第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验

第一章 多元正态分布的参数估计

一、填空题

1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。

2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量()'

=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。

4．一个p 元函数(

)

p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。 5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，

则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。

6.多元正态分布的任何边缘分布为 。

7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则

~d AX + 。

8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。 11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 1

1

-具有 、 和 。

12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则

~X ，X 和S 。

13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵

()()()()∑='

--=n

X X X X S 1~ααα 。

14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。 二、判断题

1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。

2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合

()p R X ∈'αα都是一元正态分布。

3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：

（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B

4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。

5．一般情况下，对任何随机向量()'=X

X

X p

,,1

，协差阵∑是对称阵，也

是正定阵。

6．多元正态向量()'=X X X p

,,1

的任意线性变换仍然服从多元正态分布。

7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。 8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。

9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。

10．

S n

1

是∑的无偏估计。 11.Wishart 分布是2

χ分布在p 维正态情况下的推广。

12．若()()∑,~μαp N X ，n ,,1 =α，且相互独立，则样本离差阵

()()()()()∑-'

--=∑=,1~1

n W X X X X S n

p ααα

13．若()∑,~n W X p ，C 为奇异矩阵，则()c c n W C CX p '∑',~ 三、简答题

1.多元正态分布有哪些基本性质?

2.均值向量和协差阵的最大似然估计量有哪些优良性质?

3.维希特分布有哪些基本性质?

4.试述多元联合分布和边缘分布之间在关系。 四、证明题

1.样本均值向量和离差阵也可以用样本资料X 直接表示如下：

n X n X 11'=

，X n I X S n n n ⎪⎭

⎫

⎝⎛'-'=111

其中：()'=1,,1,11 n ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001

I

试分别给以证明。

五、计算题

1.已知随机向量()'

=21,X X X 的联合分布密度函数为

()()()()()()()[]

()()

2

2

21212122,c b a b c x a x c x a b a x c d x x f -------+--=

其中,b x a ≤≤1,d x c ≤≤2.求:

(1)随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差; (2)随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数; (3)判断1X 和2X 是否相互独立。

第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验

一、填空题

1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情

况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。

2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12

-'

=，则~12

T np

p n +- 。 3.在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。

二、判断题

1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12

-'

=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22

n p T T

。