2019届广东省佛山市高三七校联合体交流数学(文)试题
广东省南海中学等七校联合体2019届高三冲刺模拟数学(文)试题(解析版)
2019年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科）（5月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}，全集U＝A∪B，则∁U B＝（）A．{1，2，7} B．{1，7} C．{2，3，7} D．{2，7}2．（5分）已知平面向量，，则向量的模是（）A．B．C．D．53．（5分）“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）A．90尺B．93尺C．95尺D．97尺5．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．（5分）从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数的周期为π，当时，方程f（x）＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f（x1+x2）＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣210．（5分）中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y11．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x﹣2x﹣a，若曲线y＝x3+x+1（x∈[﹣1，1]）上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣3﹣9]∪[e+3，+∞）B．[e﹣3﹣9，e+3]C．（e﹣3﹣9，e2+6）D．（﹣∞，e﹣3﹣9）∪（e+3，+∞）12．（5分）在四面体ABCD中，，BC＝6，AD⊥底面ABC，△DBC的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．24πB．32πC．46πD．49π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）复数z满足（1﹣2i）z＝7+i，则复数z的共轭复数＝．14．（5分）已知实数x，y 满足约束条件则的最大值等于．15．（5分）是P 为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为．16．（5分）数列{a n}满足若a1＝34，则数列{a n}的前100项的和是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C＝2a cos A．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；（2）若BC＝AC＝2，A1A＝A1C，求点B1到平面A1BC的距离．19．某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．20．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）如果存在过点F的直线l′与抛物线交于A，B两点，且直线P A与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．2019年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}＝{3，4，5，6}，全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则∁U B＝{1，2，7}．故选：A．2．【解答】解：向量，，∴向量＝﹣＝（﹣2，﹣2），∴||＝＝2．故选：C．3．【解答】解：当x＝﹣1时，满足x≠0，当x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，即“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：女子织布成等差数列，首项为a1，由题意可得a1＝5，a n＝1，n＝30，则S30＝×30×（5+1）＝90，故选：A．5．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）＝2x﹣2＝﹣f（x），故x＞0时，f（x）＝2﹣2x，由g（2）＝f（2）＝2﹣4＝﹣2，故f（g（2））＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝2，故选：D．6．【解答】解：从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，基本事件总数n＝＝15，两个小球同色包含的基本事件个数m＝＝6，∴两个小球同色的概率是p＝＝＝．故选：C．7．【解答】解：圆O：x2+y2＝1圆的半径为1，圆的圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离为：＝，垂足就是P，满足p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，所以P只有一个．故选：B．8．【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是2，圆柱的高为4，圆锥的高为2，几何体的体积为：＝．故选：A．9．【解答】解：f（x）＝＝＝2sin（）．由T＝，得ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．作出函数f（x）在上的图象如图：由图可知，x1+x2＝，∴f（x1+x2）＝2sin（）＝2×＝1．故选：B．10．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝5，y＝2，n＝1x＝，y＝4不满足条件，执行循环体，n＝2，x＝，y＝8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝3，x＝，y＝16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝4，x＝，y＝32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．11．【解答】解：∵y＝x3+x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴﹣1≤y0≤3．由f（y0）＝y0可得a＝﹣3y0，令g（x）＝e﹣x﹣3x（﹣1≤x≤3），显然g（x）为减函数，∴g（x）的最小值为g（3）＝e﹣3﹣9，最大值为g（﹣1）＝e+3．∴a的范围是[e﹣3﹣9，e+3]．故选：B．12．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，DE，∵在四面体ABCD中，AD⊥平面BCA，，AE⊥BC，∴DE⊥BC，∵△DBC的面积是6，BC＝6，∴DE＝2，∴AE＝∴AD＝1∴AH＝AD＝设底面ABC的外接圆的圆心为G，可得外接圆半径r＝2．作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，半径为R＝OA．可得：OA2＝AH2+AG2，即R2＝四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2＝49π．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：∵（1﹣2i）z＝7+i，∴z＝＝＝＝1+3i．共轭复数＝1﹣3i．故答案为：1﹣3i14．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点A（﹣2，1）时，z1＝x+y﹣2取得最小值﹣3，∴z最大是8，故答案为：8．15．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），P（c，），直线PF1的方程为y＝x+，即b2x﹣2acy+b2c＝0，四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M（，），半径为，∴M到直线PF1的距离d＝＝，化简得：9b2﹣12abc﹣b4＝0，令b＝1可得ac＝，又c2﹣a2＝1，∴a＝，c＝．∴e＝＝2．故答案为：2．16．【解答】解：∵数列{a n}满足，∵a1＝34，∴a2＝＝17，a3＝3a2+1＝3×17+1＝52，a4＝＝26，a5＝＝13，a6＝3a5+1＝40，a7＝＝20，a8＝＝10，a9＝＝5，a10＝3a9+1＝16，a11＝＝8，a12＝＝4，a13＝＝2，a14＝＝1，同理可得：a15＝4，a16＝2，a17＝1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n}的前100项的和＝（a1+a2+……+a11）+a12+a13+29（a14+a15+a16）＝（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2）＝450．故答案为：450．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵c cos B+b cos C＝2a cos A，∴sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos A．∴sin（B+C）＝2sin A cos A，∴sin A＝2sin A cos A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴，∴．（2）∵△ABC的面积为，∴，∴bc＝4．由a＝2，及a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得4＝b2+c2﹣4，∴b2+c2＝8．又bc＝4，∴b＝c＝2．故其周长为6．18．【解答】（1）证明：∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥BC．∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1．又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACC1A1．（2）解：取AC的中点D，连接A1D．∵A1A＝A1C，∴A1D⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D⊥平面ABC．∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1＝AC．又A 1A＝A1C，∴△A1AC是边长为2正三角形，∴．∴．设点B1到平面A1BC的距离为h．则．又，∴．所以点B1到平面A1BC的距离为．19．【解答】解：（1）因消费在区间（0，400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400．设所求概率为p，而消费在（0，600]的概率为0.8．故消费在区间（600，800]内的概率为0.2﹣p．因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×（0.2﹣p）+900×p．令其与中位数400相等，解得p＝0.05．故单笔消费额超过800元的概率为0.05．（2）设等比数列公比为q（q＞0），根据题意，即q2+q﹣20＝0，解得q＝4．故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，．今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000．其中具有抽奖资格的单数为21000×（0.15+0.05）＝4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200，800，3200．于是，采购奖品的开销可估计为200×500+800×200+3200×100＝580000（元）．20．【解答】解：（1）设切点为，则．∴Q点处的切线方程为．∵l过点P，∴，解得x0＝2a或x0＝0．当a＝0时，切线l的方程为y＝0，当a≠0时，切线l的方程为ax﹣y﹣a2＝0．（2）设直线l′的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．由已知得，即，∴2kx1x2+（1﹣ka）（x1+x2）﹣2a＝0．把①代入②得2ak2+2k+a＝0，③当a＝0时，显然成立，当a≠0时，方程③有解，∴△＝4﹣8a2≥0，解得，且a≠0．综上，．21．【解答】解：（1）由f（x）＝ax﹣a+lnx可得f（x）的定义域为（0，+∞），且，若a≥0，则f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，则当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）解法一：原命题等价于不等式a（x2﹣1）＞ax﹣a+lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，即证lnx+ax﹣ax2＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，令F（x）＝lnx+ax﹣ax2，则F（1）＝0，，设，（i）当a≤0时，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又∵g（1）＝1﹣a＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0恒成立，即F′（x）＞0恒成立．∴F（x）＞0，与题意不符，舍去．（ii）当a＞0时，若F（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，只需F（x）在（1，+∞）上单调递减，即g（x）＜0在（1，+∞）上恒成立．又∵g（x）在上单调递减，∴g（1）＝1﹣a≤0，即a≥1．解法二：原命题等价于不等式a（x2﹣1）＞ax﹣a+lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，即∀x∈（1，+∞），不等式a（x2﹣x）＞lnx恒成立．∵当x＞1时，x2﹣x＞0，∴，即证当x＞1时，a大于的最大值．又∵当x＞1时，0＜lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），∴，综上所述，a≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ＝16，又ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2＝16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4＝0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，x﹣4≤1，解得x≤5，∴x≤﹣2；当﹣2＜x≤1时，3x≤1，解得，∴；当x＞1时，﹣x+4≤1，解得x≥3，∴x≥3．综上，不等式的解集为．（2）作出函数y＝f（x）与y＝ax的图象，由图象可知当1≤a＜3时，不等式只有一个正整数解x＝1，∴1≤a＜3．。
佛山市2019-2020学年上学期高三数学(文)期末教学质量检测卷参考答案
2019~2020年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学(文科)参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．题号123456789101112答案ADCBCBAADDBC二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．[可能的方案一：按性别分为两层，男生与女生．男生：160782000⨯=人；女生：160822000⨯=人．可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生．高一：1200160962000⨯=人；高二：800160642000⨯=人．说明：这样的方案给3分．]（2）（i ）160人中，“超重”人数为462416+++=人，“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体概率，估计在这2000人中，“超重”人数为20000.1200⨯=人．…………………………….……9分（ii ）12k k >．………………………………………………………………………………12分19.【解析】（1）∵PA PB =，E 是AB 的中点，∴PE ⊥AB ．……1分∵90ACB ∠=，E 是AB 的中点，∴EC EA =，又PC PA =，PE PE =，∴△PEC ≅△PEA ．……………2分∴90PEC PEA ∠=∠=，即PE EC ⊥．…………………3分又AB EC E = ，∴PE ⊥平面ABC .…………………4分（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE 的中点，连接OF ，则//OF PE ．由（1）得OF ⊥平面ABC ，∴FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，即60FGO ∠=．……6分∵∵20（设=∴[2∴22212121212()()()(4)222y y x b x b x x b x x b b b b b b -=++=+++=+-+=+，∴221212412422b b OE OF x x y y b -⋅=+=++=uuu r uuu r ，∴24b =，2b =±．所以直线EF 的方程为2y x =+或2y x =-，原点O 到直线EF 的距离都是h ==(2,2)到直线EF 的距离都为，故EF =（或12EF x =-=，∴12OEF S =⨯=V ．]21．【解析】（1）()2cos e xf x a x -'=-+，令(0)0f '=，得210a -+=，∴12a =．………………2分∴()1sin e xf x x -=--，()cos e e (1e cos )x x xf x x x --'=-+=-．当0x <时，e1cos xx ->≥，()cos e 0x f x x -'=-+>，故()f x 是区间(,0)-∞上的增函数．……3分当0x >时，令()1e cos xg x x =-，则()e (sin cos )xg x x x '=-，在区间π(0,)4上，()0g x '<，故()g x 是（f 令2()k f x <π(2π)2π(2πe 02k f k -++=-<，∴(2π)()0k f k f x ⋅<，∴()f x 在区间(2π,)k k x 即π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦有唯一零点．综上，()f x 在区间π2π,2π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎣⎦N 有唯一零点．………………………………………………12分22．【解析】（1）由4y m =，得4y m =，代入24x m =，得24y x =，即24y x =．………………2分∴C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为(1,0)F 的抛物线．……………………………4分（2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-，则直线1l 的参数方程为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数)．…………………………………………………5分与24y x =联立得222000sin (2sin 4cos )40t y t y x ααα+-+-=．………………………………6分。
2019年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷(文科)(5月份)
2019年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{1, 2, 3, 5, 7}，B ＝{x ∈N|2<x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则∁U B ＝（ ） A.{1, 2, 7} B.{1, 7} C.{2, 3, 7} D.{2, 7}2. 已知平面向量AB →=(1,2)，AC →=(3,4)，则向量CB →的模是（ ） A.√2 B.√5 C.2√2 D.53. “x ≠0”是“x >0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（ ） A.90尺 B.93尺 C.95尺 D.97尺5. 若函数f(x)={2−x −2,x <0g(x),x >0 为奇函数，则f （g(2)）＝（ ）A.−2B.−1C.0D.26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 已知p 为直线x +y −2=0上的点，过点p 作圆O:x 2+y 2=1的切线，切点为M ，N ，若∠MPN =90∘，则这样的点p 有( ) A.0个 B.1个C.2个D.无数个8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A.283πB.323πC.523πD.563π9. 已知函数f(x)=2√3sinωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2−1(ω>0)的周期为π，当x ∈[0,π2]时，方程f(x)＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则f(x 1+x 2)＝（ ） A.2 B.1C.−1D.−210. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x ＝5，y ＝2，输出的n 为4，则程序框图中的中应填（ ）A.y <xB.y ≤xC.x ≤yD.x ＝y11. 已知函数f(x)＝e −x −2x −a ，若曲线y ＝x 3+x +1(x ∈[−1, 1])上存在点(x 0, y 0)使得f(y 0)＝y 0，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, e −3−9]∪[e +3, +∞) B.[e −3−9, e +3]C.(e −3−9, e 2+6)D.(−∞, e −3−9)∪(e +3, +∞)12. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC ＝6，AD ⊥底面ABC ，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）A.24πB.32πC.46πD.49π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．复数z 满足(1−2i)z ＝7+i ，则复数z 的共轭复数z ¯=________．已知实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −3y +5≥0y ≥1 则z =(12)x+y−2的最大值等于________．是P 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)上的点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 2⊥F 1F 2，PF 1与y 轴交于Q 点，O 为坐标原点，若四边形OF 2PQ 有内切圆，则C 的离心率为________．数列{a n }满足a n ={a n−12,a n−13a n−1+1,a n−1.若a 1＝34，则数列{a n }的前100项的和是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c cos B +b cos C =2a cos A ． (1)求A ；(2)若a =2，且△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90∘，AC 1⊥平面A 1BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面ACC 1A 1；（2）若BC ＝AC ＝2，A 1A ＝A 1C ，求点B 1到平面A 1BC 的距离．某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题： （1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为121．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．已知抛物线E:x 2＝4y 的焦点为F ，P(a, 0)为x 轴上的点． （1）过点P 作直线l 与E 相切，求切线l 的方程；（2）如果存在过点F 的直线l′与抛物线交于A ，B 两点，且直线PA 与PB 的倾斜角互补，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)=ax −a +ln x ． (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈(1, +∞)时，曲线y=f(x)总在曲线y=a(x2−1)的下方，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．为ρ2=161+3sin2θ（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+2|−2|x−1|．（1）解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式f(x)>ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2019年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 A【考点】 补集及其运算 【解析】用列举法写出集合B ，再根据并集与补集的定义计算即可． 【解答】集合A ＝{1, 2, 3, 5, 7}，B ＝{x ∈N|2<x ≤6}＝{3, 4, 5, 6}， 全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}， 则∁U B ＝{1, 2, 7}． 2.【答案】 C【考点】向量的概念与向量的模 【解析】根据平面向量的坐标运算与线性表示，求出向量CB →的坐标与模长． 【解答】向量AB →=(1,2)，AC →=(3,4)， ∴ 向量CB →=AB →−AC →=(−2, −2)， ∴ |CB →|=√(−2)2+(−2)2=2√2． 3.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】当x ＝−1时，满足x ≠0，当x >0不成立，即充分性不成立， 若x >0，则x ≠0一定成立，即必要性成立， 即“x ≠0”是“x >0”的必要不充分条件， 4.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设女子织布成等差数列，首项为a 1，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】女子织布成等差数列，首项为a 1， 由题意可得a 1＝5，a n ＝1，n ＝30， 则S 30=12×30×(5+1)＝90， 5.【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】求出g(2)的值，从而求出f （g(2)）的值即可． 【解答】设x >0，则−x <0，故f(−x)＝2x −2＝−f(x)， 故x >0时，f(x)＝2−2x ， 由g(2)＝f(2)＝2−4＝−2，故f （g(2)）＝f(−2)＝−f(2)＝2， 6.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】随机摸出两个小球，基本事件总数n =C 62=15，两个小球同色包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，由此能求出两个小球同色的概率． 【解答】从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，基本事件总数n =C 62=15，两个小球同色包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6， ∴ 两个小球同色的概率是p =m n=615=25．7. 【答案】 B【考点】直线和圆的方程的应用圆的切线方程点与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】求出圆的圆心到直线的距离，然后判断选项即可．【解答】解：圆O:x2+y2=1圆的半径为1，圆的圆心(0, 0)到直线x+y−2=0的距离为：√2=√2，垂足就是P，满足P为直线x+y−2=0上的点，过点P作圆O:x2+y2=1的切线，切点为M，N，若∠MPN=90∘，所以四边形OMPN是正方形，边长为1，所以其对角线OP=√2,所以垂足就是P，所以P只有一个．故选B.8.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是2，圆柱的高为4，圆锥的高为2，几何体的体积为：12π×22×4+12×13π⋅22×2=28π3．9.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】降幂，再由辅助角公式化简函数解析式，作出图象，数形结合求得x1+x2，则答案可求．【解答】f(x)=2√3sin ωx2cosωx2+2cos2ωx2−1=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)．由T=2πω=π，得ω＝2．∴f(x)＝2sin(2x+π6)．作出函数f(x)在x∈[0,π2]上的图象如图：由图可知，x1+x2=π3，∴f(x1+x2)＝2sin(2×π3+π6)＝2×12=1．10.【答案】C【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．【解答】模拟程序的运行，可得x＝5，y＝2，n＝1x=152，y＝4不满足条件，执行循环体，n＝2，x=454，y＝8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n＝3，x=1358，y＝16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n＝4，x=40516，y＝32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？11.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据单调性求出y0的范围，再根据f(y0)＝y0分离参数得出a关于y0的函数，求出此函数的值域即可得出a的范围．【解答】∵ y ＝x 3+x +1在[−1, 1]上是增函数， ∴ −1≤y 0≤3．由f(y 0)＝y 0可得a =e −y 0−3y 0，令g(x)＝e −x −3x(−1≤x ≤3)，显然g(x)为减函数，∴ g(x)的最小值为g(3)＝e −3−9，最大值为g(−1)＝e +3． ∴ a 的范围是[e −3−9, e +3]． 12. 【答案】 D【考点】球的表面积和体积 【解析】取CD 的中点E ，连结AE ，DE ，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积． 【解答】取CD 的中点E ，连结AE ，DE ，∵ 在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCA ，AB =AC =2√3， AE ⊥BC ， ∴ DE ⊥BC ，∵ △DBC 的面积是6，BC ＝6， ∴ DE ＝2， ∴ AE =√3 ∴ AD ＝1 ∴ AH =12AD =12设底面ABC 的外接圆的圆心为G ，可得外接圆半径r ＝2√3．作OG // AB 交AB 的中垂线HO 于O ，O 为外接球的中心，半径为R ＝OA ． 可得：OA 2＝AH 2+AG 2，即R 2=494四面体ABCD 外接球的表面积为：4πR 2＝49π．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．【答案】 1−3i 【考点】 复数的运算 【解析】先将z 利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数． 【解答】∵ (1−2i)z ＝7+i ，∴ z =7+i 1−2i=(7+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5+15i 5=1+3i ．共轭复数z →=1−3i ． 【答案】 8【考点】 简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，欲求z =(12)x+y−2的最大值，即要求z 1＝x +y −2的最小值，再利用几何意义求最值，分析可得z 1＝x +y −2表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可． 【解答】 作图易知可行域为一个三角形， 验证知在点A(−2, 1)时，z 1＝x +y −2取得最小值−3， ∴ z 最大是8， 【答案】 2【考点】双曲线的离心率 【解析】求出圆的圆心、半径和直线PF 1的方程，根据切线的性质列方程求出a ，b ，c 的关系，得出离心率． 【解答】F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，P(c, b 2a )， 直线PF 1的方程为y =b 22acx +b 22a，即b 2x −2acy +b 2c ＝0，四边形OF 2PQ 的内切圆的圆心为M(c2, c2)，半径为c2， ∴ M 到直线PF 1的距离d =|3b 2c2−ac 2|√4a 2c 2+b 4=c2，化简得：9b 2−12abc −b 4＝0， 令b ＝1可得ac =23，又c 2−a 2＝1， ∴ a =√33，c =√3．∴ e =ca =2． 【答案】 450【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】数列{a n }满足a n ={a n−12,a n−13a n−1+1,a n−1.，由a 1＝34，可得a 2=12a 1=17，a 3＝3a 2+1＝3×17+1＝52，a 4=12a 3=26，a 5=12a 4=13，a 6＝3a 5+1＝40，a 7=12a 6=20，a 8=12a 7=10，a 9=12a 8=5，a 10＝3a 9+1＝16，a 11=12a 9=8，a 12=12a 11=4，a 13=12a 12=2，a 14=12a 13=1，同理可得：a 15＝4，a 16＝2，a 17＝1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．即可得出．【解答】∵数列{a n}满足a n={a n−12,a n−13a n−1+1,a n−1.，∵a1＝34，∴a2=12a1=17，a3＝3a2+1＝3×17+1＝52，a4=12a3=26，a5=12a4=13，a6＝3a5+1＝40，a7=12a6=20，a8=12a7=10，a9=12a8=5，a10＝3a9+1＝16，a11=12a9=8，a12=12a11=4，a13=12a12=2，a14=12a13=1，同理可得：a15＝4，a16＝2，a17＝1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n}的前100项的和＝(a1+a2+……+a11)+a12+a13+29(a14+a15+a16)＝(34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8)+4+2+29×(1+4+2)＝450．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】解：(1)∵c cos B+b cos C=2a cos A，∴sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos A．∴sin(B+C)=2sin A cos A，∴sin A=2sin A cos A．∵A∈(0, π)，∴sin A≠0，∴cos A=12，∴A=π3．(2)∵△ABC的面积为√3，∴12bc sin A=√34bc=√3，∴bc=4．由a=2，A=π3及a2=b2+c2−2bc cos A，得4=b2+c2−4，∴b2+c2=8．又bc=4，∴b=c=2．故其周长为6．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理【解析】（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sin A＝2sin A cos A．结合sin A≠0，可求cos A，进而可求A的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc＝4．利用余弦定理可求bc＝4，联立解得b，c的值即可得解．【解答】解：(1)∵c cos B+b cos C=2a cos A，∴sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos A．∴sin(B+C)=2sin A cos A，∴sin A=2sin A cos A．∵A∈(0, π)，∴sin A≠0，∴cos A=12，∴A=π3．(2)∵△ABC的面积为√3，∴12bc sin A=√34bc=√3，∴bc=4．由a=2，A=π3及a2=b2+c2−2bc cos A，得4=b2+c2−4，∴b2+c2=8．又bc=4，∴b=c=2．故其周长为6．【答案】证明：∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥BC．∵∠BCA＝90∘，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1．又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACC1A1．取AC的中点D，连接A1D．∵A1A＝A1C，∴A1D⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D⊥平面ABC．∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1＝AC．又A1A＝A1C，∴△A1AC是边长为2正三角形，∴A1D=√3．∴V ABC−A1B1C1=12×2×2×√3=2√3．设点B1到平面A1BC的距离为ℎ．则V B1−A1BC=13V ABC−A1B1C1=2√33=13ℎS△A1BC．又S△A1BC=2，∴ℎ=√3．所以点B1到平面A1BC的距离为√3．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）证明AC1⊥BC．BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC1A1．然后证明平面ABC⊥平面ACC1A1．（2）取AC的中点D，连接A1D．推出A1D⊥AC．A1D⊥平面ABC．设点B1到平面A1BC的距离为ℎ．通过V B1−A1BC =13V ABC−A1B1C1=2√33=13ℎS△A1BC．求解点B1到平面A1BC的距离即可．【解答】证明：∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥BC．∵∠BCA＝90∘，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1．又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACC1A1．取AC的中点D，连接A1D．∵A1A＝A1C，∴A1D⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D⊥平面ABC．∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1＝AC．又A1A＝A1C，∴△A1AC是边长为2正三角形，∴A1D=√3．∴V ABC−A1B1C1=12×2×2×√3=2√3．设点B1到平面A1BC的距离为ℎ．则V B1−A1BC =13V ABC−A1B1C1=2√33=13ℎS△A1BC．又S△A1BC=2，∴ℎ=√3．所以点B1到平面A1BC的距离为√3．【答案】因消费在区间(0, 400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400．设所求概率为p，而消费在(0, 600]的概率为0.8．故消费在区间(600, 800]内的概率为0.2−p．因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×(0.2−p)+900×p．令其与中位数400相等，解得p＝0.05．故单笔消费额超过800元的概率为0.05．设等比数列公比为q(q>0)，根据题意121+q21+q221=1，即q2+q−20＝0，解得q＝4．故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621．今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000．其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15+0.05)＝4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200，800，3200．于是，采购奖品的开销可估计为200×500+800×200+3200×100＝580000（元）．【考点】古典概型及其概率计算公式众数、中位数、平均数【解析】（1）由消费在区间(0, 400]的频率为0.5，能求出中位数估计值为400．设所求概率为p，而消费在(0, 600]的概率为0.8．从则消费在区间(600, 800]内的概率为0.2−p．由此能求出消费额的平均值，令其与中位数400相等，能求出p．（2）设等比数列公比为q(q>0)，根据题意121+q21+q221=1，求出q＝4．故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621．今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000．其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15+0.05)＝4200，由此能求出采购奖品的开销的估计值．【解答】因消费在区间(0, 400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400．设所求概率为p，而消费在(0, 600]的概率为0.8．故消费在区间(600, 800]内的概率为0.2−p．因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×(0.2−p)+900×p．令其与中位数400相等，解得p＝0.05．故单笔消费额超过800元的概率为0.05．设等比数列公比为q(q >0)，根据题意121+q 21+q 221=1，即q 2+q −20＝0，解得q ＝4．故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621．今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000．其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15+0.05)＝4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200，800，3200．于是，采购奖品的开销可估计为200×500+800×200+3200×100＝580000（元）． 【答案】 设切点为Q(x 0,x 024)，则y ′|x=x 0=x 02=k 1． ∴ Q 点处的切线方程为y −x 024=x 02(x −x 0)．∵ l 过点P ，∴ −x 024=x 02(a −x 0)，解得x 0＝2a 或x 0＝0．当a ＝0时，切线l 的方程为y ＝0，当a ≠0时，切线l 的方程为ax −y −a 2＝0．设直线l′的方程为y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2−4kx −4＝0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝−4． 由已知得k PA +k PB =y 2x 2−a+y 1x 1−a=0， 即kx 2+1x 2−a+kx 1+1x 1−a=0，∴ 2kx 1x 2+(1−ka)(x 1+x 2)−2a ＝0．把①代入②得2ak 2+2k +a ＝0，③ 当a ＝0时，显然成立，当a ≠0时，方程③有解，∴ △＝4−8a 2≥0，解得−√22≤a ≤√22，且a ≠0．综上，−√22≤a ≤√22． 【考点】直线与抛物线的位置关系利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）设切点为Q(x 0,x 024)，求出导函数，然后求解切线方程即可．（2）设直线l′的方程为y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2−4kx −4＝0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝−4．利用直线PA 与PB 的倾斜角互补，列出方程，转化求解即可． 【解答】 设切点为Q(x 0,x 024)，则y ′|x=x 0=x 02=k 1． ∴ Q 点处的切线方程为y −x 024=x 02(x −x 0)．∵ l 过点P ，∴ −x 024=x 02(a −x 0)，解得x 0＝2a 或x 0＝0．当a ＝0时，切线l 的方程为y ＝0，当a ≠0时，切线l 的方程为ax −y −a 2＝0．设直线l′的方程为y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2−4kx −4＝0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝−4． 由已知得k PA +k PB =y 2x 2−a+y 1x 1−a=0，即kx 2+1x 2−a+kx 1+1x 1−a=0，∴ 2kx 1x 2+(1−ka)(x 1+x 2)−2a ＝0．把①代入②得2ak 2+2k +a ＝0，③ 当a ＝0时，显然成立，当a ≠0时，方程③有解，∴ △＝4−8a 2≥0，解得−√22≤a ≤√22，且a ≠0．综上，−√22≤a ≤√22． 【答案】解：(1)由f(x)=ax −a +ln x 可得f(x)的定义域为(0, +∞)，且f ′(x)=a +1x ，若a ≥0，则f ′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；若a <0，则当0<x <−1a 时，f′(x)>0，f(x)在(0,−1a )上单调递增， 当x >−1a时，f ′(x)<0，f(x)在(−1a,+∞)上单调递减．综上，当a ≥0时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减． (2)当x ∈(1, +∞)时，曲线y =f(x)总在曲线y =a(x 2−1)的下方，等价于不等式a(x 2−1)>ax −a +ln x 在x ∈(1, +∞)上恒成立， 即ln x +ax −ax 2<0在x ∈(1, +∞)上恒成立. 令F(x)=ln x +ax −ax 2， 则F(1)=0，F ′(x)=1x +a −2ax =−2ax 2+ax+1x .设g(x)=−2ax 2+ax +1=−2a(x −14)2+1+a8，(i)当a ≤0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增. 又∵ g(1)＝1−a >0，∴ 当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0恒成立，即F′(x)>0恒成立． ∴ F(x)在(1,+∞)上单调递增，∴ F(x)>F(1)=0，与题意不符，舍去．(ii)当a >0时，若F(x)<0在x ∈(1, +∞)上恒成立，只需F(x)在(1, +∞)上单调递减，即g(x)<0在(1, +∞)上恒成立． 又∵ g(x)在[14,+∞)上单调递减， ∴ g(1)＝1−a ≤0，即a ≥1． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）法一：原命题等价于不等式a(x 2−1)>ax −a +ln x 在x ∈(1, +∞)上恒成立，即证ln x +ax −ax 2<0在x ∈(1, +∞)上恒成立，令F(x)＝ln x +ax −ax 2，根据函数的单调性求出a 的范围即可；法二：原命题等价于不等式a(x 2−1)>ax −a +ln x 在x ∈(1, +∞)上恒成立，当x >1时，x 2−x >0，得到a >ln xx 2−x ，求出a 的范围即可． 【解答】解：(1)由f(x)=ax −a +ln x 可得f(x)的定义域为(0, +∞)，且f ′(x)=a +1x ， 若a ≥0，则f ′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；若a <0，则当0<x <−1a 时，f′(x)>0，f(x)在(0,−1a )上单调递增， 当x >−1a 时，f ′(x)<0，f(x)在(−1a ,+∞)上单调递减． 综上，当a ≥0时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减．(2)当x ∈(1, +∞)时，曲线y =f(x)总在曲线y =a(x 2−1)的下方， 等价于不等式a(x 2−1)>ax −a +ln x 在x ∈(1, +∞)上恒成立， 即ln x +ax −ax 2<0在x ∈(1, +∞)上恒成立. 令F(x)=ln x +ax −ax 2， 则F(1)=0，F ′(x)=1x +a −2ax =−2ax 2+ax+1x .设g(x)=−2ax 2+ax +1=−2a(x −14)2+1+a8，(i)当a ≤0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增. 又∵ g(1)＝1−a >0，∴ 当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0恒成立，即F′(x)>0恒成立． ∴ F(x)在(1,+∞)上单调递增，∴ F(x)>F(1)=0，与题意不符，舍去．(ii)当a >0时，若F(x)<0在x ∈(1, +∞)上恒成立，只需F(x)在(1, +∞)上单调递减，即g(x)<0在(1, +∞)上恒成立． 又∵ g(x)在[14,+∞)上单调递减， ∴ g(1)＝1−a ≤0，即a ≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】由C 的方程可得ρ2+3ρ2sin 2θ＝16，又ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ， ∴ C 的直角坐标方程为x 2+4y 2＝16，即x 216+y 24=1．设P(4cos θ, 2sin θ)，则Q(2cos θ, sin θ)，∴ 点Q 的轨迹的参数方程为{x =2cos θy =sin θ（θ为参数）．由（1）知点Q 的轨迹的普通方程为x 24+y 2=1，A(4, 0)，B(0, 2)，|AB|=2√5，所以直线AB 的方程为x +2y −4＝0． 设M(2cos θ, sin θ)， 则点M 到AB 的距离为d =√5=|2√2sin (θ+π4)−4|√5≤√2+4√5， ∴ △MAB 面积的最大值为S =12×2√5√2+4√5=2√2+4．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由C 的方程可得ρ2+3ρ2sin 2θ＝16，由此能求出C 的直角坐标方程，设P(4cos θ, 2sin θ)，则Q(2cos θ, sin θ)，由此能求出点Q 的轨迹的参数方程．（2）求出点Q 的轨迹的普通方程和直线AB 的方程，设M(2cos θ, sin θ)，求出点M 到AB 的距离为d =√5=|2√2sin (θ+π4)−4|√5≤√2+4√5，由此能求出△MAB 面积的最大值．【解答】由C 的方程可得ρ2+3ρ2sin 2θ＝16，又ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ， ∴ C 的直角坐标方程为x 2+4y 2＝16，即x 216+y 24=1．设P(4cos θ, 2sin θ)，则Q(2cos θ, sin θ)，∴ 点Q 的轨迹的参数方程为{x =2cos θy =sin θ （θ为参数）．由（1）知点Q 的轨迹的普通方程为x 24+y 2=1，A(4, 0)，B(0, 2)，|AB|=2√5，所以直线AB 的方程为x +2y −4＝0． 设M(2cos θ, sin θ)， 则点M 到AB 的距离为d =√5=|2√2sin (θ+π4)−4|√5≤√2+4√5， ∴ △MAB 面积的最大值为S =12×2√5√2+45=2√2+4．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】解：f(x)={x −4(x ≤−2)，3x(−2<x ≤1)，−x +4(x >1)．（1）当x ≤−2时，x −4≤1， ∴ x ≤5， ∴ x ≤−2；当−2<x ≤1时，3x ≤1， ∴ x ≤13，第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ∴ −2<x ≤13；当x >1时，−x +4≤1，∴ x ≥3，∵ 3>1，∴ x ≥3．综上，不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤13}．（2）作出函数y =f(x)与y =ax 的图象， 由图象可知当1≤a <3时，不等式只有一个正整数解x =1， ∴ 1≤a <3．【考点】函数与方程的综合运用不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)={x −4(x ≤−2)，3x(−2<x ≤1)，−x +4(x >1)．（1）当x ≤−2时，x −4≤1， ∴ x ≤5，∴ x ≤−2；当−2<x ≤1时，3x ≤1，∴ x ≤13，∴ −2<x ≤13；当x >1时，−x +4≤1，∴ x ≥3，∵ 3>1，∴ x ≥3．综上，不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤13}． （2）作出函数y =f(x)与y =ax 的图象， 由图象可知当1≤a <3时， 不等式只有一个正整数解x =1， ∴ 1≤a <3．。
2019年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题答案共6页word资料
2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBCACBDAD二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．< 12．12 13．(1,0)(1,)-+∞U 14．(2,2)()3k k Z ππ-∈ 15．92三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）4cos ,5B =Q 且(0,180)B ∈o o ，∴23sin 1cos 5B B =-=． -------------------------------2分 sin sin(180)sin(135)C A B B =--=-o o ------------------------------- 3分 242372sin135cos cos135sin ()55B B =-=⋅--⋅=o o ． ------------------------------6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin BC ABA C =，即722102AB =，解得14AB =． -----------------------------10分 则ABC ∆的面积113sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯= ------------------------------12分17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采 用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人. -------------------------------8分设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种. -------------------------------10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =. -------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2分 又∵12a ，2a ，31a +成等比数列，∴22132(1)a a a =⋅+，即22222()(1)a a d a d =-⋅++， --------------------------------4分解得，3d =或4d =-（舍去），∴121a a d =-=，故32n a n =-； ---------------------------------------7分（Ⅱ）法1：321(32)333n n n n na nb n -===-⋅， ①13⨯得，2341111111147(35)(32)333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ②①-②得，234121111113333(32)3333333n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L∴2511321565144323443n n n n n n T --+=-⨯-⨯=-⨯． ---------------------------------------14分法2：1321123333n n n n n na nb n --===⋅-⨯， 设231111112343333n n A n -=+⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①则234111111234333333n n A n =+⨯+⨯+⨯++⨯L ， ② ①-②得，2312111111333333n n n A n -=+++++-⨯L∴11(1)993115651332()(1)14423344313n n n n n n n T A n ⨯-+=-⨯=-+⨯--=-⨯-．----------------------------14分 19．解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ， ---------------------------------------2分又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面ABCD I 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D I 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； ---------------------------------------6分 （Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， ---------------------------------------8分在Rt ABE ∆中，2AB =，2BE =，则AE = ---------------------------------------9分在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则DE =； ---------------------------------------10分在直角梯形中ABCD ，AD ==∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED DD D =I ，∴AE ⊥平面1EFD D ； ---------------------------------------12分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D 为矩形，且DE =11DD =，∴矩形1EFD D 的面积为11EFD D S DE DD =⋅=∴几何体1A EFD D -的体积为11114333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．-----------------------------14分 20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， -----------------------1分又2c =，∴c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=； ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-， 则0103y k x =+，0203y k x =-， ---------------------------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k g 为定值19-． ---------------------------------------8分（Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，------------------9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++------------------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ------------------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ---------------------------------------12分 当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------------------------13分 所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. ---------------------------------------14分 21．解：（Ⅰ）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------1分① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--，∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； --------------2分 ② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； --------------3分 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). --------------4分 （Ⅱ）（1）当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =； -----5分（2）当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------6分故当x a ≥时，22()()24a a f x x a =---，二次函数对称轴2ax a =<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <； -----------7分当x a <时，22()()24a a f x x a =--+-，二次函数对称轴2ax a =<，∴()f x 在(,)2a a 上单调递减，在(,)2a -∞上单调递增； ---------------------------------------8分∴()f x 的极大值为22()()2224a a a a f a a a =-+⨯-=-， 1o 当()02af <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为02a x +=或02a x -=（舍去）； -----------------------10分2o 当()02af =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和222a x ==+ -----------------------11分3o 当()02af >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x ax a -+-=解得，2a x =，∴函数()y f x =的零点为2a x ±=和02a x +=. --------------------12分综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<；当4a =时，有两个零点2和2+；当4a >. --------------------14分。
2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(可编辑修改word版)
2019 年广东省佛ft市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5 分）复数z 满足（z+i）（2+i）＝5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i 3．（5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z＝2x+y 的最大值为（）A．7 B．8 C．15 D．164．（5 分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x05．（5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．（5 分）在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB＝AD，2ABBD，sin C，则（）A．B．C．2 D．37．（5 分）若曲线y＝e x 在x＝0 处的切线，也是y＝lnx+b 的切线，则b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e8．（5 分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c 的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 9．（5 分）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？10．（5 分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，若f（0），则f（）＝（）A．B．C．D．11．（5 分）已知抛物线C：y2＝4x 和直线l：x﹣y+1＝0，F 是C 的焦点，P 是l 上一点过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q，则△PQF 外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．（5 分）设a 为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0 时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0 时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分13．（5 分）已知双曲线1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为．14．（5 分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0 的x 的取值范围为．15．（5 分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD，E 为AD 的中点现分别沿BE，CE 将△ABE，△DCE 翻折，使点A，D 重合，记为点P，则几何体P﹣BCE 的外接球表面积为．16．（5 分）等腰直角△ABC 内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，1，则||的取值范围是．三、解答题本大题共5 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p 为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4 成等比数列，求P 的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n 项和S n．18．（12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6373 77 45学号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 数学108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101 物理76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65 用这44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为22 号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31 号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B 两同学的成绩（对应于图中A、B 两点）剔除后，用剩下的42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B 两同学的数据，用全部44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0 与γ 的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16 号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i 统一化成标准分再进行比较，其中X i 为学科原始分，为学科平均分，s 为学科标准差）．19．（12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，E、F 分别是CD 边上的三等分点将△ADF，△BCE 分别沿AF、BE 折起到△AD′F、△BC′E 的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A 平面EFD′C′的距离．20．（12 分）已知过点D（4，0）的直线1 与椭圆C：1 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O 为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB 的面积：（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点T，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数？21．（12 分）已知a 是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C 与l 的普通方程；（Ⅱ）若C 上存在点P，使得P 到l 的距离为，求a 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若 f （1）+f（2）＞5，求 a 的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x 的不等式f（x）＜b 的解集为（﹣∞，），求a，b 的值．2019 年广东省佛ft市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．2．（5 分）复数z 满足（z+i）（2+i）＝5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得2﹣2i．∴．故选：A．3．（5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z＝2x+y 的最大值为（）A．7 B．8 C．15 D．16【解答】解：作出变量x，y 满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y 知，所以动直线y＝﹣2x+z 的纵截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．4．（5 分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0故选：C．5．（5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A.B．C．D．【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中 1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出 2 只球，基本事件总数n6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为p＝1．故选：A．6．（5 分）在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB＝AD，2ABBD，sin C，则（）A．B．C．2 D．3【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD，△ABD 中由余弦定理可得，cos A，∵A∈（0，π），∴sin A，∵sin C，△ABC 中，由正弦定理可得，，，∴BC则2，故选：C．7．（5 分）若曲线y＝e x 在x＝0 处的切线，也是y＝lnx+b 的切线，则b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e【解答】解：y＝e x 的导数为y′＝e x，曲线y＝e x 在x＝0 处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x 在x＝0 处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b 的导数为y′，设切点为（m，n），则1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．8．（5 分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c 的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【解答】解：∵a＝log2log23﹣1，b＝log3log34﹣1，2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，c＝log1，∴a，b，c 的大小关系是c＞a＞b．故选：B．9．（5 分）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？【解答】解：模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1 次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2 次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3 次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3 次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．10．（5 分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，若f（0），则f（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，∴T＝2（）π，∵ω＞0，∴ω3，即f（x）＝A sin（3x+φ），∵对称轴为x 和x，∴φ，∴φ＝kπ，∵0＜φ＜π，∴φ，f（x）＝A sin（3x），∵f（0）＝A sin，∴A则f（）＝A sin（φ），故选：C．11．（5 分）已知抛物线C：y2＝4x 和直线l：x﹣y+1＝0，F 是C 的焦点，P 是l 上一点过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q，则△PQF 外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π【解答】解：如下图所示，设过点A 所作的切线与抛物线C 相切于点M（x0，y0），则，易知，直线PM 的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，直线PM 交y 轴于点，所以，直线FQ 的斜率为，∵k PM•k FQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，将直线l 的方程与PM 的方程联立得，解得，所以，点P 的坐标为，由两点间的距离公式可得，所以，当y0＝0 时，|PF|取得最小值，则△PFQ 的外接圆的半径的最小值为，因此，△PFQ 的外接圆的面积的最小值为．故选：A．12．（5 分）设a 为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0 时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0 时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1 时，f（x）递增；x＜a﹣1 时，f（x）递减，可得x＝a﹣1 处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，可得x＜a﹣1 时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0 时，f（x）＜0，故正确．故选：D．二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分13．（5 分）已知双曲线1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为 y＝±x ．【解答】解：双曲线1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a＝1，所以双曲线方程为：1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．（5 分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0 的x 的取值范围为 [，+∞）．【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|，则f（x）为奇函数且在R 上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x，即x 的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．15．（5 分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD，E 为AD 的中点现分别沿BE，CE 将△ABE，△DCE 翻折，使点A，D 重合，记为点P，则几何体P﹣BCE 的外接球表面积为．【解答】解：∵AB＝1，AD，E 为AD 中点，可得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE 为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R，∴R，∴外接球表面积为4π，故答案为：．16．（5 分）等腰直角△ABC 内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，1，则||的取值范围是 [，1] ．【解答】解：建立以点A 为直角坐标系的原点，AB，AC 所在直线为x 轴，y 轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则（﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），由1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，由图可知D（0，1）由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|，最大为|CD|＝1，故||的取值范围是：[，1]，故答案为：[，1]，三、解答题本大题共5 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p 为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4 成等比数列，求P 的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，若a1，a2，a4 成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0 舍去）；（Ⅱ）若p＝1，可得a n+a n+1＝n+1，当n 为偶数时前n 项和S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2+4+…+n•（2+n）；当n 为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+3+5+…+n（1+n）•．综上可得S n．18．（12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物80 81 8 85 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6 73 77 45理 3 3学号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 数学108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101 物理76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65 用这44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为22 号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31 号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B 两同学的成绩（对应于图中A、B 两点）剔除后，用剩下的42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B 两同学的数据，用全部44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0 与γ 的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16 号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i 统一化成标准分再进行比较，其中X i 为学科原始分，为学科平均分，s 为学科标准差）．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B 会降低变量间的线性关联程度，②44 个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42 个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42 个数据点更加贴近回归直线l，⑤44 个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0 且小于l 的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B 同学的物理分数大约是81 分；（Ⅲ）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z160.63，物理标准分为Z160.72，0.72＞0.63，故 C 同学物理成绩比数学成绩要好一些．19．（12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，E、F 分别是CD 边上的三等分点将△ADF，△BCE 分别沿AF、BE 折起到△AD′F、△BC′E 的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A 平面EFD′C′的距离．【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE 的垂线，垂足为M，N，连结MN，∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，∴D′M⊥平面ABEF，同理可证C′N⊥平面ABEF，∴D′M∥C′N，∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，∴D′C′∥平面ABEF．解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF 中，D′F＝AD′＝1，∴D′M，∵，∴V D′﹣ADF，设点A 到平面EFD′C′的距离为h，∵1，D′F＝DF＝1，∴S△DFD′，∴V A﹣DFD′，∵V A﹣DFD′＝V D′﹣ADF，∴，解得h，∴点A 平面EFD′C′的距离为．20．（12 分）已知过点D（4，0）的直线1 与椭圆C：1 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O 为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB 的面积：（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点T，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数？【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0 时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x 整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2，故B（，），所以△OAB 的面积为1，（Ⅱ）显然直线l 的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x 整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2，y1y2，设T（t，0），则k TA+k TB，因为直线TA 与TB 的斜率互为相反数，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）0，解得t＝1，故x 轴上存在定点T（1，0），使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数．21．（12 分）已知a 是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1）lnx，①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②若a＞0，则由f′（x）＝0 解得：x＝1 或x＝2a，（i）若2a＜1 即0＜a 时，由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a 或x＞1，故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）若2a＝1 即 a 时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；（iii）若2a＞1 即 a 时，由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1 或x＞2a，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；（Ⅱ）f（e a）＝a（e a﹣a2）﹣e a，由f（e a）＞﹣1 得a（e a﹣a2）﹣e a＞﹣1，故（a﹣1）e a＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，故（*）等价于e a＜a2+a+1⇔1，令g（a）（0＜a＜1），则g′（a）0，故g（a）在（0，1）递增，故g（a）＞g（0）＝1，故f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C 与l 的普通方程；（Ⅱ）若C 上存在点P，使得P 到l 的距离为，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为（θ 为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P 到直线的距离d，当时，即a 时，，当时，即：时，，由于：，．当a 时，，解得：故：a 的取值范围是：[．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若 f （1）+f（2）＞5，求 a 的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x 的不等式f（x）＜b 的解集为（﹣∞，），求a，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5 得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2 时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a，当a≤1 时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a，综上，a 的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a 时，x﹣a+x＜b，解得：x，当x＜a 时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．。
2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：对于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；对于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A 1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．y N=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y0），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，∴x0=±2．则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．+b n=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，【解答】解：（1）因为a n+1因为数列{a n}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附：【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P 1，P 2， 由数据知P 1==≈0.49，P 2==≈0.42，因为P 1＞P 2，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大； （2）因为k 1=0.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，根据临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，由OP∩OB=O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，所以，在Rt△DOP中，，所以OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，所以三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，所以，则有，所以椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，所以直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，所以当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等显然成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5分）复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．7B．8C．15D．164．（5分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0D．∃x0∉N*，f（x0）＞x05．（5分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，sin C＝，则＝（）A．B．C．2D．37．（5分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e8．（5分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．（5分）执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x ＝和x＝，若f（0）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P 作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为．14．（5分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0的x的取值范围为．15．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为．16．（5分）等腰直角△ABC内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，＝1，则||的取值范围是．三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i＝统一化成标准分再进行比较，其中X i为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，E、F分别是CD边上的三等分点将△ADF，△BCE分别沿AF、BE折起到△AD′F、△BC′E的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A平面EFD′C′的距离．20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？21．（12分）已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．2．【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得＝2﹣2i．∴．故选：A．3．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0故选：C．5．【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为p＝1﹣＝．故选：A．6．【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD＝，△ABD中由余弦定理可得，cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sin A＝，∵sin C＝，△ABC中，由正弦定理可得，，，∴BC＝则＝＝2，故选：C．7．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b的导数为y′＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．8．【解答】解：∵a＝log2＝log23﹣1，b＝log3＝log34﹣1，2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，c＝log＞＝1，∴a，b，c的大小关系是c＞a＞b．故选：B．9．【解答】解：模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．10．【解答】解：f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，∴T＝2（﹣）＝π，∵ω＞0，∴ω＝＝3，即f（x）＝A sin（3x+φ），∵对称轴为x＝和x＝，∴φ+，∴φ＝kπ，∵0＜φ＜π，∴φ＝，f（x）＝A sin（3x+），∵f（0）＝A sin＝，∴A＝则f（）＝A sin（φ）＝＝，故选：C．11．【解答】解：如下图所示，设过点A所作的切线与抛物线C相切于点M（x0，y0），则，易知，直线PM的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，直线PM交y轴于点，所以，直线FQ的斜率为，∵k PM•k FQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，将直线l的方程与PM的方程联立得，解得，所以，点P的坐标为，由两点间的距离公式可得＝，所以，当y0＝0时，|PF|取得最小值，则△PFQ的外接圆的半径的最小值为，因此，△PFQ的外接圆的面积的最小值为．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a ＝1，所以双曲线方程为：＝1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．15．【解答】解：∵AB＝1，AD＝，E为AD中点，可得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R＝＝，∴R＝，∴外接球表面积为4π×＝，故答案为：．16．【解答】解：建立以点A为直角坐标系的原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），由＝1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，由图可知D（0，1）由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|﹣＝，最大为|CD|＝1，故||的取值范围是：[，1]，故答案为：[，1]，三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，若a1，a2，a4成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0舍去）；（Ⅱ）若p＝1，可得a n+a n+1＝n+1，当n为偶数时前n项和S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2+4+…+n＝•（2+n）＝；当n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+3+5+…+n＝（1+n）•＝．综上可得S n＝．18．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42个数据点更加贴近回归直线l，⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B同学的物理分数大约是81分；（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z16＝＝≈0.63，物理标准分为Z16＝＝≈0.72，0.72＞0.63，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．19．【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，∴D′M⊥平面ABEF，同理可证C′N⊥平面ABEF，∴D′M∥C′N，∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，∴D′C′∥平面ABEF．解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF中，D′F＝AD′＝1，∴D′M＝，∵＝，∴V D′﹣ADF＝＝＝，设点A到平面EFD′C′的距离为h，∵＝1，D′F＝DF＝1，∴S△DFD′＝，∴V A﹣DFD′＝＝，∵V A﹣DFD′＝V D′﹣ADF，∴，解得h＝，∴点A平面EFD′C′的距离为．20．【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2＝，故B（，），所以△OAB的面积为×1×＝，（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，设T（t，0），则k TA+k TB＝+＝＝，因为直线TA与TB的斜率互为相反数，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝+＝＝0，解得t＝1，故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA与TB的斜率互为相反数．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1﹣）lnx＝，①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②若a＞0，则由f′（x）＝0解得：x＝1或x＝2a，（i）若2a＜1即0＜a＜时，由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a或x＞1，故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）若2a＝1即a＝时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；（iii）若2a＞1即a＞时，由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2a，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；（Ⅱ）f（e a）＝a（e a﹣a2）﹣e a，由f（e a）＞﹣1得a（e a﹣a2）﹣e a＞﹣1，故（a﹣1）e a＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，故（*）等价于e a＜a2+a+1⇔＞1，令g（a）＝（0＜a＜1），则g′（a）＝＞0，故g（a）在（0，1）递增，故g（a）＞g（0）＝1，故f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P到直线的距离d＝＝，当时，即a时，，当时，即：时，，由于：，．当a时，，解得：故：a的取值范围是：[．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．。
2019年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题定稿
2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.参考公式: 圆台侧面积公式：()S r r l π'=+.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B 等于 A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1 D ．{}1,22．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k = A ．21 B ．22C ．23D ．244．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于 A ．6 B ．6π C． D．5．函数2()12sin ()4f x x π=-+，则()6f π= A．2- B ．12- C ．12D．2 6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(12i)(i)z a =-+在复平面内对应的点为M ，则“12a >”是“点M 在第四象限”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第4题图第7题图 7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．3-B ．12-C ．13D ．2 8． 设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为A ．26B ．24C ．16D ．149. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线 28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 B． CD10. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为AB ．2 C． D ．4二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分）(一)必做题(11～13题)11. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 12. 已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则满足不等式()0f x >的x 的取值范围是________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 ．15．（几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，若3,2,1BC DE DF ===，则AB 的长为___________． 第11题图第15题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若10,BC =求ABC ∆的面积.17．（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值； （Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.18．（本题满分14分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n n n a b =的前n 项和为n T ，求n T .19．（本题满分14分）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，E ，F 分别是棱BC ，11B C 上的动点，且1//EF CC ，11CD DD ==，2,3AB BC ==. （Ⅰ）证明：无论点E 怎样运动，四边形1EFD D 都为矩形；（Ⅱ）当1EC =时，求几何体1A EFD D -的体积．20．（本题满分14分） 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为，,A B 分别是椭圆的左右顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）设(,)(0)C x y x a <<为椭圆上一动点，D 为C 关于y 轴的对称点，四边形ABCD 的面积为()S x ，设2()()3S x f x x =+，求函数()f x 的最大值.21．（本题满分14分）设a 为非负实数，函数()f x x x a a =--.（Ⅰ）当2a =时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数()y f x =的零点个数，并求出零点． 第19题图。
广东佛山普通高中2019年高三教学质量检测(一)数学(文)
广东佛山普通高中2019年高三教学质量检测（一）数学（文）文科数学本试卷共4页,21小题,总分值150分.考试用时120分钟. 本卷须知1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:棱锥的体积公式：13V Sh=. 一、选择题:本大题共10小题,每题5分,总分值50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1． 全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()UA B =ðA 、{13}x x -≤<B 、{13}x x -<<C 、{1}x x <-D 、{3}x x >2、等差数列{}na中，2=d ，且431,,a a a 成等比数列，那么=2aA 、4-B 、6-C 、8-D 、10-3、以下函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A 、y x=B 、sin y x =C 、x x y e e -=+D 、3y x =-4、i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且(1i)1i m n +=+，那么2i i m n m n +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 、iB 、i -C 、1D 、1- 5、椭圆2215x y m+=的离心率5e =，那么m 的值为A 、3B、3、253或36、“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数为A 、sin(2),3y x x π=-∈R B 、sin(2),3y x x π=+∈RC 、1sin(),26y x x π=+∈RD 、1sin(),26y x x π=-∈R8、一个简单几何体的正视图、侧视图如下图，那么其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的选项是A 、①②B 、②③ C 、③④D 、①④9.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，年龄都在[)20,45岁之间，利用那个残缺的频率分布直方图可能该市出租车司机年龄的中位数．．．大约是 A 、31.6岁 B 、32.6岁 C 、33.6岁 D 、36.6岁10.向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.假设4=a b ，那么12x y+的最小值为A 、32B 、2C 、94D 、【二】填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每题5分，总分值20分〕 (一)必做题(11～13题)11.某学校三个社团的人员分布如下表〔每名同学只参加一个社团〕学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，那么这三个社团人数共有_______________. 12.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y xy ，表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，那么y x z +=2的最大值为. 13.对任意实数b a ,，函数()1(,)||2F a b a b a b =+--，假如函数2()23,f x x x =-++()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14、〔坐标系与参数方程〕在极坐标系下，直线l 的方程为1)3cos(=-πθρ，那么点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.〔几何证明选讲〕如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的 切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.AC AB ⊥，1,2==PC PA .那么圆O 的面积为.【三】解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、〔此题总分值12分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，假设60B =， 且1411)cos(-=+C B . 〔1〕求C cos 的值；〔2〕假设5=a ，求△ABC 的面积.17、〔此题总分值12分〕文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为1W 、2W 、3W ，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为1W 、2W 、3W .〔1〕试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果〔如三科成绩均为A 记为()123,,W W W 〕；〔2〕求该同学参加这次水平测试获得两个A 的概率；〔3〕试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.18、〔此题总分值14分〕如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，4===CA BC PB ，E 为PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. 〔1〕求证：BE ⊥平面PAC ； 〔2〕求证：//CM 平面BEF ； 〔3〕求三棱锥ABE F -的体积.AP19、〔此题总分值14分〕圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，圆1C ,2C 关于直线l 对称.〔1〕求直线l 的方程；〔2〕直线l 上是否存在点Q ，使Q 点到(A -点的距离减去Q 点到0)B 点的距离的差为4，假如存在求出Q 点坐标，假如不存在说明理由. 20、〔此题总分值14分〕设a R ∈,函数()ln f x x ax =-. 〔1〕讨论函数()f x 的单调区间和极值; 〔2〕1 2.71828)x e ==L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求a 的值并证明:322x e>.21、〔此题总分值14分〕设*n N ∈，圆nC ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =的交点为(,)n n N x y ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)nA a .〔1〕用n x 表示n R 和n a ； 〔2〕假设数列{}n x 满足：1143,3n n x x x +=+=.①求常数p 的值使数列{}1n n ap a +-⋅成等比数列；②比较na 与23n ⋅的大小.2018年佛山市一般高中高三教学质量检测〔一〕数学试题〔文科〕参考答案和评分标准【一】选择题本大题共10小题，每题5分，共50分、题号 12345678910答案A B B D D A C B C C【二】填空题本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分、11、15012、613、314、213-15、π49【三】解答题本大题共6小题，共80分、解承诺写出文字说明、演算步骤或推证过程、16、〔此题总分值12分〕解：〔1〕∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B=+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-=…………………6分〔2〕由〔1〕可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分在△ABC 中，由正弦定理Aa Bb Cc sin sin sin ==∴8sin sin ==A C a c ,5sin ==a Ab b …………………10分 ∴310238521sin 21S =⨯⨯⨯==B ac .…………………12分17、〔此题总分值12分〕解：〔1〕该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的可能结果有8种， 分别为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）；…………………4分〔2〕由〔1〕可知，有两个A 的情况为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）三个，从而其概率为38P =…………………8分〔3〕方案【一】该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件概率大于85%，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （），概率是70.87585%8P ==>.…………………12分方案【二】该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A 的事件概率大于85%，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （），概率是70.87585%8P ==>.……………………12分 18、〔此题总分值14分〕〔1〕证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ，∴AC PB ⊥…………………1分 由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥…………………………2分 又 PBCB B =，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥…………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分PCAC C =，∴BE ⊥平面PAC …………………………6分〔2〕取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ， ∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG .……………7分∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ，∴//CG 平面BEF .……………8分同理可证：//GM 平面BEF . 又CGGM G =，∴平面//CMG 平面BEF .…………9分∵CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF .…………10分 〔3〕由〔1〕可知BE ⊥平面PAC又由可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF…………12分 ∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEFB ABE F因此三棱锥ABE F -的体积为932.…………14分19、〔此题总分值14分〕解：〔1〕因为圆1C ,2C 关于直线l 对称，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)，……………………2分显然直线l 是线段12C C 的中垂线，……………………3分线段12C C 中点坐标是(2,1)，12C C 的斜率是1212021402y y k x x --===---，……………………5分因此直线l 的方程是11(2)y x k-=--，即23y x =-.……………………6分 〔2〕假设如此的Q 点存在， 因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 因此Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上，……………………10分 又Q 点在直线l 上，Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………12分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 因此点P 的轨迹上是不存在满足条件的点Q .……………………14分 20、〔此题总分值14分〕 解：在区间()0,+∞上,11()ax f x a xx-'=-=.……………………2分①假设0a ≤,那么()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,无极值；……………………4分②假设0a >,令()0f x '=得:1x a=.在区间1(0,)a 上,()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上,()0f x '<,函数()f x 是减函数;在区间()0,+∞上,()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,无极值；……………………7分 ③当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a，递减区间是1(,)a +∞， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--.……………………9分(2)0,f =∴102-=，解得:a =.……………………10分∴()ln f x x x=.……………………11分又323()022e f e =->Q ,5325()022e f e =-<,3522()()0f e f e ∴⋅<……………………13分 由(1)函数()f x在)+∞递减,故函数()f x 在区间3522(,)e e 有唯一零点,因此322x e>.……………………14分21、〔此题总分值14分〕 解：(1)y =与圆nC 交于点N,那么2222,n n n n n nR x y x R x x =+==+……………………2分 由题可知，点M 的坐标为()0,n R ，从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=,……………………3分由点(,)n n N x y 在直线MN 上得:1nnn nxy a R +=,……………………4分将n R =n y =:1n n a x =+ (6)分(2)由143n n xx +=+得：114(1)n n x x ++=+，……………………7分又114x +=，故11444n n n x -+=⋅=，442n n n n a ∴=+=+……………………8分①11142(42)(4)4(2)2n n n n n n n n a p a p p p +++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅，22112142(42)(164)4(42)2n n n n n n n n a p a p p p ++++++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅令211()n n n n ap a q a p a +++-⋅=-⋅得：(164)4(42)2(4)4(2)2n n n n p p q p q p -⋅+-⋅=-⋅+-⋅……………………9分由等式(164)2(42)(4)2(2)n n p p q p q p -⋅+-=-⋅+-对任意*n N ∈成立得： 164(4)842(2)6p q p pq p q p p q -=-=⎧⎧⇔⎨⎨-=-+=⎩⎩，解得：24p q =⎧⎨=⎩或42p q =⎧⎨=⎩故当2p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为4的等比数列；当4p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为2的等比数列。
广东佛山S7高质量发展联盟七校联考数学试卷--参考答案
2023-2024学年上学期佛山市S7高质量发展联盟高三联考试卷数学学科参考答案正确；，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；种安排方法，A正确；种安排方法，B错误；1=，故D正确；2()451225727P ξ==⨯⨯=()1211457235P ξ==⨯⨯=()42115113557257270P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()451265727P ξ==⨯⨯=所以ξ的分布列如下：ξ12456P135137027135137027数学期望()11321132123012456357073570735E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………12分21．【详解】（1）由题可知452p+=，解得2p =.所以E 的标准方程为24y x =；…………2分（2）（i ）由（1）知，2044y =⨯，且00y >，解得04y =，所以(4,4)P .设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121144444PA y k y y -==+-，同理可得，244PB k y =+，则1244444PA PB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124200y y y y +++=.当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为221211212444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，整理得()121240x y y y y y -++=.所以()11420(4)0x y y y --++=，即()12445y x y y +=-+，所以直线AB 过定点(5,4)-；当直线AB 的斜率不存在时120y y +=，可得11220,5y x ==.综上，直线AB 过定点(5,4)-.…………7分（ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(5)454y k x kx k =--=--，与抛物线E 联立得24,54y x y kx k ⎧=⎨=--⎩，消去x 得()22221084(54)0k x k k x k -++++=，由题意0∆>，所以222121221084(54),k k k x x x x k k ++++==.所以()()2211221222(54)1084||||1111k k k FA FB x x x x x x k k +++⋅=++=+++=++。
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a ≤b?a,b输出nb=2b a =α2+a n=n+1否是输入n=1结束开始2019届广东省佛山市高三七校联合体交流数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|20A x N x x =∈-≤，{}|12B x x =-≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 2.设i 为虚数单位，则复数13|1i z i|-=+的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +3．现有编号为A ，B ，C ，D 的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A ，B 两本书不被同一位同学分到的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．23 D ．124. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ）A ．4B ．2C . 2-D ．4-5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．221412x y -= D ． 221124x y -= 6. 若实数x ，y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（ ）A ． 10B ． 4C . 9D ． 107.宋元时期名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺， 松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图， 若输入的,a b 分别是5，2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C . 4D ．5第5题图8. 函数1()cos 1xxe f x x e -=+ 的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是 11,BC CD 的中点，则下列说法错误的是（ ） A ．MN 与1CC 垂直 B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行10.已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 满足()()f x f x -=-，且直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在(0,)4π上单调递减B ．()f x 在(,)88π3π上单调递减 C ．()f x 在(0,)4π上单调递增 D ．()f x 在(,)88π3π上单调递增 11. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为060，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的( )倍A ．22B ．23C . 4D ．612. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()|1|1()132x g x x -=-<<，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C .6D ．8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.设向量(,4)a x =- ，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =_________；14．已知函数()()0af x x b x x=++≠在点()()1,1f 处的切线方程为25y x =+，则a b -=______； 15. 定义12nnp p p +++ 为n 个正整数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++= _________； C 1D 1 B 1 A 1N MBCDA频率/组距0.030.020.015BCQDAP16.已知P 是抛物线2:4C y x =上的动点，点Q 在圆()()22:331C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是___________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos B 3=，点D 在线段BC 上． (Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为423，求sin sin BADCAD∠∠的值．18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四形,22AB AD ==,060DAB ∠=,PD BD =,，且PD ⊥底面ABCD .(Ⅰ) 证明：BC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A PBQ -的体积.19. (本小题满分12分)在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内 含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以x （单位：斤）（其中50100x ≤≤）表示米粉的需求量， T （单位：元）表示利润.(Ⅰ)计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数； (Ⅱ) 将T 表示为x 的函数； （Ⅲ）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率.ABCD20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到定点(3,0)F 的距离和它到定直线433x =的距离比为32,记动点M 的轨迹为Ω. (Ⅰ) 求Ω的方程；（Ⅱ）设过点(0,2)-的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积为1时，求AB .21.(本小题满分12分)已知函数()1f x ax =-，()x g x e =(Ⅰ) 设函数()()()G x f x g x = ，讨论函数()G x 的单调性； （Ⅱ）求证：当[]1,1a e ∈+时，()()1f x g x x ≤+-请考生在第（22）、（23）三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系x y O 中，曲线C 的参数方程为33cos (3sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的方程是210x y +-=，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ) 求直线l 和圆C 的极坐标方程；(Ⅱ) 已知射线:=OM θα(其中0α<<π)与圆C 交于,O P ，射线:2OQ θαπ=+与直线l 交于点Q ， 若6OP OQ = ，求α的值.QDCABP23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =--+. (Ⅰ) 求不等式2()0f x -<<的解集A ； (Ⅱ) 若,m n A ∈，证明：142mn m n ->-.文科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACCBDCBDDAB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14. 8- 15.102116. 3 17.【解析】（Ⅰ） 在ABC ∆中，1cos 3B = 22sin 3B ∴= ………………………………2分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠, 又2AB =，4ADB π∠=，22sin .3B =83AD ∴=. …………………………………………5分(Ⅱ) 2BD DC = ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=, …………………………………………6分 又423ADC S ∆=，42ABC S ∆∴=， 1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠ ,6BC ∴=， ……7分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．42AC ∴=，……8分1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ ，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC S S ∆∆= ………10分 sin 2sin BAD AC CAD AB ∠∴=⋅∠， sin 242sin BAD ACCAD AB∠∴=⋅=∠ ……………………………………12分18.【解析】(Ⅰ) 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD A =+-∠=∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，……………2分∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥. ……………4分∵PD BD D = ，∴BC ⊥平面PBD . ……………………………………………………6分 （Ⅱ）因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥A PBQ -的体积A PBQ V -与三棱锥A QBC -的体积相等， 而12A QBC Q ABC P ABC V V V ---==11111334434P ABCD V -==⨯⨯⨯⨯=. 所以三棱锥A PBQ -的体积14A PBQ V -=. ……………………………………………………12分 19.【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图知()10550.015650.02750.03850.015950.0275.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………3分所以平均数为75.5，众数为75，中位数为75. ……………………………………………5分 (Ⅱ)一斤米粉的售价是4.4522⨯=元.当5080x ≤≤时， ()22108028020640T x x x =-⨯+-=- …………………………6分当80100x <≤时， 22801080960T =⨯-⨯= ………………………………………7分 故20640,5080960,80100x x T x -≤≤⎧=⎨<≤⎩ ……………………………………………………8分（Ⅲ）设利润T 不少于760元为事件A ，利润T 不少于760元时，即20640760x -≥.解得70x ≥，即70100x ≤≤.由直方图可知，当70100x ≤≤时，()()100.030.0150.020.65P A =⨯++=. ………………………………………………11分故该天食堂利润不少于760元的概率为0.65. ………………………………………12分 20.【解析】(Ⅰ)设(,)M x y ，则22(3)3243||3x y x -+=-，………………………………………2分 两边平方整理得Ω的方程为2214x y +=……………………………………………………5分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=，……………………………………6分 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k=+， ……………8分 从而2212121()4AB k x x x x =+⋅+-222414314k k k+⋅-=+， …………………………9分 又点O 到直线AB 的距离221d k =+，所以AOB ∆的面积2214431214k S d AB k -===+，整理得22(47)0k -=，即274k =（满足0∆>）， ………………………………………11分 所以222414311142k k AB k +⋅-==+. ……………………………………………………12分 21.【解析】(Ⅰ)由题得()()()(1)x G x f x g x ax e ==-，()(1)x G x ax a e '=+- ………………1分 ①当0a =时，()0x G x e '=-<，此时()G x 在(,)-∞+∞上单调递减，…………………………2分 ②当0a >时，令()0G x '>，得1a x a ->-，令()0G x '<，得1a x a-<-， ∴()G x 在区间1(,)a a --∞-上单调递减，在区间1(,)a a--+∞上单调递增， ………4分 ③当0a <时，令()0G x '>，得1a x a -<-，令()0G x '<，得1a x a->-， ∴()G x 在区间1(,)a a --∞-上单调递增，在区间1(,)a a--+∞上单调递减， ………6分 （Ⅱ）要证()()1f x g x x ≤+-，即证(1)x a x e -≤，令()(1)x F x e a x =--，…………………7分 当1a =时，()0x F x e =>，∴(1)x a x e -≤成立； ………………………………8分 当11a e <≤+时，ln(1)'()(1)x x a F x e a e e -=--=-， ………………………………………………9分 当ln(1)x a <-时，'()0F x <；当ln(1)x a >-时，'()0F x >，∴()F x 在区间(,ln(1))a -∞-上单调递减，在区间(ln(1),)a -+∞上单调递增， ∴[]ln(1)()(ln(1))(1)ln(1)(1)1ln(1)a F x F a ea a a a -≥-=---=---． ………………………10分∵11a e <≤+，∴10a ->，[]1ln(1)1ln (1)10a e --≥-+-=，∴()0F x ≥，即(1)xa x e -≤成立，故原不等式成立． ………………………………………………12分 22.【解析】(Ⅰ)将cos ,sin x y ρθρθ==代入直线l 的直角坐标方程， 得cos 2sin 10ρθρθ+-=,即1cos 2sin ρθθ=+. ………………………………………2分圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=，所以圆C 的极坐标方程为6cos ρθ= ……………4分(Ⅱ)由题意得11||6cos ,||2cos sin cos()2sin()22OP OQ ααααα===ππ-+++ ……………7分则6cos 62cos sin ααα=-，解得tan 1α=，又因为0α<<π，所以4απ= ………………………10分23.【解析】(Ⅰ)依题意，()3,2,1221,21,3,1,x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪-≥⎩由2210x -<--<，解得1122x -<<，故11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭………………………………………5分 (Ⅱ)由（1）可知，2211,44m n <<；因为22144mn m n --- ()()()()22222218164241410mn m n m mn n m n =-+--+=-->，故22144mn m n ->-，故142mn m n ->-. …………………………………………10分。