概率的一般加法公式
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
高中数学3-2-2概率的一般加法公式(选学)课件新人教B版必修
1.抛掷一枚质地均匀的骰子， 向上的一面出现 1 点、 2 点、 1 3 点、4 点、5 点、6 点的概率都是 ，记事件 A 为“出 6 现奇数”，事件 B 为“向上的点数不超过 3”，求 P(A∪B)．
解 基本事件空间为 Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝ {1,2,3}，A∩B＝{1,3}，
容易看出， A∪B 中基本事件的个数等于 A 中基本事件的个 数加上 B 中基本事件的个数减去 A∩B 中基本事件的个数．
A∪B中包含的基本事件数 所以 P(A∪B)＝ Ω的基本事件总数
= A中基本事件的个数+B中基本事件的个数-A B中基本事件的个数 的基本事件总数
＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 即 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 这就是概率的一般加 法公式．
解 (1)事件 A∩B＝{击中的环数大于 3 且小于 7}．
(2)事件 A∩B＝{出现 3 点}；事件 A∩C＝∅； 事件 B∩C＝∅. 小结 (1)根据定义判断事件的交．
(2)当 A∩C＝∅时，A、C 为互斥事件．
跟踪训练 1 从 15 件产品(其中有 2 件次品)中任取 2 件产 品，记 A 为“至少有 1 件正品”，B 为“至少有 1 件次 品”，则 A∩B＝______________________________.
[问题情境]
在概率的加法公式中， 如果 A， B 不是互斥事
件，那么公式是否成立呢？如果不成立，如何求 P(A∪B)?
探究点一 导引
事件 A 与 B 的交(或积)
掷红、蓝两颗骰子．事件 A＝{红骰子点数大于 3}，
事件 B＝{蓝骰子的点数大于 3}． 求事件 A∪B＝{至少有 一颗骰子点数大于 3}发生的概率． 问题 1 事件 A 与 B 是不是互斥事件？为什么？
概率的加法公式与事件的独立性
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一 个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”， C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是 正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”， 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”，则A，B，C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上，概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中 每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问： P(A|B)=P(A)成立吗？
当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式：
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球， 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称 事件A与B相互独立（简称独立）。
概率加法原理
概率加法原理
概率加法原理是概率论中的一个基本概念，用于计算多个事件的联合概率。
它的核心思想是，对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率等于它们的概率之和。
假设有两个事件A和B，它们互斥，即A事件和B事件不能同时发生。
那么它们的联合概率就是指A事件或者B事件发生的概率。
根据概率加法原理，可以得到如下公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B)
其中，P(A∪B)表示事件A或者事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
概率加法原理还可以进一步推广到多个事件的情况。
对于互斥的事件A₁、A₂、...、Aₙ，它们的联合概率可以表示为它们的概率之和：
P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ)
需要注意的是，概率加法原理只适用于互斥事件，即事件之间的排斥性质决定了它们的联合概率。
如果事件之间存在重叠或相互关联，就不能直接使用概率加法原理计算联合概率，而需要借助其他概率论的方法。
概率统计公式大全
概率统计公式大全概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。
在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。
1.概率公式：(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2.条件概率公式：(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。
(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。
3.期望公式：(1) 离散型随机变量的期望：E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。
4.方差公式：(1) 离散型随机变量的方差：Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的方差：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。
概率的加法公式
在上面的例题中，若令 在上面的例题中，若令A=“小明考试及 小明考试及 小明考试不及格” 格”,则A=“小明考试不及格” 则 小明考试不及格 如果求小明考试不及格的概率， 如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. － － 即小明考试不及格的概率是0.07. 即小明考试不及格的概率是
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； ：（ ）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； ）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立 ）不是互斥事件， 事件； 事件； 所以对立事件一定是互斥事件， 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立 分以上， 解： 分别记小明的成绩在 分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件 ， 分为事件B， 分 分 分为事件 C，D，E，这四个事件是彼此互斥的 ， ， ，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式， 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 绩在 分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. ∪ 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) ∪ ∪ ∪ = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
解：（1）“取出红球或黑球”的概率为 ：（ ） 取出红球或黑球”
3 P(A∪B)=P(A)+P(B)= ； ∪ 4
（2）“取出红或黑或白球”的概率为 ） 取出红或黑或白球”
11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 。 ∪ ∪ 12
的对立事件为D， 又（2）A∪B∪C的对立事件为 ， ） ∪ ∪ 的对立事件为
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
第四讲 古典概型
第四讲古典概型概率的一般加法公式[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.注意事项：基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．求解古典概型的概率“四步”法2．概率的一般加法公式(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(2)概率的一般加法公式：设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( )A.12B.1536C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.典型例题[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15 .[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. [活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －by ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎨⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎨⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D. 2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是5 12 .4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为3 16 .5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310. [层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C. 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选 C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：5 66．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 107．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为5 9 .答案：5 98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3 10 .(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8 15 .。
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个产品中有93个产品长度合格 例6. 100个产品中有 个产品长度合格， 个产品中有 个产品长度合格， 90个产品重量合格，其中长度、重量都合 个产品重量合格， 个产品重量合格 其中长度、 格的有85个 现从中任取一产品， 格的有 个。现从中任取一产品，记 A=“产品长度合格”，B=“产品重量合 产品长度合格” 产品长度合格 产品重量合 求产品的长度、 格”，求产品的长度、重量至少有一个合 格的概率。 格的概率。
中基本事件的总数
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). ∪ －
一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 例2. 一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为 甲熔断的概率为 ， 0.74，两根同时熔断的概率为 ，两根同时熔断的概率为0.63，问至 ， 少有一根熔断的概率是多少？ 少有一根熔断的概率是多少？ 甲熔丝熔断” 解：设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔 甲熔丝熔断 乙熔丝熔 乙两个熔丝至少一根熔断” 断”，则“甲、乙两个熔丝至少一根熔断” 为事件A∪ 为事件 ∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － =0.85+0.74－0.63 － =0.96.
的整数中任取一个数， 例3. 从1~100的整数中任取一个数，试求 的整数中任取一个数 取到的数能被5或 整除的概率 整除的概率。 取到的数能被 或9整除的概率。 取到的整数能被5整除 解：设A={取到的整数能被 整除 ，B={取 取到的整数能被 整除}， 取 到的整数能被9整除 整除}。 到的整数能被 整除 。 A中含有 个基本事件；B中含有 个基 中含有20个基本事件 中含有11个基 中含有 个基本事件； 中含有 本事件； 含有2个基本事件 本事件； A∩B含有 个基本事件。 含有 个基本事件。 P(取到的整数能被 或9整除 取到的整数能被5或 整除 整除) 取到的整数能被 =P(A)+P(B)－P(A∩B) －
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ －
练习题：（古典概型） 练习题：（古典概型） ：（古典概型 1.一枚硬币连掷 次，只有一次出现正面 一枚硬币连掷3次 一枚硬币连掷 的概率是（ 的概率是（ A ）
3 A. 8 1 C. 3
2 B. 3 1 D. 4
2.从分别写有 、B、C、D、E的5张卡片 从分别写有A、 、 、 、 的 张卡片 从分别写有 中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是 任取 张 张卡片上的字母恰好是 按字母顺序相邻的概率为( B ) 按字母顺序相邻的概率为
A A∩B B
在本例中， 在本例中，A∩B为{(4，4)，(4，5)，(4， 为 ， ， ， ， ， 6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4), ， ， ， ， ， ， ， ， (6，5)，(6，6)}. ， ， ， 解：作点集 ={(x， ={(x，y)| x∈N, ∈ y∈N, 1≤x≤6, ∈ 1≤y≤6}.
D. 1
5.从全体 位正整数中任取一数，则此数 从全体3位正整数中任取一数 从全体 位正整数中任取一数， 为底的对数也是正整数的概率为( 以2为底的对数也是正整数的概率为 B ) 为底的对数也是正整数的概率为
1 A. 225 1 C. 450 1 B. 300
D.以上全不对 以上全不对
6.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使 在 瓶墨水中， 瓶已经变质不能使 瓶墨水中 瓶墨水中任意选出1瓶 用，从这20瓶墨水中任意选出 瓶，取出 从这 瓶墨水中任意选出
5 1）2个数字都是奇数的概率为 个数字都是奇数的概率为______； （1）2个数字都是奇数的概率为______； 18 4 个数字之和为偶数的概率为_____. （2）2个数字之和为偶数的概率为 ） 个数字之和为偶数的概率为 9
9.连续掷 枚硬币，观察落地后这 枚硬币 连续掷3枚硬币 观察落地后这3枚硬币 连续掷 枚硬币， 出现正面还是反面. 出现正面还是反面 （1）写出这个试验的基本事件空间； ）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； ）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含 ） 恰有两枚正面向上” 哪几个基本事件? 哪几个基本事件 解：（1）这个试验的基本事件空间 ：（ ） ={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)， 正正正 ， 正正反 ， 正反正 ， (正,反,反)，(反,正,正)，(反,正,反)，(反,反, 正反反 ， 反正正 ， 反正反 ， 反反 正)，(反,反,反)}； ， 反反反 ；
4
4
计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙 ， 为甲跑的棒数， 计算 为甲跑的棒数 为乙 跑的棒数，记为(x， ， 跑的棒数，记为 ，y)， 则共有可能结果12种 则共有可能结果 种：(1, 2)，(1, 3)，(1, ， ， 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 2)， ， ， ， ， ， ， (3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)， ， ， ， ，
1 的墨水是变质墨水的概率为_________. 的墨水是变质墨水的概率为 4
7.从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放 从 ， ， ， ， 五个数字中 五个数字中， 回地连续抽取三个数字， 回地连续抽取三个数字，则三个数字完全
12 不同的概率是_________. 不同的概率是 25
8.从1，2，3，…，9 这9个数字中任取 个 从 ， ， ， 个数字中任取2个 个数字中任取 数字， 数字，
（2）基本事件的总数是 ）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下 个 ） 恰有两枚正面向上”包含以下3个 基本事件： 正 基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)， ，正 ， (反，正，正). 反
10.甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个 甲 乙两个均匀的正方体玩具， 面上分别刻有1， ， ， ， ， 六个数 面上分别刻有 ，2，3，4，5，6六个数 将这两个玩具同时掷一次. 字，将这两个玩具同时掷一次 （1）若甲上的数字为十位数，乙上的数 ）若甲上的数字为十位数， 字为个位数， 字为个位数，问可以组成多少个不同的 数，其中个位数字与十位数字均相同的 数字的概率是多少? 数字的概率是多少 （2）两个玩具的数字之和共有多少种不 ） 同结果?其中数字之和为 其中数字之和为12的有多少种情 同结果 其中数字之和为 的有多少种情 数字之和为6的共有多少种情况 况?数字之和为 的共有多少种情况 分别 数字之和为 的共有多少种情况?分别 计算这两种情况的概率. 计算这两种情况的概率
20 + 11 2 29 = = 100 100
乙等四人参加4× 米接力赛 米接力赛， 例4. 甲、乙等四人参加 ×100米接力赛， 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率。 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率。 设事件A为 甲跑第一棒” 事件B 解：设事件 为“甲跑第一棒”，事件 乙跑第四棒” 为“乙跑第四棒”， 1 1 则P(A)= ，P(B)= 。
在概率的加法公式中，如果 ， 不是 在概率的加法公式中，如果A，B不是 互斥事件，那么公式是否成立？ 互斥事件，那么公式是否成立？ 来看下面的例子： 来看下面的例子： 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 例1. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 的点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大 的点数大于 ，事件 蓝骰子的点数大 于3}，求事件 ∪B={至少有一颗骰子的 ，求事件A∪ 至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率 发生的概率。 点数大于 发生的概率。
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6
第一次抛掷后向上的点数
中的元素总个数=6× 中的元素总个数 ×6=36； ； A中的元素个数 中的元素个数=18； 中的元素个数 ； B中的元素个数 中的元素个数=18； 中的元素个数 ； A∪B中元素个数 ∪ 中元素个数 中元素个数=27； ； 27 3 所以P(A∪B)= —— = —— 所以 ∪ 36 4 在本例中，因为A∩B≠○， 在本例中，因为 ○ 所以P(A∪B) ≠P(A)+P(B). ∪ 所以
显然， 与 不是互斥事件 不是互斥事件， 显然，A与B不是互斥事件，我们把事 和事件B同时发生所构成的事件 件A和事件 同时发生所构成的事件 ， 和事件 同时发生所构成的事件D， 称为事件A与事件 与事件B的 或 ， 称为事件 与事件 的交(或积)，记作 D=A∩B(或D=AB) 或 事件A∩B是由事件 和B所共同含有的 是由事件A和 所共同含有的 事件 是由事件 基本事件组成的集合。 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B. 就是表示
1 A. 5 3 C. 10 2 B. 5 7 D. 10
3.在第 、3、4、5、8路公共汽车都要停靠 在第1、 、 、 、 路公共汽车都要停靠 在第 的一个站（ 的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽 车），有一位乘客等候第 路或第 路汽车 ），有一位乘客等候第4路或第 路汽车. 有一位乘客等候第 路或第8路汽车 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等， 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等， 则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车 的概率等于( 的概率等于
而甲跑第一棒， 而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能
1 (1, 4)，故P(A∩B)= ， 12
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为： 所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － 1 1 1 5 = + = 4 4 12 12
一个旅行社有30名翻译 例5.一个旅行社有 名翻译，其中英语 一个旅行社有 名翻译， 翻译12名 日语翻译10名 翻译 名，日语翻译 名，既会英语又 会日语的有3名 会日语的有 名，其余的人是其他语种的 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团， 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团， 求以下事件的概率： 求以下事件的概率： 2 （1）是英语翻译； —— 1 ）是英语翻译； 5 —— （2）是日语翻译； ）是日语翻译； 3 1 —— ；（4） （3）既是英语翻译又是日语翻译；（ ） ）既是英语翻译又是日语翻译；（ 10 19 是英语翻译或是日语翻译。 是英语翻译或是日语翻译。 一 般加法公式。 般加法公式。 设A，B是 的两个事件，容易看出 ， 是 的两个事件， A∪B中基本事件的个数等于 中基本事 中基本事件的个数等于A中基本事 ∪ 中基本事件的个数等于 件的个数加上B中基本事件的个数减去 件的个数加上 中基本事件的个数减去 A∩B中基本事件的个数。所以 中基本事件的个数。 中基本事件的个数 A∪B中基本事件的个数 中基本事件的个 ∪ 中基本事件的 P(A∪B)= ———————————— ∪ Ω中基本事件的总数 A中基本事件的个数 中基本事件的个数－A∩B中基本事件的个数 中基本事件的个数+B中基本事件的个数 中基本事件的个数 中基本事件的个数－ 中基本事件的个数 = ——————————————————