中考数学二次函数与圆
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
2023年中考数学难点突破----二次函数专题研究之二次函数图象中的圆
2
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分 别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
解：（1）直线y=-5x+5,x=0时，y=5 ，∴C(0,5) ； 当y=-5x+5=0时，x=1; ∴A(1,0)
【例2】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A （﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． （2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝ ，求点P的坐标；
（2）如图甲中，连接OP．设P（m， m2﹣m﹣4）． 由题意，A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP， ∴ ＝ ×2×4+×4×m﹣ ×2×（﹣ m2+m+4）， 整理得， m2+2m﹣15＝0， 解得m＝3或﹣5（舍弃）， ∴P（3，﹣ ）．
∴设抛物线表达式为：y=a(x+4)(x﹣2)
把C（0，4）带入得:4=a(0+4)(0﹣2)
∴a=﹣0.5
∴抛物线表达式为：y=﹣0.5(x+4)(x﹣2)=﹣0.5x2﹣x+4
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4，0)，
B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4，0)， B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴 交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)
第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。
解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。
中考数学压轴题二次函数与圆
中考数学压轴题二次函数与圆二次函数与圆是中考数学中的一个重要知识点。
在考试中，通常会涉及到用二次函数的性质来解决与圆相关的问题。
下面我们就来详细介绍一下二次函数与圆的关系。
首先，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数的一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图象是一个抛物线，具体的形状和位置取决于a、b、c的值。
在二次函数的图象上，有一些特殊点和特殊线。
特殊点包括顶点和零点，特殊线包括对称轴和切线。
顶点是抛物线的最高点或者最低点，对称轴是通过抛物线顶点的一条直线，切线是与抛物线相切的直线。
圆是一个平面上到一点距离固定的点的距离相等的所有点的轨迹。
圆的特点包括半径、直径、圆心、弧、弦和切线等。
圆心是圆上的任意一点，半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的一条线段，弧是圆上两个点之间的弯曲部分，弦是圆上任意两点之间的线段，切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来，我们将通过一些例题来探究二次函数与圆的关系。
例题1：已知二次函数y=2x²-4x+3，求与y轴相切的圆方程。
解析：对于与y轴相切的圆，我们可以首先求出二次函数的切线，然后通过切线的斜率和截距求出圆心和半径。
首先，我们知道切线的斜率等于二次函数在切点处的导数。
求导得到y'=4x-4、接下来，我们利用二次函数和切线的性质，将二次函数和切线联立求解。
因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为0。
代入切线方程，得到0=4x-4，解得x=1然后，我们将x=1带入二次函数的表达式中，得到y=2x²-4x+3=2*1²-4*1+3=1、所以切点坐标为(1,1)。
接着，我们通过圆心、半径、切点来确定圆的方程。
圆心的横坐标等于切点的横坐标，圆心的纵坐标等于切点的纵坐标加上半径。
因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为半径。
所以圆心的坐标为(1,1+1)=(1,2)。
二次函数与圆知识点总结
初三数学二次函数和圆的知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221211.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径 （4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………ABCD OABCDE O 平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD==AE=BEABC DEFOABCOABCDEA B COABCD∵ ∴ ∥=AB CD ACBDA BCO是半径垂直是切线7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 几何表达式举例： （1）∵BD 是切线，BC 是弦∴∠CBD =∠CAB （2）∵ ED ，BC 是切线∴ ∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1） ∵PA ·PB=PC ·PD∴……… （2） ∵AB 是直径∵PC ⊥AB∴PC 2=PA ·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例： （1） ∵PC 是切线，PB 是割线 ∴PC 2=PA ·PB （2） ∵PB 、PD 是割线∴PA·PB=PC ·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1） （2）几何表达式举例： （1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线 12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：(1) αn =n 360︒； (2) n1802n ︒=αABCDABCDEF PABOABCPABCDPAB O1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR ABCDP ABCPO ∵ EF AB=ABO几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：OCAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造Rt Δ.OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.O BC AD P圆外角转化为圆周角.OACD BP圆内角转化为圆周角.ODC PAB构造垂径定理.OACDPB构造相似形.M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直.01CN O2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行.NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直.CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行.CE A DB O两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.A CBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BAC OPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.OABCDE相交弦出相似.OP ABC一切一割出相似, 并且构造弦切角.OBCEADP两割出相似,并且构造圆周角.OABCP双垂出相似,并且构造直角.B ACD EF规则图形折叠出一对全等，一对相似.FEDBAC OGH圆的外切四边形对边和相等.ABOCD若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCDBAORtΔABC的内切圆半径：r=2cba-+.O补全半圆.ABCo1o2AB=2221)rR(OO--.CABo1o2AB=2221)rR(OO+-.AC D PO BPC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.BCDOAPO是圆心，等弧出平行和相似.D EMAB CFNG作AN⊥BC，可证出:ANAMBCGF=.。
初三 二次函数与圆知识点总结2
《圆》知识点总结一 基本概念（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）：圆的定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧.三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长.二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =πrL. （L 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：。
中考数学压轴题二次函数与圆
中考数(Shu)学压轴题二次函数与圆一(Yi)、二次函数与圆(Yuan)综合【例1】已知(Zhi)：抛物线与(Yu)轴(Zhou)相交于两(Liang)点，且(Qie)．（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．解得，．为正整数，∴．∴．解法二：由题意知，当时，．（以下同解法一）解法三：，．又．∴．（以下同解法一．）解法四：令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，∴．解得：．∴的取值范围是．解法二：由题意知，当时，．解得：．∴的取值范围是．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．∴∴．∴的(De)取值范围是．（Ⅲ）存(Cun)在．解法一(Yi)：因为过两点的(De)圆与轴(Zhou)相切于点，所(Suo)以两点(Dian)在轴的同(Tong)侧，∴．由切割线定理知，，即．∴，∴∴．解法二：连接．圆心所在直线，设直线与轴交于点，圆心为，则．，∴在中，．即．解得．（Ⅳ）设，则．过分别向轴引垂线，垂足分别为．则．所以由平行线分线段成比例定理知，．因此，，即．过分别向轴引垂线，垂足分别为，则．所以．．．．，或．当时，点．直线过，解得当时，点．直线过，解得故所求直线的解析式为：，或．【例2】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物(Wu)线与x轴有(You)两个交点A（X1 ，0）、B（X2，0），且(Qie)点A在(Zai)B的左侧，求线(Xian)段AB的(De)长。
（3）若(Ruo)以AB为(Wei)直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。
专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
专题9二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P（0，﹣），P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（3√32，32），把x=3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=27√38−3316≠32，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−3√32，32），把x=−3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=−27√38−3316≠32，则假设不成立；（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：{0=a−94+c3=c，解得：{a =−34c =3，∴抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3； （2）不存在，理由如下：①当点Q 在y 轴右边时，如图1所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QH ⊥OC 于H ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OH =12OC =32，tan60°=QH OH ， ∴QH ＝OH •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （3√32，32）， 把x =3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =27√38−3316≠32， ∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QT ⊥OC 于T ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OT =12OC =32，tan60°=QT OT ， ∴QT ＝OT •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （−3√32，32）， 把x =−3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =−27√38−3316≠32，∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形；（3）令−34x 2+94x +3＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴B （4，0），设BC 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把B 、C 的坐标代入则{0=4k +b 3=b ，解得：{k =−34b =3，∴BC 直线的解析式为：y =−34x +3，当M 在线段BC 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3所示： 延长PM 交AB 于点D ，则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM ＝MD ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）=−34x +3， 解得：x 1＝1，x 2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD =−34+3=94；当M 在线段BC 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4所示： 延长PM 交AB 于点D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）＝x ， 解得：x 1=83，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =83；当M 在BC 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5所示：点P 与A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1，∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：−34×（﹣1）+3=154； 当M 在CB 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6所示：延长PM 交x 轴于D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =34x 2−94x ﹣3，MD =34x ﹣3， ∴（34x 2−94x ﹣3）﹣（34x ﹣3）＝x ，解得：x 1=163，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =163； 综上所述，⊙M 的半径为94或83或154或163．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【例3】（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt △BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=1 4，∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2−52x+4=14（x﹣5）2−94，∴抛物线的顶点E（5，−9 4），∵AE=√32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC =152，求点P 的坐标； （3）如图乙，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为D ，交⊙M 于点E ．点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长．【分析】（1）由二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，可得二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，构建方程即可解决问题．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．根据AM ＝MP ，根据方程求出t ，再利用中点坐标公式，求出点E 的纵坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），即y =12x 2﹣x ﹣4．（2）如图甲中，连接OP ．设P （m ，12m 2﹣m ﹣4）．由题意，A （﹣2，0），C （0，﹣4），∵S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，∴152=12×2×4+12×4×m −12×2×（−12m 2+m +4）， 整理得，m 2+2m ﹣15＝0，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴P （3，−52）．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．理由：如图乙中，连接AM ，PM ，EM ，设M （1，t ），P [m ，12（m +2）（m ﹣4）]，E （m ，n ）．由题意A （﹣2，0），AM ＝PM ，∴32+t 2＝（m ﹣1）2+[12（m +2）（m ﹣4）﹣t ]2， 解得t ＝1+14（m +2）（m ﹣4），∵ME ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t =n+12(m+2)(m−4)2，∴n＝2t−12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]−12（m+2）（m﹣4）＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE=AD⋅DBPD=(m+2)(4−m)4+m−m2=2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2√3，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=√(2−1)2+(1−14)2=54，EF=√(1−0)2+(1−14)2=54，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=1 4，故二次函数表达式为：y=14x 2；（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2√3；∵点F （0，1），∴点P 的坐标为（0，1+2√3）或（0，1﹣2√3）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点Q （1，1），故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与y =14x 2图象的交点，∴y =14×12=14，则点E （1，14）， EN =√(2−1)2+(1−14)2=54，同理EF =√(1−0)2+(1−14)2=54，点E 到直线y ＝﹣1的距离为|14−（﹣1）|=54， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线y ＝﹣1相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．【例6】（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P （2，2），以P 为圆心，为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值；（3）已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l 为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．【题组一】1．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y ＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OCOB=32a8=√33，解得，a=√3 12；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=12AB=2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+12a=(4√a√2a)2+4√2，∴当4√a=1√2a时，有d最小=4√2，即当a=√28时，有d最小=4√2；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=√4+d2，∴MS=√2MP=√2d2+8，∵MS+MT＝ST＝6，∴√2d2+8+d=6，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2√2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT=BTMB=√22．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当∠APB 达到最大时的P点位置．2．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a 、b 、c ，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设M 的横坐标为t ，用t 表示MN 的距离，再根据二次函数的性质求得MN 的最大值；2°分三种情况：当∠PMN ＝90°时；当∠PNM ＝90°时；当∠MPN ＝90°时．分别求出符合条件的P 点坐标便可．【解答】解：（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中，得 {a +b +c =09a +3b +c =0c =3， 解得，{a =1b =−4c =3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {3m +n =0n =3， 解得，{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3）， ∴MN ＝﹣t 2+3t =−(t −32)2+94，∴当t =32时，MN 的值最大，其最大值为94；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上， ∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （32，32），N （32，−34），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为32，当y =32时，y ＝x 2﹣4x +3=32， 解得，x =4+√102，或x =4−√102＜32（舍去）， ∴P （4+√102，32）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为−34，当y =−34时，y ＝x 2﹣4x +3=−34， 解得，x =52，或x =32（舍去）， ∴P （52，−34）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径， ∴△PMN 的外接圆的圆心Q 为MN 的中点， ∴Q （32，38），半径为12MN =98，过Q 作QK ∥x 轴，与在MN 右边的抛物线图象交于点K ，如图②，令y =38，得y ＝x 2﹣4x +3=38， 解得，x =8−√224＜32（舍），或x =8+√224， ∴K （8+√224，38），∴QK =2+√224＞98，即K 点在以MN 为直径的⊙Q 外， 设抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点为点L ，则l （2，﹣1）， 连接LK ，如图②，则L 到QK 的距离为38+1=118，LK =(8+√224−2)2+(38+1)2=√2098， 设Q 点到LK 的距离为h ，则12QK ⋅118=12LK ⋅ℎ，∴ℎ=118QKLK =118×2+√224√2098=22√209+11√209×224×209≈1.27＞98， ∴直线LK 下方的抛物线与⊙Q 没有公共点，∵抛物线中NL 部分（除N 点外）在过N 点与x 轴平行的直线下方，∴抛物线中NL 部分（除N 点外）与⊙Q 没有公共点， ∵抛物线K 点右边部分，在过K 点与y 轴平行的直线的右边，∴抛物线K 点右边部分与⊙Q 没有公共点，综上，⊙Q 与MN 右边的抛物线没有交点， ∴在线段MN 右侧的抛物线上不存在点P ，使△PMN 的外接圆圆心Q 在MN 边上； 综上，点P 的坐标为（4+√102，32）或（52，−34）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的1°题关键是把MN 表示成t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2°小题关键是分情况讨论．难度较大．3．（2020•望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1），①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，即可求解； （2）S △ABD =5×32=3√5×BN 2，则BN =√5，sin ∠BDH =BH BD=√22，即可求解； （3）①∠ADB ＝45°，则∠AMB ＝2∠ADB ＝90°，MA ＝MB ，MH ⊥AB ，AH ＝BH ＝HM =52，点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为√5； ②PH ＝HB ＝5，则MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22，故△HMQ ∽△QMP ，则QH QP=MH MQ=√22，即可求解． 【解答】解：（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）当x ＝5时，y =12x 2−32x ﹣2＝3，故D 的坐标为（5，3）， 令y ＝0，则x ＝4（舍去）或﹣1，故点A （﹣1，0）， 如图①，连结BD ，作BN ⊥AD 于N ，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）， ∴AD ＝3√5，BD =√10， ∵S △ABD =5×32=3√5×BN2， ∴BN =√5，∴sin ∠BDH =BHBD =√22， ∴∠BDH ＝45°；（3）①如图②，连接MA ，MB ，∵∠ADB ＝45°，∴∠AMB ＝2∠ADB ＝90°， ∵MA ＝MB ，MH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ＝HM =52，∴点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为5√22； ②如图③，连接MQ ，MB ，∵过点B 作⊙M 的切线交1于点P ， ∴∠MBP ＝90°， ∵∠MBO ＝45°， ∴∠PBH ＝45°， ∴PH ＝HB ＝5， ∵MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22， ∵∠HMQ ＝∠QMP ， ∴△HMQ ∽△QMP ， ∴QH QP=MH MQ=√22， ∴在点Q 运动过程中QH QP的值不变，其值为√22．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．4．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a=1 2，故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2√3（舍去4﹣2√3）；故m＝2或4+2√3；（3）存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即√5−0.5≤ND≤√5+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为√5−0.5和√5+0.5．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．【题组二】5．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．6．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即可求解；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB ＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点为（2，4）；（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），解得x＝0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．7．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C 的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D ＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，∴△ONA∽△OBN，∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，故c＝3a，∵a+b+c＝1，在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，∴b2﹣4ac＝13，即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3t2﹣18t+19＝0，解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），k＝t﹣4＝．若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，∴0＜k＜．8．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+ x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P （0，4），或（12，4）．9．（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出过点P 平行于直线EF 的直线与抛物线只有一个交点时，PH 最大，再求出此直线l 的解析式，即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠BMC ＝90°时，先求出BM 的长，进而求出BD ，DM 1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM ＝90°时，利用锐角三角函数求出点M 3的坐标，最后用对称的性质得出点M 4的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴{9a −3b −2=0a +b −2=0，∴{a =23b =43， ∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '， ∵直线EF 的解析式为y ＝﹣x ，设直线l 的解析式为y ＝﹣x +m ①，∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2②，联立①②化简得，23x 2+73x ﹣2﹣m ＝0， ∴△=499−4×23×（﹣2﹣m ）＝0， ∴m =−9724， ∴直线l 的解析式为y ＝﹣x −9724，令y ＝0，则x =−9724， ∴M （−9724，0），∴OM =9724，在Rt △OP 'M 中，OP '=OM √2=97√248， ∴PH 最大=97√248．（3）①当∠CMB ＝90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线，∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2＝∠BCO ，M 2（1，﹣2），∴BM 2＝2，∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1＝BM 2＝2，∠CBM 1＝∠CBM 2，∴∠CBM 1＝∠BCO ，∴BD ＝CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2＝BD 2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD=3 4，∴BD=5 4，∴DM1=3 4过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM1Q =ODDQ=BDDM1，∴1M1Q =34DQ=5434，∴M1Q=35，DQ=920，∴OQ=34+920=65，∴M1（−35，−65），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OCOB=2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m=√5 5，∴M3H＝2m=2√55，OH＝OC﹣CH＝2−√55，∴M3（−2√55，√55−2），而点M4与M3关于点C对称，∴M 4（2√55，−√55−2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（−35，−65）或（1，﹣2）或（−2√55，√55−2）或（2√55，−√55−2）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】（1）由直线y ＝﹣5x +5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值． （3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有BD BP=BP AB=12，再加上公共角∠PBD＝∠ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD ∽△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD =12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5）y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线与圆、动点1、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，23）。
⑴求圆心的坐标；⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－33x的图象上，求抛物线的解析式；⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。
2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y ax bx c=++2经过O、A两点。
⑴试用含a的代数式表示b；⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠∠POA OBA=43？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3、A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2， b2－2b－3）.xyO ACB（1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 4、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A，以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．5、已知：一元二次方程x 2+kx+k ﹣1=0．（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？x y A B E F D C M O x y A B CO x=16、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y 轴交于点 C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）过C 点的直线与以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x6、已知：如图，直线y=33x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，⊙M 经过原点O 及A 、B 两点。
（1）求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；（2）C 是⊙M 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD=∠CBO,写出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC 到E ，使DE=2,连结EA ，试判断直线EA 与⊙M 的位置关系，并说明理由。
x yA C O D MB xy A B O C D M7、如图，在平面直角坐标系中，已知点B(22-,0)，A(m ，0) (0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BF=DO ；（2）设直线l 是△BDO 的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是△BDO 的外心，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－41x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．x 图2 图19、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C 。
⑴求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标； ⑵若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形； ⑶点P 在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
作业：1、已知：抛物线y=a(x-t-1)2+t 2(a,t 是常数，a ≠0,t ≠0)的顶点是A ，抛物线y=x 2-2x+1的顶点是B ．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y=a(x-t-1)2+t 2 经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出t 的值；若否不能，请说明理由．2、已知二次函数y=x 2+ax+a-2．（1）求证：不论a 取何值时，抛物线y=x 2+ax+a-2的顶点Q 总在x 轴的下方；（2）设抛物线y=x 2+ax+a-2与y 轴交于点C ，如果过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D ，问：△QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x 轴的交点之一为点A ，则能使△ACD 的面积等于41的抛物线有几条？请证明你的结论．3、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）， 已知A 点坐标为（0，3）。
（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积.4、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.5、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。
（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。
6、抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -，（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．7、在平面直角坐标系中，直线621+-=x y 与x 轴、y（1）直接写出B 、C 两点的坐标；（2）直线x y =与直线621+-=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ．① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.图（1） 备用图C x x y y A O B ED A C B C D G 图1 图2 8、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1 3． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．9、如图，在等边△ABC 中，AB=3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE 翻折，与梯形BCED 重叠的部分记作图形L ．（1）求△ABC 的面积；（2）设AD=x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O的面积．。