡 ＋２ ４，４（ｍ＋凡 ＋胁
２√Ａ
ｆ，ｌｄ－（ｍ＋凡）＝Ｄ （２）
（Ｈ ＝Ａｈ ＋Ｂｋｈ＋Ｃ ＋Ｄ＾＋Ｅ ＋Ｆ）
企．Ｊ．２Ａｈ＋Ｂｋ＋Ｄ ＝０
罗安 文
（湖北职业技术学院 财经系 ，湖北 孝感 ４３２０００）
［摘 要］文章对二元二次非齐次多项式能因式分解的充要条件进行 了论证分析。
［关 键 词 ］ 二元 二 次非 齐 次 多项 式 ；因式分 解 ；条件 分析
［中图 分类 号 ］ Ｑ１７４．１４
［文 献标识 码 ］ Ａ
形如 “Ａ ＋Ｂｘｙ＋ ＋ ＋ ＋Ｆ”的多项式 二元二次非齐多项式Ｆ（ ，Ｙ）＝Ａｘ ＋Ｂｘｙ＋ ＋
Ｂ２ ２
＋
＋
２Ｄ
‘
Ｂ
２Ｄ
＋
‘
Ｄ Ｅ ２Ｆ
故 ：△ ＞０时 ，ｒ（ｘ，Ｙ）在实数பைடு நூலகம்上能分解因式
＋
４Ａ
的充要条件是 △ ＝０． 例 ２：试讨论下列多项式的因式分解
把 Ｂ ＝４ＡＣ，ＢＤ ＝２ＡＥ代人得 ：
（１）Ｖ（ｘ，Ｙ） ＝２ｘ ＋３ｘｙ＋５ｙ２＋２ 一３），一５
（ ＋ ＋ｍ）（ ＋
Ｄ ＋ √Ｄ 一４ＡＦ Ｄ 一 、
ｍ
———— ——＿＝＝■— 一
２ ０
，１７，
２，ｉＸ ’
而 日
·
＋
或 （ｎ ：— Ｄ—＋—￣—／Ｄ２ － ４ＡＦ
—
—
一
＝＝＝
２ ０Ａ
，，，ｌ ：
２
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组在数学学科中，因式分解法是一种常见的解决二元二次不等式组的方法。
通过将不等式组中的二次项进行因式分解，可以得到更简洁的表达形式，进而分析不等式的解集。
本文将详细介绍如何利用因式分解法来解决二元二次不等式组的问题。
一、因式分解法简介因式分解法是一种将多项式分解成两个或多个较简单的因子乘积的方法。
在解决二元二次不等式组时，我们需要将其中的二次项分解为两个一次项的乘积，并通过比较各项系数来确定不等式的解集。
二、解决二元二次不等式组的具体步骤以下是解决二元二次不等式组的具体步骤：步骤一：观察等号右边的不等式组是否可以因式分解。
只有在能够因式分解的情况下，我们才能使用因式分解法解决不等式组。
步骤二：对二次项进行因式分解。
将二次项分解为两个一次项的乘积，并且注意保持不等号的方向不变。
例如，对于不等式组x^2 + y^2 < 9和xy < 0，我们可以将第一个不等式进行因式分解得到(x+3)(x-3)+y^2 < 0，而第二个不等式无法进行因式分解。
步骤三：比较各项系数。
根据因式分解后得到的形式，比较各项系数并进行分类讨论。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以依次比较x^2，x，y^2的系数，并进行分类讨论。
步骤四：确定不等式的解集。
根据比较各项系数的结果，确定不等式的解集。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以通过研究x^2的系数得知x的取值范围，通过研究y^2的系数得知y的取值范围，进而确定不等式组的解集。
三、实例分析为了更好地理解因式分解法解决二元二次不等式组的过程，我们来看一个具体的实例。
例题：解决不等式组x^2 + y^2 - 4xy < 0和x - y < 0。
解法：首先，我们对第一个不等式进行因式分解，得到(x-y)^2 +2xy - 4xy < 0。
因式分解技巧 二元二次式的分解
6 二元二次式的分解形如ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f 的x 、y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6．1 欲擒故纵【例1】分解因式：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2． 【解】 如果只有二次项x 2＋2xy －3y 2，那么就由算式11132-得 x 2＋2xy －3y 2＝(x －y )(x ＋3y )． 如果没有含y 的项，那么对于多项式x 2＋3x ＋2，由算式 11123得 x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)． 如果没有含x 的项，那么对于多项式－3y 2＋y ＋2，由算式 13-121得 －3y 2＋y ＋2＝(－y ＋1)(3y ＋2)． 把以上三个算式“拼”在一起，写成 1113-12便得到所需要的分解：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2 ＝(x －y ＋1)(x ＋3y ＋2)．上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．长十字中的第一行1－1＋1表示因式x －y ＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x ＋3y ＋2．为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．【例2】分解因式：6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20． 【解】 先进行两次十字相乘，由算式()()23x y 325--()(1)23x 452- 得 6x 2－5xy －6y 2＝(2x －3y )(3x ＋2y )，6x 2＋2x －20＝(2x ＋4)(3x －5)．为避免混淆，我们在算式中写上（x ）、（y ）、（1），表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成()()(1)23x y 32-45- 检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23， 于是 6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20＝(2x －3y ＋4)(3x ＋2y －5)．6．2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式ax 2＋bxy ＋cy 2＋dxz ＋3yz ＋fz 2也同样适合．【例3】分解因式：x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2． 【解】 由算式()()()11x y z 33--23-- 得 x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2＝(x －3y －2x )(x －3y －3z )．【例4】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0．求证：2b ＝a ＋c ．【证明】由算式()()()11a b c 12--31得 a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )．于是，由已知条件，得(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )＝0．因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以a－b＋3c≠0，从而a－2b＋c＝0，即2b＝a＋c．6．3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．【解】由算式1 111-14得x2－y2＋5x＋3y＋4＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式1 111-41在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．【解】由算式1 1212得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y＋2)．6．4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．【例7】m为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式1 19 27-对于多项式x2－5x－24，由算式1 18 35--这两个算式可以拼成长十字相乘1 192-83-或1 192-38-对第一个长十字相乘，有9×3＋(－2)×(－8)＝43，而对第二个长十字相乘，有9×(－8)＋(－2)×3＝－78，所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，由第二个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．小结x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式分解．习题6将以下各式分解因式：1．x2＋2xy＋y2＋3x＋3y＋2．2．4x2－14xy＋6y2－7x＋y－2．3．x2－y2－3z2－2xz＋4yz．4．2y2－5xy＋2x2－ay－ax－a2．5．a2－3b2－3c2＋10bc－2ca－2ab．6．2a2－7ab－22b2－5a＋35b－3．7．x2－2y2－3z2＋xy＋7yz＋2xz．8．2x2－6y2＋3z2－xy＋7xz＋7yz．9．4x2－9y2＋2z2＋6xz－3yz．10．4x2＋2z2＋xy＋9xz＋2yz．习题6 1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)3．(x＋y－3z)(x－y＋z)4．(x－2y－a)(2x－y＋a)5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)10．(x＋2z)(4x＋y＋z)。
试论二元二次非齐多项式因式分解的条件——兼与李朝胜同志商榷
,
这 个 条件是充 分 条 件
+
事 实
(见 本
二
上
,
这个 条件 作为 必 要 条件不 是 最 优 的
*
因为 还有 比 它 更 简 明 更 适用 的 必 要条件 比 如 多项 式
x “
文定 理 )
而作 为充 分 条件 则是 错误 的
2劣
g
十
5夕
“
+
x 2
+
6夕 +
2
o
八 “
} }
2 2
2
2
2
` 0 6
十
F 的 多 项式
,
叫做 二 元 二 次 非 齐 次 多 项 式
,
。
如
) f
果 它 能分 解 因 式 的 话 的 形式
“
一 定是 分 解成 两 个 一 次 因 式 的 积
“
即a (
x
+
。
如
+
`
)
(dx 十
勺
+
在 什 么 条件下 才 能分解 成这 种形 式 呢 ? 这 里 有如 下 定 理
:
定理
多项 式 月 x
c
d )x
+
( bf+
c e
),
+
c
步
必
比 较 上 面 恒 等 式 两 边 的 对 应 项 系数有
、
!
l l
尹 口 \
a
d
二
A bd c
:
……①
二
/,
、 厂 ; !
l时
bf
+
二元二次多项式的“十字相乘”法
x (
+
1)
,
x
的系 数 为
扩 +
(一 4) y
Zx y
的 系 数为 1 4
一 4x
一 3
完 全 符合 原 题
一 5 一 (x +
则 例 解
a
,
一 8少 一 b 4
14y
一 5 ) (
2
将
矿 一 夕 十 a 2
分 解 因式
+
1 ) (a 一 b 一 3 )
一
Zy
+
) l
按前 面 所述 步 骤 分 解 如 下
, 一 b 十 Za 一 4 b 一 3 ~
(a +
,
b
或 一 (a +
,
b 一 3) (a
。
一 b +
l )
取 一
a
3 一
Z
l
,
x
(一 3 ) 这 一组时
a
的 系 数为
+
b
(一 2 )
与题不 合 故 舍 去 取
或 一 (a +
一 3 一 3 又 〔 一 l ) 一 b 十 3)
再验 证
一 b +
Za 一 4 b 一 3 一 ( a
a
22
-
+ 试y +
9 g
, 2
.
g
2
,
) ( c z x
己
35
,
+ 姚y +
g
:
)
,
其中
当然
,
c
,
c
:
=
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形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式的因式分解
分解形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。
当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
现举例说明：
方法一、求根法
利用求根法因式分解，形如F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22的二元二次多项式可看成关于x （或y ）的一元二次多项式。
用求根公式求出两根21,x x ，则原式＝()()21x x x x A --。
在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于x 的方程的判别式是y 的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。
例1、a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成x 的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出x 的两个值21,x x ，则原式＝6()()21x x x x --，这里只须研究a 何值时，21,x x 是y 的一次式即可。
解：设62622-+--ay y xy x ＝0，把此式看成关于x 的一元二次方程，则该方程的判别式：()14424496224222+-=-+--=∆ay y ay y y ，
要使方程的解为y 的一次式，∆必须为完全平方式，那么判别式的判别式1∆必须是零。
1∆ ＝()()0492414424424222
=-=⨯⨯-a a ，∴7±=a （1）、当7=a 时，由0672622=-+--y y xy x 解得12
1,13221+-=-=y x y x 则原式＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211326y x y x ＝()()22323++--y x y x （2）、当7-=a 时，由0672622=----y y xy x 解得12
1,13221--=+=y x y x 则原式＝()()22323++--y x y x
练习： 把822615822++-+-y x y xy x 分解因式 答案：原式＝()()4523----y x y x 方法二：待定系数法
用待定系数法因式分解的一般步骤：
1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。
要尽量减少待定系数的个数，以利求解。
2、利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。
3、解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。
如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。
例2、k 为何值时，多项式253222--++y y kxy x 可分解为两个一次因式的积。
分析：先设可分解成两个一次式，原式中的k 是xy 的项未知系数。
为使待定系数尽量少，可先考虑()()1322532+-=--y y y y ，所以可设：原式＝()().132++-+y bx y ax ，也可以先考虑()()122222-+=-x x x ，所以可设：原式＝()()122-+++ny x my x ，这里只解前者。
解：设253222--++y y kxy x ＝()()132++-+y bx y ax
∵()()132++-+y bx y ax ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx
∴253222--++y y kxy x ＝()()2523322---++++y x b a y xy b a abx
由两边对应项系数相等得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=0232b a k a b ab ，解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===712k b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-=712k b a
∴当7=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++-+y x y x ；
当7-=k 时，原式可分解为253222--++y y kxy x ＝()()1322++--+-y x y x
练习：a 为何值时，62622-+--ay y xy x 能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
答案：解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=723a n m ∴原式可分解为62622-+--ay y xy x ＝()()22323++--y x y x
说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。
方法三、双十字相乘法
双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0c f ==时，F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()22Ax Bxy Cy ax by dx ey ++=++
例3、把6753222+---+y x y xy x 分解因式。
解：可先用十字相乘法，把2232y xy x -+分解，
y x y x -3 ，然后再用十字相乘法 323---+y x y
x ，于是原式＝()()323---+y x y x 。
练习：分解因式6586222+++--y x y xy x 答案：原式＝()()32232+-++y x y x 方法四、双零分解法
理论依据：若F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22可分解为()()f ey dx c by ax ++++，则当0=y 时有()()f dx c ax F Dx Ax F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222；当0=x 时有()()f ey c by F Ey Cy F Ey Dx Cy Bxy Ax ++=++=+++++222。
因此在分解上述二元二 次多项式时，可令0=y 得关于x 的二次三项式F Dx Ax ++2分解为()()f dx c ax ++；再令0=x 得关于y 的二次三项式F Ey Cy ++2并分解为()()f ey c by ++；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。
这时有F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22＝()()f ey dx c by ax ++++。
例4、分解因式226135772x xy y x y +++++
解：令0=y 有226135772x xy y x y +++++＝()()26722132x x x x ++=++；
令0=x 有226135772x xy y x y +++++＝()()2572152y y y y ++=++
所以有226135772x xy y x y +++++＝()()21352x y x y ++++
练习： 分解因式2262113x xy y x y +-++- 答案：原式 ()()2331x y x y =-++- 方法五：分析二次项、常数项法
若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
例5、若多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，则另一个因式为＿＿。
解：由于多项式31428222-++-+y x y xy x 有一个因式32+-y x ，且原式二次项中含有2x 和28y -，所以另一个因式中必有一次项y x 4+；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。
综上所述：原多项式的另一个因式为14-+y x
练习：多项式35725222+-++-y x y xy x 有一个因式12+-y x ，求它的另一个因式 答案：35725222+-++-y x y xy x ＝()()3212+-+-y x y x。