人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题(含答案)

2021-2022人教版九年级数学下册
第二十八章锐角三角函数
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tan A＝，则下列判断正确的是( )
图1
A．∠A＝30° B．AC＝
C．AB＝2 D．AC＝2
2．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
3．如图2，直线y＝x＋3分别与x轴、y轴交于A，B两点，则cos∠BAO的值是( )
图2
A. B. C. D.
4．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，坝顶BC宽10米，坝高BE为12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
图3
A．26米 B．28米
C．30米 D．46米
5．如图4，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP的值为( )
图4
A. B．2
C. D.
6．如图5，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )
图5
A. B. C. D.
7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米处的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D处测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：≈3.162)( )
图6
A．15.81米 B．16.81米
C．30.62米 D．31.62米
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
8．计算：cos30°＋sin30°＝________.
9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝，则α＝__________.
10．如图7，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cos A＝________．
图7
11．如图8，一山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．
图8
12．如图9，菱形ABCD的周长为20 cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为________cm2.
图9
13．如图10所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝________.
图10
14．如图11所示，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.
图11
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(8分)计算：|－3|＋tan30°－－(202X－π)0.
16．(10分)如图12所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.求BC 的长．
图12
17．(12分)如图13，小明在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到达点F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．
图13
18．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1∶，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m到达点E处，再测得∠FEA＝60°.
(1)求山坡BC的坡角∠BCD的度数；
(2)求塔顶A到CD的铅直高度AD(结果保留整数，参考数据：≈1.73，≈1.41)．
图14
详解详析
1．D
2．[解析] C 由sin A＝，tan C＝，知∠A＝60°，∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
3．[解析] A 当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－4，
∴A(－4，0)，B(0，3)，
∴OA＝4，OB＝3.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，则cos∠BAO＝＝.故选A.
1.5，
4．[解析] D ∵坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1ޛ
∴AE＝1.5BE＝18米．
∵BC＝10米，
∴AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(米)．
5．[解析] A 在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20海里，PB＝60×＝40(海里)，故tan∠ABP＝＝＝.故选A.
6．B
7．[解析] A ∵BC＝10米，BD＝25米，
∴在Rt△ABC中，AB＝BC·tanα＝10tanα.
在Rt△ABD中，AB＝BD·tanβ＝25tanβ.
∵tanαtanβ＝1，∴AB2＝10tanα·25tanβ＝250，
∴AB＝＝5 ≈5×3.162＝15.81(米)．
8．[答案]
[解析] cos30°＋sin30°＝＋×＝.
9．[答案] 10°
[解析] 由特殊角的三角函数值可知α＋20°＝30°，则α＝10°.
10．[答案]
[解析] 如图．
由勾股定理，得AC＝2 ，AD＝4，
∴cos A＝＝＝.
11．[答案] 100
[解析] 根据题意，得tan A＝＝＝，所以∠A＝30°，
所以BC＝AB＝×200＝100(米)．
12．[答案] 24
[解析] 连接AC交BD于点O，则AC⊥BD.
∵菱形的周长为20 cm，
∴菱形的边长为5 cm.
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，
故可设OA＝4x cm，OB＝3x cm.
又∵AB＝5 cm，因此根据勾股定理可得，
OA＝4 cm，OB＝3 cm，
∴AC＝8 cm，BD＝6 cm，
∴菱形ABCD的面积为×6×8＝24(cm2)．
13．[答案] －1
[解析] ∵∠A＝45°，AD＝1，
∴sin45°＝＝，∴DE＝.
∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，∴AE＝DE＝CE＝，∠ADC＝90°，AD＝CD＝1，
∴AC＝，
∴BD＝AB－AD＝AC－AD＝－1，
∴tan∠BCD＝＝－1.
14．[答案]
[解析] 连接OM，MF，OM的反向延长线交EF于点C，如图所示，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MN.
∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE＝CF，
∴ME＝MF，而ME＝EF，∴ME＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，∴∠E＝60°，
∴cos E＝cos60°＝.
15．解：原式＝3＋×－2 －1＝3－2 .
16．解：在Rt△ABD中，∵sin B＝＝，AD＝1，
∴AB＝3.
∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝＝2 .
在Rt△ADC中，∵tan C＝＝tan45°＝1，
∴CD＝AD＝1，
∴BC＝BD＋CD＝2＋1.
17．解：由题意，得四边形CDMF为矩形，CD＝FM＝10米，AE＝CF＝DM＝1米．∵∠BCE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝CD＝10米．
在Rt△BEC中，sin∠BCE＝，
∴BE＝BC·sin∠BCE＝5 米，
∴AB＝BE＋AE＝(5 ＋1)米．
答：旗杆AB的高度为(5 ＋1)米．
18．解：(1)依题意，得tan∠BCD＝＝，∴∠BCD＝30°.
(2)如图，过点E作EG⊥CD于点G.
∵∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
∴∠ACE＝15°，∠DAC＝45°.
∵∠AEF＝60°，
∴∠EAF＝30°.
∵∠DAC＝45°，
∴∠EAC＝∠DAC－∠EAF＝15°，
∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE＝100 m.
在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴AF＝AE·sin60°＝50 m.
在Rt△CEG中，CE＝100 m，∠ECG＝30°，
∴EG＝CE·sin30°＝50 m，
∴AD＝AF＋FD＝AF＋EG＝50 ＋50≈137(m)．。