D2_1数列极限(11级用)
D1_2数列的极限
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,
),
求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
M n
n N1 n
n
2
2
2
.
n
所以 lim a1 a2 an A.
n
n
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三、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因 lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
π
lim
n
1
1
π n2
1
同时除以分母中
n 的最高次幂
lim
n
n
n2
1
π
n2
1 2π
n2
1 nπ
1
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例7. 若
lim
n
an且
A,
则an 0,
lim n
n
a1a2
an
A.
证明:
因为
an
0,
lim
d2_1数列的极限与函数的极限
充分大的程度
“ε - M 语言 ”定 义 ∀ε > 0 , ∃M > 0 , 当| x |> M 时， 恒有 | f ( x ) − A |< ε 成立， lim f ( x ) = A 成立， 则
x →∞
几何解释
| x |> M ⇔ x < − M , x > M
| f ( x ) − A |< ε ⇔ A − ε < f ( x ) < A + ε
极限。 数列 {xn } 以A为极限。 成立, 成立, 则称当 n → ∞ 时 ，
{x 收敛于数 或称数列 {xn } 收敛于数 A
记作: 记作: lim xn = A ,
n→ ∞
否则,称数列是发散的. 否则,称数列是发散的 发散
或 xn → A (n →∞).
" ε − N " 定义：
成立, 恒有 xn − A < ε 成立, ∀ε > 0, ∃N 自然数）当 n > N 时， , （自然数） 则 lim xn = A n→ ∞
20
提高题目 例3 设
1 x1 = 2 , L , xn = 1 + , xn −1
(n ≥ 2) ，求 lim xn n →∞
21
三、函数的极限
1、当 x → ∞ 时,函数f ( x ) 当 函数 限 的极
−∞
0
1
+∞
注意： 注意：
x→∞
x → +∞
x → −∞
22
1、
时函数 f (x)的极限 x →∞
{ }
1 2 3 4 5 n ,L 例如, 例如,数列 ( 1 ). , , , , ,L , 2 3 4 5 6 n+1 1 3 5 2k − 1 , , ,L , ,L 取奇数项: 取奇数项: 2 4 2k 6 2 4 6 2k , , ,L , ,L 取偶数项: 取偶数项: 3 5 7 2k + 1
2-1数列的极限
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立 . , 故收敛数列极限唯一.
21-59
2016/10/24
定理2.1.2（有界性） 如果数列收敛，则必有界.
即存在正数 M，使得对于一切 n=1,2,„，恒有 |xn|≤ M.
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
2016/10/24
如何用数学的语言来描述 当 n 时， xn a ？
当 n 无限增大时， xn 与 a 可以任意地接近。
xn a 可以任意地小，
当 n 充分大时， xn a 可以小于预先给定的 不论多么小的正数 ，
对于任意的 0 ，当 n 充分大时， xn a 。
1 n2 a 2 1 a2 1 n n n n
n a lim 1 n n
2 2
例2.1.4
证明 lim q 0, 其中 q 1.
n n
证
若
q=0则上式显然成立
下证
q≠0的情形
任给 0,
（不妨设 ＜1）
ε
x n 0 q n ,
ln n , ln q
xn a, 证 设 lim n
由定义, 取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
定义 2.1.1
称为无穷数列 ，简称为数列 ，记作 {xn}.数列中每一个数称为数列 的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项或者通项.
2-1数列的极限
无穷小量，简称无穷小。
tan 例如：当x 0 时，sin x 和 x 是无穷小量；
当 x x 时，x- x 是无穷小量；
当 x - 时， a (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 是无穷小量。 2 x 1
x
2.无穷小量的性质
推论 2 若 lim f ( x) A ， lim g ( x) B ，且 0 ，
x x
x N ( x , ) 时，恒有 f ( x) g ( x) ，则 A B 。
x x
1.3.5 函数极限的运算
仅讲lim x(的情形。 lim g ( x) B ，则 设 x f x) A ，
1 观察函数 ff((x)在(当 x 时的变化趋势。 定义：设 x) x a, ) 内有定义， A 为 一定数。
1 f ( x) x
1 0, X 0, x X , 恒有 f ( x) - A . lim f ( x) A. 解：当 x 时， f ( x) 无限趋向于零。 x x
o
x
2． x - 时函数 f (x) 的极限定义
定义：设 f (x) 在 (-, a) 内有定义，A 为一定数。
x -
lim f ( x) A o, X 0, x - X , 恒有 f ( x ) - A .
3． x 时函数 f (x) 的极限定义
x x
则 0 ， x N ( x , ) 时， f ( x) g ( x) 。
x x
推论 1（局部保号性） 若 lim f ( x) 0 （或 0 ） 0 ， x N ( x ,) 时， ，则
D2_1 数列极限
称 an 为数列的通项, 简记为数列{an }. 数列是自变量取正整数的函数
an f (n) (n N ).
上列数列的通项依次为.
an 1;
an (1)n1; an n;
an
1; n
an
1 2n1 .
如果 n 在正整数集 N 中变化, 且无限增大时, 数列{an} 的通项an 无限趋于一个确定的数a, 则称 数列{an } 收敛于 a, 或称 a 为数列{an } 的极限, 记为
1
1 n
n1
满足
2 1 1 n 1 1 n1 4, n 1, 2, n n
综上所述,
1
1 n
n
是单增有界数列,
1
1 n
n1
是单减有界数列.
由定理2.2 知道它们都收敛，且
lim 1 n
lim 1 n
1 n
n
lim 1 n
0.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
n
n 1)2
n n
2 1
n3
3n2 3n 2 (n 1)3
1
yn yn1
1
1 n(n
n1 2)
n n
1 2
[(n 1)2 ]n1 [n(n 2)]n1
n n
1-2数列极限
4.放大的技巧：利用各种不等式
歌谣：证明规律遵 关键要把准
N能找到 如何找N
执果索其因 依据ε找N 结论断言真
适当放大身
若把技巧问
不等式来寻
（二）数列极限的概念
1．数列的概念 2．数列极限的描述性定义 3．数列极限的精确定义 4．数列极限的意义
（二）数列极限的概念
1．数列的概念 2．数列极限的描述性定义 3．数列极限的精确定义 4．数列极限的意义
2.关于N
依赖于ε，有时可记作N（ε）.
不唯一.
例1 例2 例3 注
证明 lim 1 sin n 0
n n
2
证明 lim n a 1 (a 1) n
证明 lim qn 0 ( q 1) n
1.记住重要结论
2.证明的关键： 依据ε找N（N可以不同）
3.找N的方法： 常用“适当放大”的方法
取
N
1
1,
当 n N 时，1 1 1
n
数列极限的精确定义：
设{ xn}为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得当n N 时，不
等式 xn a 都成立, 那么就称常数a 是数列 { xn}的
极限,或者称数列{ xn}收敛于a ,记为
x n
M,
则称数列{ xn}有界,
否则,
称为无界.
定理2 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界.
注 (1) 如果数列xn无界, 那么数列xn一定发散.
(2) 如果数列xn有界, 数列 xn不一定收敛.
二、收敛数列的性质
（三）收敛数列的保号性
定理3
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111n a a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!nn n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112()122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n =）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim nn x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l解得：l =l （舍负）；∴lim n n x →∞．4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim nn c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++； ∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++． 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()b aJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!n n n n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n =112lim (1)(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ 11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12lim lim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sin sinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()1110n nxx n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+； 由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n -----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nkn k n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n ++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<，∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵10011()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()()1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n n x f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x S l +→∞→∞=+=（存在）； 对式子：12(1)2n n n x x x ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =l =lim n n x →∞．例15．证明：111lim(1ln )23n n n →∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n=++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n ---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim n n a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用． 例17．求：2lim (arctanarctan )1n a a n n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, ]1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()(), [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明， 若lim n n x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nn ααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列． 推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12limn n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略． 例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211limn n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211limn n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim1()x f x g x →=，且当n →∞时， 0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n →∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n →∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==； ∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,]2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, ]22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim n n x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a+的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：()1f x '=≤<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==解得：lim n n x →∞． 本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． （2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n n n ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn nn a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()111111011111111120101n n n A P P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0n n α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ=，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn n n n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim lim n n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
2-1数列的极限
5.数列以无穷大为极限 5.数列以无穷大为极限 定义1 定义1 设给定数列 xn 如果对任意 M > 0, 都 成立, ∃ N > 0, 当 n > N 时, 对一切 xn 都有 xn > M 成立, 以无穷大为极限. 则称数列 xn 以无穷大为极限.记为lim xn = ∞ n→ ∞ 例如, 例如, lim n = ∞. 同理可以定义 lim xn = +∞, lim xn = −∞. n→∞ n→∞ (1)无穷大是一种变化趋势 不是确切的极限. 无穷大是一种变化趋势, 注: (1)无穷大是一种变化趋势,不是确切的极限. 无穷大一定无界, (2) 无穷大与无界的区别: 无穷大一定无界, 但无界不一定是无穷大. 例如, 例如, xn = n + ( −1)n n 是无界的, 但不是 无穷大; 无穷大; 是无界的, 而 xn = n 是无穷大. 是无穷大.
n n n
lim x n = a , lim y n = b , 且 a > b
例3 (030203) 设 {a } , {b } , {c } 均为非负数列, 均为非负数列, 且 lim a
n→∞ n
= 0, lim b = 1, lim c = ∞,
n→∞ n n→∞ n
则下列结论是否
成立? 成立?
(1)定理中的条件 可以从某项以后成立. 注: (1)定理中的条件xn ≥ yn可以从某项以后成立. (2) 若 xn > yn ,
2 1 推不出 a > b 例如, xn = n , yn = n . 例如,
定理4 定理4 设 n → ∞ n→ ∞ 则一定存在一个 N , 当 n > N 时有 xn > yn .
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是单调增加的；若满足条件
则称数列是单调减少的。
例如, 单调减少
2 , 4 , 8 , , 2n , 单调增加
二、数列极限的定义
我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形 来推算圆面积的方法：割圆术，就是极限思想在几何 学上的应用。 引例
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。
刘徽割圆术
即所给的数列是有界的. 根据本节定理3可知， 数列极限存在.
设
n
lim xn a
在等式
xn 2 xn1
的两边求极限，得到
a 2a
a a20
2
a 2 a 1(舍去）
n
lim xn 2
作 业
P35 1，2
（答案写在书上）
例3. 证明 证: 利用夹逼准则 . 由
2
1 n1
n
1 n
1 1 由 n n 1 取 只要 n 100 N 100 即从101 项起以后的所有点 x101, x102 , x103 xn 1 1 即有 xn 2 与 2 的距离小于 100 100 1 取 只要 n 10000 N 10000 即从10001 项起以后的所有点 x10001, x10002 , xn 1 1 即有 xn 2 与 2 的距离小于 10000 10000
xn 2n (n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn (1) n1 趋势不定
观察可见,
xn 的变化趋势只有两种： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。 由此， 得到数列极限的初步定义如下：
确定的常数 A , 则称 A 为数列 xn 的极限，记作
n
lim xn A 或
xn A (n )
若当 n 时， xn 不接近于任何确定常数A ,则称 数列 xn 没有极限。 称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发散数列。 例如
n
lim
1
n
n 1
n
1. xn 1
n 1 1
n
1 x3 3
xn 0
1 x4 4
x1 1
1 x2 2
x2
1 2
......
x1
x4 x6
x7 x5 x3 1 o 3
1
2n 1 2. xn n
n 1
( 1)n1 2 n
xn 2
3. xn 2n
xn 称为
1,1,1,1,(1)n1 ,
数列的几何意义：数列 {xn } 可以看作数轴上的一个 动点， 它依次取数轴上的点
x1 , x2 ,, xn ,.
数列与函数： 数列 {xn } 可以看作自变量为正整数 n 的函数（也称为整标函数）：
xn f (n)
它的定义域是全体正整数.
lim xn a 或
xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
观察下列数列的变化趋势
1 1 1 1 1 , , , , , x n 0 ( n ) 2 4 8 2 2
n
n
n 1 1 ( n ) xn n
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子 引例2.
一尺之棰，第一次去其一半， 第二次再去所余之半， 如此分割下去问：共去掉棰长多少？ 解：
0 1 1
8 4 1 2
1
1 22
1 1 2 n 3 2 1 1 0 此是公比为 q 的等比数列 n 2 2 n 1 1 n (1 ) 1 1 1 2 2 1 共去棰长 sn 2 n 1 1 1 2 2 2 2 1 2 n
n 1,2,
2. 数列的性质
1）数列的有界性
数列 都满足 则称数列 例如, 若存在正整数 ，使得对于一切 ，
是有界的，否则称数列为无界的。 有界 有界
2 , 4 , 8 , , 2n ,
无界
注： 数列的有界性对数列中的每一项都成立，没 有例外。
2）数列的单调性 数列 ，若满足条件
则称数列
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣”
—— 刘 徽
正六边形的面积 A 1 正十二边形的面积 A 2
正 6 2
n1
用正多边形的面积逼 近圆面积的几何演示
边形的面积 A n
R
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽割圆术教学演示实验.exe
观察下列数列的变化趋势：
当 n > N 时, 总有
为具体的说明 n 与 之间的关系 考察一般项为 n 1 1 数列， xn 2 n 当 n 无限增大时 xn 与 2 的距离无限的小.
2n 1 n1 lim 2 n n
0
欲使
2n 1 xn 2 n
n 1
三、收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性) 收敛数列的极限一定唯一. 由定理1知, 数列{(– 1)n}是发散的. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 则存 在正数M, 使得对所有的n , 都有|xn| M. 注意：有界数列不一定收敛 例xn= (– 1)n
三、数列极限存在的充分条件
4. xn 1
观察可见,
n 1
xn
1 xn 在－1 与 1 之间跳动 1
不是无限地接近 xn的变化趋势只有两种：
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。 由此， 得到数列极限的初步定义如下：
数列极限的描述性定义
若当 n 时，一般项 xn 无限地接近于某个
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
a xn a ( n N ) 即 xn ( a , ) ( n N )
几何解释 :
(
a xn a
)
(n N )
xN 1
x1 a x N 1 a x N 2
a x2
1 把所去之半排列起来： 2
n
lim
1 n1
n
n lim 2 n
0
2n 1 n1 lim 2 n n
n
1 n1= 不存在 lim
* 数列极限的精确定义：
若数列
及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
n
的极限ห้องสมุดไป่ตู้ a , 记作
例1 证
证明数列
的极限为1
对 0, 要使|xn –1|, 只要
故 则当n N 时, 有
即
例2
证明
n n n 1 0 2 2 . 证 2 2n 9 2n 9 2n 2n n 0 , 对 >0 , 要使 2 2n 9
1 1 1 故n , . 取N 只要 2 , 2n 2 n 0 , 则当 n > N 时,有 2 2n 9 n lim 2 0. 即 n 2n 9
1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n （参见第五节）
lim xn a
例1. 证明 证: 利用夹逼准则即得
由极限的定义可以看出，
2. 单调有界数列必有极限 定理3 如果数列 {xn } 是单调、有界的数列， 则数列 {xn } 的极限必存在.
1 1 1 n2 n 2 2 2 2 n π n 2π n nπ n π
且
1 n2 lim 1 lim 2 π n 1 2 n n π n 1 1 1 lim n 2 2 1 2 n n π n 2 π n nπ
1 2 2 3
数列的极限
n 3 ，…, n 1 4
,…
无限的写下去，这些数的尽头是什么？
这是数列的极限的问题，本节研究的主要
内容就是数列的极限.
一、数列的概念与性质 1. 数列的概念 定义1 按照一定法则依次排列的一列无穷多个数
x1 , x2 ,, xn ,
称为无穷数列，简称数列， 记为 {xn }. 第n项 数列中的每一个数称为数列的项， 数列的一般项或通项. 例如
所以，数列是单调增加的. 又因为 0 x1 2 2, 0 x2 2 x1 2 2 2
0 x3 2 2 2 2 x2 2 2 2
……
0 xn 2 xn1 2 2 2
故对于数列的所有的项都满足不等式
xn 2
例2 证明数列 2 , 2 2 , , 2 2 2 , 的极限存在，并求此极限。 证：设
x1 2
x2 2 2 2 x1
x3 2 2 2 2 x2
xn 2 xn1
显然数列的项满足
x1 x2 x3 xn
0
2n 1 n1 lim 2 n n
n
lim 2 n
lim 1
n 1
n
= 不存在
为了精确的反映 xn 接近 a 的程度与 n 之间的关系给出 定义 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
第二章
极限与连续
极限思想是微积分的基本思想，微积分
的一系列重要概念，如函数的连续性、导数
以及定积分等等都是借助于极限来定义的.