大一微积分期末试卷及答案

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大一微积分期末试卷及答案[1]

微积分期末试卷一、选择题（6×２）1~6 DDBDBD二、填空题1 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m xm x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求五、证明题。

1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（）六、应用题1、描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。

微积分期末考试试题及答案

微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。

大一上学期微积分期末试卷及答案

大一上学期微积分期末试卷及答案微积分期末试卷1,cossinxx.()2,()()1设在区间(fxgx,,0，)内( )。

22,是增函数，是减函数fxgx()()B()()fxgx是减函数，是增函数 C二者都是增函数D二者都是减函数2x20cossin、x,,时，与相比是( )exx,高阶无穷小,低阶无穷小,等价无穷小,同阶但不等价无价小1x,、,=,是函数,=(,-sinx)的( ),连续点,可去间断点,跳跃间断点,无穷型间断点,、下列数列有极限并且极限为,的选项为( ),1nnA X(1) B Xsin,,,,nnn211 Xcos,C X(1) ,,aDnnnna5"()、若在处取得最大值，则必有( )fxX0,f,() ()XoBXo,,f,00CXXXXf,且()0''( )<0 D''()'()0,,ff不存在或f00001()2x6、曲线( )yxe, ,仅有水平渐近线,仅有铅直渐近线,既有铅直又有水平渐近线,既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1,、( ),dxd,+112、求过点(,，,)的一条直线，使它与曲线,,相切。

这条直线方程为:,,,,、函数,,的反函数及其定义域与值域分别是: ,,，,,,、,,,的拐点为:,，，,axb,,、若则的值分别为:lim2,,ab,x,,,，2x-3x32yxx,,21 ; 2 ; 3 ; 4(0,0) In1x，yR,log,(0,1),21,x(1)()1mxxmxm,，，，limlim2,,,xx,,115解:原式= (1)(3)34xxx,，，？,？,,,mba77,6 二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小( )sinx2、在区间(，)是连续函数(),,，,limx,0xf"(x)=0一定为f(x)的拐点()3、 0xx处取得极值，则必有f(x)在处连续不可导( ) 4、若f(X)在005、设函数,(x)在上二阶可导且0,1,,fxffCff'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ),,,,,令()，则必有 1~5 FFFFT三、计算题122x1用洛必达法则求极限 limxe,x011221,3xxeex(2),2x解:原式= limlimlim,,,，,e,3xxx,,,0001,2x2x 34fxxf()(10),''(0),，求2 若解:332233,，,,，fxxx'()4(10)xx312(10)33232233432,,，，,,，,,,，，，fxxx''()24(1xxxx0)12xxx3(10)324(10)108(10)f'0？,x'()42x求极限lim(cos)x3 ,x044IcosnxIcosnx2lim2xxx,0解:原式=limee,x,01(sin),x4costanInxxx,,cosxlimcoslimlimlimlim2Inx,,,,,,22xxxxx,,,,,00 000xxxxx2224,2？,原式e5x,13求的导数yx,,(31)4 x,2511解:I3112nyInxInxInx,,，,,,3221531111 y',,，,,,yxxx3312122,,,5，，x,15113yx'(31),,，,,,xxxx,,,,2312(1)2(2)，，3tanxdx5 ,22解:原式=tantansec1)tanxxdxxxdx,,(,,2 =sectantanxxdxxdx,,,sinx =tantanxdxdx,,,cosx1 =tantancosxdxdx,,,cosx12 =tancosxInxc，，2求xxdxarctan,611222解:原式=arctan()(arctanarctan)xdxxxxdx,,,,222111x，,2 =(arctan)xxdx,2,21，x11，，2 =xxdxarctan(1),,2,,,21，x，，21，xx =arctanxc,，22四、证明题。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题(6X2)1•设f(x) 2cosx,g(x) (1严在区间(0,—)内()。

2 2A f (x)是增函数，g (x)是减函数Bf (x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是()A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小13、x = 0 是函数y = (1 -sinx)紺勺()A连续点E可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 nA X n ( 1)nB X n si n -n n 21 1C X n-(a 1)D X n cosa n5、若f "(x)在X0处取得最大值，则必有()A f /(X。

)o Bf /(X。

)oCf /(X。

)0且f''( X o)<O Df''(X o)不存在或f'(X o) 0、4)6、曲线y xe x( )A仅有水平渐近线E仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1、d ) = -^― dxx +12、求过点(2,0 )的一条直线，使它与曲线y= -相切。

这条直线方程为:x2x3、函数y=二一的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=匹的拐点为：2 ,5、若lim X2a2,则a,b的值分别为：1 x+ 2x-3x1 In x 1 ;2 y x3 2x 2x;3 y也厂,©1)^ 4©0)lim (x 1)(x m) 5 解：原式=x 1 (x 1)(x 3) m 7 b limU 」2 x 1 x 3 4 7,a 6 1、 2、、判断题无穷多个无穷小的和是无穷小 lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X 0处连续不可导( )5、 (x) 在 0,1 f '(x) 0令 A f'(0) f'(1),C f(1) f (0),则必有 A>B>C()1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 x im 01e x2解：原式=lim x 0 1 x lime x2( 2x x 0J 2x 31 lim e xx 02 若 f (x)(x 3 10)4,求f ''(0) 解: 4( x 3 24x f'(x) f ''(x) f ''(x) 0 3 2 2 , 3 10) 3x 12x (x.3 3 2 3(x 10) 12x 3 (x 10) 3x 10)33 . 3 34 , 3 224x (x 10)108x (x 10)4I o 2 3 求极限 lim(cos x)xx 04 ,2I ncosx解：原式=lim e xx 05 tan3xdx2=sec x tan xdx tan xdx6 求xarctanxdxQ lim p Incosxx 0x2原式e2I>解：In y5ln3x11 Jx 1cosxI>yy1 5 3 11y 2 x 212(x 1)12(x 2)1cosx(sin x)tanxlim lim xx x 0 x x 0 x2224Incosxlim / e x 0解：原式=tan2xtanxdx2(sec x 1)tanxdx=tan xd tan x=tan xd tan xsin x , dxcosx1 . dcosxcosx= -ta n2x In cosx c解：原式=1 arcta nxd(x 2)1(x 2 arcta nx2 22arcta nx四、证明题。

大一微积分试题及答案详解

大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。

由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。

2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。

3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。

答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。

2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。

答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。

3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。

大一微积分期末考试题

大一微积分期末考试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个选项是微积分的基本概念？A. 导数B. 积分C. 极限D. 无穷小量2.函数f(x)在x=2处的导数为3，那么函数f(x)在x=2处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 53.函数y = x^2 + 3x - 2 的最大值是：A. -2B. 1C. 2D. 44.设函数y = e^x，则函数y = e^(-x)的导数为：A. e^xB. -e^(-x)C. -e^xD. e^(-x)5.曲线y = sin(x)在点（0，0）处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大6.函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. ln(x)C. -1/xD. 17.若函数f(x)满足f'(x) = 2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 + 1C. x^3 + CD. x^3 + 18.函数y = sin^2(x)在区间[0, π]上的定积分值为：A. 0B. 1C. π/2D. π9.函数y = x^3在区间[0, 1]上的定积分值为：A. -1/4B. 1/4C. 1/3D. 110.若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则在区间[0, 2]上的定积分值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、计算题（共3题，共30分）1.计算函数y = sin(x) + cos(x)在区间[-π/4, π/4]上的定积分值。

解：∫[ -π/4, π/4 ] (sin(x) + cos(x)) dx = [-cos(x) + sin(x)]│[-π/4, π/4]= [(sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(-π/4) + cos(-π/4))]= [(1/√2 + 1/√2) - (1/√2 - 1/√2)]= 2/√2= √22.计算函数y = ln(x)在区间[1, e]上的定积分值。

大一上学期微积分期末试卷

微积分期末试卷1兀、.设f(x)=2cos x,g(x)=(—)sin x在区间(0,)内()。

22A f(x)是增函数，g(x)是减函数B f(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数口二者都是减函数2、T0时，e2x-cos x与sin x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小3、x0是函数y(1x的()A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()I n冗AX=(-1)n-—BX=sinn-n n n2IICX=(a>1)D X=cos—n n nn a5、若f"(x)在X处取得最大值，则必有()0A'(X)=oB f X)<o00C f X)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=000006、曲线y=xe(x2)()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1、()=-^―d xx1相切。

这条直线方程为：x 2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=2x3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=&X的拐点为：5、若lim-:ax>"=2,则a/的值分别为：x-1X2+x2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x(x-1)(x+m)x+m1+mlim=lim==25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34m=7b=—7,a=6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、limsi吧在区间(-如+8)是连续函数()x f 0x3、f”(x )一定为的拐点()04、若f(X)在x 处取得极值，则必有f(x)在x 处连续不可导()005、设函数f (x)在[0,1]上二阶可导且f '(x )<0令A =f '(0),B =f '(1),C =f (1)-f (0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题-11用洛必达法则求极限lim x 2e x2x f 0ex2e x 2(-2x -3)1.一解：原式=lim 丁=lim =lim e x 2=+8x f 0x f 0-2x -3x f 0x 22若f (x )=(x 3+10)4,求"(0)解：f '(x )=4(x 3+10)3•3x 2=12x 2(x 3+10)3f "(x )=24x -(x 3+10)3+12x 2・3•(x 3+10)2•3x 2=24x •(x 3+10)3+108x 4(x 3+10)2・•.f "(x )=03求极限lim(cos x )x 2x f044,解：原式lim e ；2历cos x=e x —0x 21n cos xx —04In cos xlim_In cos x =lim x ―0x2x —0x 21 (-sin x ) =lim cos x x —0x=lim x —0一tan x =lim x =-2x —o x 24求y =(3x -1)；：士1的导数x -2 解：I 〃y = —In3x —1+—Inx —1一y ，1=5y 3 331—十2 113x 一12x 一122Inx-2J tan 3xdx5解：原式J tan 2x tan xdx =J(sec 2x -1)tan xdx=J sec 2x tan xdx -Jtan xdxsin x tan xd tan x - cos xJJ1tan xd tan x - dxd cos xltan 2x +In cos x +c 2求J x arctan xdxy'=(3x -1)x 一213x -12(x -1)2(x 一2)5 3BM +解：原式1J arctan xd (x 2)=1(x 2arctan x -J x 2d arctan x )221,J x 2+1-1,、 (x 2arctan x -dx ) 21+x 21 x 2arctan x -J(1-)dx 1+x 21+x 2x arctan x --+c四、证明题。

大一微积分期末试卷及答案汇编

微积分期末试卷选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31 In 1x + ;2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 324lim(cos )xx x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xxe →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式4 (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦解：53tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dx x xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =四、证明题。

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微积分期末试卷
选择题（6×２）
cos sin 1.()2,()()22
()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π
==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数
2x 1
n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin
21C X (1) x
n e x x n a D a π
→-=--==>、x 时，与相比是（　）
Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）
Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1
X cos
n
=
2
00000001
()
5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o
C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）
Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
1
d
1
2
lim2,,
x
d x
ax b
a b
→
++
=
ｘ
ｘ
２
２
１
１、（）＝
ｘ+1
、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：
ｘ
２
３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：
２＋１
ｘ
５、若则的值分别为：
ｘ＋2x-3
1 In1
x+; 2 32
2
y x x
=-; 3 2
log,(0,1),
1
x
y R
x
=
-
; 4(0,0)
5解：原式=11
(1)()1m
lim lim2
(1)(3)34
77,6
x x
x x m x m
x x x
m b a
→→
-+++
===
-++
∴=∴=-=
二、判断题
1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）
2、
sin
lim
x
x
x
→
-∞+∞
在区间（，）是连续函数（）
3、
f"(x）=0一定为f(x)的拐点（）
4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）
5、设函数ｆ(x)在[]
0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( )
f x f f C f f
<===-
令（），则必有
1~5 FFFFT
三、计算题
1用洛必达法则求极限2
1
2
lim x
x
x e
→
解：原式=222
11
1
3
3
000
2
(2)
lim lim lim
12
x x
x
x x x
e e x
e
x
x
-
-
→→→
-
===+∞
-
2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：
332233
33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0
f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 2
4
lim(cos )x x x →求极限
4
I cos 22
4
I cos lim 0
22000002
lim 1
(sin )
4
cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224
n x x x n x x
x x x x x x e e
x In x x x x In x x x x x x
e →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式
4 (3y x =-求 511
I 3112
322
1531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅
---⎤
=-+-⎥---⎦
解：
5
3
tan xdx ⎰
2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1
tan tan cos cos 1
tan cos 2
x xdx x xdx x xdx xdx x xd x dx
x xd x d x
x
x In x c
=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =
6
arctan x xdx ⎰求
222
222
22211arctan ()(arctan arctan )22111
(arctan )2111arctan (1)211arctan 22
xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x x
x c
=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式=
= = =
四、证明题。

1、证明方程3
10x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-
[][]1221
222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),'(0
()01)()00()00,,(),,()()0
,()0'()31f f f x f f x f x f x x x x f x x x x x f x f x x x f f ξξξξξξ=-<=>∴∈==+∞=+∞>==∴∃∈⋅==+且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x 在上连续，在（）内可导且至少（），s t 而3110x x ≥∴+-=与假设相矛盾方程有且只有一个正实根
2、arcsin arccos 1x 12
x x π
+=-≤≤证明（）
[][]
()arcsin arccos '()0,1,1()(0)arcsin 0arccos 02
(1)arcsin1arccos12
(1)arcsin(1)arccos(1)2
()arcsin arccos 1,12
f x x x
f x x f x c f f f f x x x x π
π
π
π
=+=-=∈-∴===+==+=
-=-+-=
∴=+=
∈-证明：设综上所述，，
五、应用题
1、描绘下列函数的图形
21y x x
=+
322
3
.Dy=(-,0)(0,+)121
2.y'=2x-'02
''2''0,1
x x x y x y x
y x ∞⋃∞-=
===+==-解：1令得令得
3.
4.补充点7179
(2,).(,).(1,2).(2,)
2222
---
5
lim(),()0
x
f x f x x
→
=∞∴=
有铅直渐近线
6如图所示：
2.讨论函数22
()
f x x Inx
=-的单调区间并求极值
12
()
22(1)(1)
'()2(0)
'()0,1,1
Df x R
x x
f x x x
x x
f x x x
=
-+
=-=≠
==-=
解：
令得
由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)
-∞-和
单调递增区间为(1,0)1
-+∞
和（，）
且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1
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