几个幂函数图像
幂函数与函数图像_课件
► 探究点2 幂函数的图象与性质
例 2 已知幂函数 f ( x)m22m3 (m∈N*)的图象关
于 y 轴 对 称 ， 且 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 减 函 数 ， 求 满 足
m
m
(a 1) 3 (3 2a) 3 的 a 的取值范围．
[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值， 再由幂函数的单调性确定a的值．
y＝f(x)―y―×a→y＝af(x)；
Ⅱ、函数 y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a>1)或压缩
(0<a<1)为原来的1a倍得到．
y＝f(x)―x―×a→y＝f(ax)．
(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对 称性、周期性等等．
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、 描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列 表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象， 关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有 单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到 所要的函数图象．
已知图象变换：①关于 y 轴对称；②关于 x 轴
方法三：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y＝ ex＋1 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变 得函数 y＝e1＋2x 的图象，最后关于 y 轴对称得函数 y＝ e1＋2(－x)＝e1－2x 的图象；
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
经典数学函数图像大全
函数图形 基本初等函数 幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质) 极限的性质 (4) (局部有界性) 极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x 的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e 的值(1)e 的值(2)等价无穷小(x->0)sinx 等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx 等价于x 1-cosx 等价于x^2/2sinx 等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线实用标准文案精彩文档y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1) 夹逼定理(2) 数列的夹逼性 (1) 数列的夹逼性 (2)。
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数的图像及性质
函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为 (0，＋∞)， ∴函数 f(x) 在[1，＋ ∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为 f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数 y=xp-3 (p∈N*）的图象关于 y轴
对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足
p
p
(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a ) 3 的a的取值范围 ．
解：函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如
下：
任f(x取1)－x1、f(xx22)∈＝(0x，212 ＋? x∞222)，? 且2(xxx21122<?xx2x22，12)
?
2(x1
? x2)(x2 x12 x22
?
x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x 1<x2，∴ x1＋x2>0，x2－x1>0， x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，
又∵ p ∈N*，∴ p ＝1，或 p ＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于 y轴对称，∴ p－3是偶数，
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
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函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2) 幂函数（3) 指数函数（1）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（6）y=sin(1/x)(1) y=sin(1/x)(2)WOIRD格式y=[1/x](2 )y=sin(1/x)(3)y=sin(1/x)(4)y=[1/x](1)y=21/xy=21/x(2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx(x->∞)绝对值函数y=|x| 符号函数y=sgnx 取整函数y=[x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1)(局部保号性) 极限的性质(2)(局部保号性)极限的性质(3)(不等式性质) 极限的性质(4)(局部有界性) 极限的性质(5)(局部有界性)两个重要极限y=sinx/x(1)y=sinx/x(2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x(1)y=(1+1/x)^x(2)lim(1+1/x)^x的一般形式(1) lim(1+1/x)^x的一般形式(2) lim(1+1/x)^x的一般形式(3) e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于x arcsinx等价于xtanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线WOIRD格式y=(x+1)/(x-1)数列的夹逼性(1) y=sinx/x(x->∞)数列的夹逼性(2) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)。
幂函数的图像与性质
x 1, x 1, 解析: x 1 ,有 解得 x<1, e 2 x 1 1n2,
x 1 x 1, 或 1 有 解得 1≤x≤8, x8 3 x 2
综上所述, {x|x≤8}.
这节课你有什么收获？
总结 (1)幂函数的定义； (2) 幂函数的图像与性质；
（慢增） （快增）
提高训练
练习 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内
的图象，已知 a分别取
1 四个值，则相 1,1, , 2 2
C4 C2 C3 C1 应图象依次为:________
1
范例讲解 考点三：幂函数的单调性 例1. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
y=x0
6
-1
-2
-3
-4
幂函数在第一象限的图像
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
1
＝1
0 1
0
1
在直线x=1的右侧，从下往上， 幂指数增大
0< <1
图 像 特 点
第一象限
>1
y y
<0
y
1 o 1 x
1 o
1
1
x
o
1
x
性 质
都经过定点（1，1） 在[0，+∞)为 在[0，+∞)为 在（0，+∞)为 单调增函数. 单调增函数. 单调减函数.
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
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