中考数学二次函数与圆

抛物线与圆、动点

1、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，23）。

⑴求圆心的坐标；

⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－

3

3

x的图象上，

求抛物线的解析式；

⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否

在⑵中的抛物线上；

⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。

2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y ax bx c

=++

2经过O、A两点。

⑴试用含a的代数式表示b；

⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠∠

POA OBA

=

4

3

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3、A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2， b2－2b－3）.

x

y

O A

C

B

（1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 4、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A

，

以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．

5、已知：一元二次方程x 2+kx+k ﹣1=0．

（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，

求此二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？

x y A B E F D C M O x y A B C

O x=1

6、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y 轴交于点 C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）过C 点的直线与以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x

6、已知：如图，直线y=3

3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，⊙M 经过原点O 及A 、B 两点。

（1）求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；

（2）C 是⊙M 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD=∠CBO,

写出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式；

（3）若延长BC 到E ，使DE=2,连结EA ，试判断直线EA 与⊙M 的位置关系，并说明理由。

x y

A C O D M

B x

y A B O C D M

7、如图，在平面直角坐标系中，已知点B(22-,0)，A(m ，

0) (0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ．

（1）求证：BF=DO ；

（2）设直线l 是△BDO 的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是△BDO 的外心，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于

直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－4

1x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求线段AB 的长；

（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；

（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．

x 图2 图1

9、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C 。 ⑴求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标； ⑵若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形； ⑶点P 在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

作业：

1、已知：抛物线y=a(x-t-1)2+t 2(a,t 是常数，a ≠0,t ≠0)的顶点是A ，抛物线y=x 2-2x+1

的顶点是B ．

（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2-2x+1上，为什么？

（2）如果抛物线y=a(x-t-1)2+t 2 经过点B ，

①求a 的值；

②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？

若能，求出t 的值；若否不能，请说明理由．

2、已知二次函数y=x 2+ax+a-2．

（1）求证：不论a 取何值时，抛物线y=x 2+ax+a-2的顶点Q 总在x 轴的下方；

（2）设抛物线y=x 2+ax+a-2与y 轴交于点C ，如果过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线有两

个不同的交点，并设另一个交点为点D ，问：△QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；

（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x 轴的交点之一为点A ，则能使△ACD 的面积等于4

1的抛物线有几条？请证明你的结论．

3、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）， 已知A 点坐标为（0，3）。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：

当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐

标和△PAC 的最大面积.

4、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，

8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E

①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.

5、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。

（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。

（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。

6、抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为

1x =，(3,0)B ,(0,3)C -，

（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；

（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，

求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，

求此圆的半径．

7、在平面直角坐标系中，直线62

1+-

=x y 与x 轴、y

（1）直接写出B 、C 两点的坐标；

（2）直线x y =与直线62

1+-

=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ．

① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．

② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.

图（1） 备用图

C x x y y A O B E

D A C B C D G 图1 图2 8、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与

y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，

tan ∠ACO ＝ 1 3

． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面

积．

9、如图，在等边△ABC 中，AB=3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE 翻折，与梯形BCED 重叠的部分记作图形L ．

（1）求△ABC 的面积；

（2）设AD=x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；

（3）已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O

的面积．