题型带电粒子在交变电场和磁场中的运动
带电粒子在交变电场或磁场中运动规律
带电粒子在交变电场或磁场中运动规律带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。
在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。
（不计粒子重力，不考虑极板外的电场） （1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q，PQ的连线垂直于金属板，两板间距为d。
（1）如果在板M、N之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m、电量为－q的粒子沿PQ方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N板从Q孔射出磁场。
已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间恰为一个周期，且与磁感应强度变化的周期相同，求0υ的大小。
高考交变电场和交变磁场的命题
高考交变电场和交变磁场的命题通过研究发现，近年来出现的高考压轴题中，经常出现交变电场和交变磁场的命题，考虑到带电粒子在交变电场和交变磁场中的运动问题比较复杂，一般存在多值和对称关系的情况，渗透着物理世界的变化与和谐美，要求对考生有很强的思维能力和空间想象能力．因此，高考中相关的交变复合场的考题也就成为命题者青睐，本文通过例题入手，对交变电场和交变磁场的一组题目分析，探讨此类命题特点和解法．1．交变电场命题特点在两个相互平行的金属板间加交变电压时，在两板间便可获得交变电场．此类电场从空间看是匀强的，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间上看是变化的，即电场强度的大小、方向都可随时间变化．研究带电粒子在这种交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．此类题目命题特点有：（1）问题题型有选择、填空和计算题型，综合性较强，其难度在中等以上；（2）问题情景大致分为三类：一为平衡问题；二为直线运动问题；三为偏转问题；（3）问题条件电场是交变匀强电场，且呈周期性变化，出现多解问题；（4）问题通常出现临界状态分析，且与数学知识、实际生活、现代科技等联系紧密．例1电子以水平初速度v0沿平行金属板中央射入，在金属板间加上如图1所示的交变电压，已知电子质量为m，电荷量为e，电压周期为T，电压为U0，求：（1）若电子从t=0时刻进入板间，在半周期内恰好能从板的上边缘飞出，则电子飞出速度为多大？（2）若电子在t=0时刻进入板间，能从板右边水平飞出，则金属板为多长？（3）若电子能从板中央O′点水平飞出，电子应从哪一时刻进入板间，两板间距至少为多大？解析：（1）根据题意由动能定理，即有．（2）粒子穿过电场有粒子能从右边水平飞出，经过的时间应满足，又因为水平方向为匀速运动，所以板长为：．（3）要粒子从点水平飞出，电子进入时刻应为：，在半周期内竖直位移为：，电子不与板相碰，必须满足临界条件，由上式综合得，则两板间距至少为．点评：从本例题可以看出，带电粒子在交变电场中的运动是比较复杂的，且运动情况不是简单的运动，但可以把复杂的曲线运动分解水平和竖直方向，特别是第（2）问比较难理解粒子的运动情景，因此解决此类问题时候除了掌握必要的基础知识外，还要注意应用解决问题的方法，把复杂运动进行分解，解决问题的关键也就是要明确带电粒子的运动情况分析．限于篇幅，此类题型在高考真题中很多，读者可以参考2010年江苏高考物理卷第15题，2009年山东卷第25题，2008年上海卷第23第等题型进行类比．2．交变磁场命题特点交变磁场和交变电场类似，交变磁场是指在某一空间中存在着周期性变化的匀强磁场．在历届高考中，带电粒子在单一磁场中的运动考查为主，也出现磁场相互组合的情况，问题较复杂，若粒子在交变磁场中运动，而且磁场是变化的，则粒子运动情况就更为复杂．解决问题的关键还是抓住粒子的运动情况分析，可以把复杂的运动情况分解若干部分，最后综合考虑，此类题目命题特点有：（1）问题命题设置主要有计算题，综合性较强，其难度较大；（2）问题情景大致分为两类：一为直线运动问题；二为匀速圆周运动问题；（3）问题条件是交变匀强磁场，且呈周期性变化，一般都存在多值和对称的情况，有时还与交变电场进行综合命题；（4）问题中的带电粒子受到洛伦兹力提供向心力，解决问题关键是找出数学中几何关系，命题题型通常也与实际生活、现代科技、事实信息等联系紧密．例2如图2（a）所示，M、N为竖直放置、彼此平行的两块平板，两板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图2（b）所示。
带电粒子在交变电磁场中的运动分析及求解
带电粒子在交变电磁场中的运动分析及求解作者：曾明
来源：《中学生理科应试》2016年第10期
带电粒子在电场、磁场以及复合场中的运动问题是高中物理教学的重点和难点，也是高考的热点.而带电粒子在交变电、磁场中的运动问题更是难上加难.要解决好这类问题，必须要求学生明确下面三点.
1.交变场的问题主要体现在电场力、洛仑兹力的变化上，因而最终总是体现在带电粒子运动的多过程性、周期性和对称性上.
2.研究带电粒子在交变场中的运动时，必须进行严格的受力分析、运动过程分析、画出运动过程示意图，紧密结合牛顿运动定律，理清运动的性质特点，找出各过程的联系所在.
3.在交变电场中，若交变电压的周期远大于粒子穿越电场的时间，则可视为粒子穿越时间内的电场为匀强电场.
4.合理选择物理方法，是解答这类问题的关键.。
带电粒子在交变电磁场中的运动
带电粒子在交变电、磁场中的运动解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的根本思路[多维探究](一)交变磁场[典例1] (2014·高考)如图8-3-7甲所示，间距为d 、垂直于纸面的两平行板P 、Q 间存在匀强磁场。
取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。
t ＝0时刻，一质量为m 、带电量为＋q 的粒子(不计重力)，以初速度v 0由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。
当B 0和T B 取某些特定值时，可使t ＝0时刻入射的粒子经Δt 时间恰能垂直打在P 板上(不考虑粒子反弹)。
上述m 、q 、d 、v 0为量。
图8-3-7(1)假设Δt ＝12T B ，求B 0；(2)假设Δt ＝32T B ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)假设B 0＝4mv 0qd，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求T B 。
[思路点拨](1)假设Δt＝12T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R 1＝d(2)假设Δt ＝32T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R 2＝d3乙(3)假设B 0＝4mv 0qd，那么半径为多大？试画出粒子在一个周期的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B 板。
提示：如图丙，由R ＝mv 0qB 0得R ＝14d 在A 、B 两点可能击中B 板[解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R 1，由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R 1①据题意由几何关系得R 1＝d ②联立①②式得B 0＝mv 0qd③(2)设粒子做圆周运动的半径为R 2，加速度大小为a ，由圆周运动公式得a ＝v 02R 2④ 据题意由几何关系得 3R 2＝d ⑤ 联立④⑤式得 a ＝3v 02d⑥甲丙(3)设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得T ＝2πRv 0⑦由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R⑧由题意知B 0＝4mv 0qd，代入⑧式得d ＝4R ⑨粒子运动轨迹如下图，O 1、O 2为圆心，O 1O 2连线与水平方向的夹角为θ，在每个T B ，只有A 、B 两个位置粒子才有可能垂直击中P 板，且均要求0＜θ＜π2，由题意可知 π2＋θ2πT ＝T B2⑩设经历完整T B 的个数为n (n ＝0,1,2,3…)假设在A 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑪当n ＝0时，无解⑫ 当n ＝1时，联立⑨⑪式得 θ＝π6(或sin θ＝12)⑬联立⑦⑨⑩⑬式得T B ＝πd 3v 0⑭ 当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑮假设在B 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2R sin θ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑯当n ＝0时，无解⑰ 当n ＝1时，联立⑨⑯式得 θ＝arcsin 14(或sin θ＝14)⑱联立⑦⑨⑩⑱式得T B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋arcsin 14d2v 0⑲当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑳[答案]见解析 [方法规律]分析周期性变化磁场中的运动时，重点是明确在一个周期的运动，化变为恒是思维根本，其技巧是画出轨迹示意图，结合带电粒子在电磁场和重力场组合与叠加场中的运动知识列方程解答。
带点粒子在周期性变化的电场-磁场中的运动规律
带点例子在周期性的电场，磁场中的运动带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。
在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。
（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）（1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M 、N 的中心各有一小孔P 、Q ，PQ 的连线垂直于金属板，两板间距为d 。
（1）如果在板M 、N 之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m 、电量为－q 的粒子沿PQ 方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N 板从Q 孔射出磁场。
带点粒子在周期性变化的电场磁场中的运动规律
带点例子在周期性的电场，磁场中的运动带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1）仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2）把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ两极板中心各有一小孔S<!、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0,周期为T0。
在t 0时刻将一个质量为m、电量为q （q0 ）的粒子由S i静止释放，粒子在电场力的作用（不计粒子重力，不考下向右运动，在t 0时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。
2虑极板外的电场）（1）求粒子到达S2时德速度大小v和极板距离d。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t 3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q, PQ的连线垂直于金属板，两板间距为d o（1）如果在板M、N之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m、电量为一q的粒子沿PQ方向以速度O u射入磁场，正好垂直于N板从Q孔射出磁场。
已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间恰为一个周期，且与磁感应强度变化的周期相同，求O u的大小。
2025高考物理总复习带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
考点一 带电粒子在叠加场中的运动
(3)微粒在叠加场中的运动时间。
答案 (34π＋1)
电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场 中，由于洛伦兹力不做功，且电子入射速度为 v40，电子受到的静电力 大于洛伦兹力，则电子向上偏转， 根据动能定理有 eEy1＝12m(12v0)2－12m(14v0)2 解得 y1＝332mevB0
考点一 带电粒子在叠加场中的运动
(3)若电子入射速度在 0<v<v0 范围内均匀分布， 求能到达纵坐标 y2＝5mevB0位置的电子数 N 占总电 子数 N0 的百分比。 答案 90%
考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
方法二：图乙中，恰从 F 点射出的粒子，其射入磁 场的时刻为T20－135600°°×2qπBm0 ＝2πqmB0 此时刻之前发射的粒子从x轴射出， 时长 Δtx＝2πqmB0
考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
图丙中，恰从 D 点射出的粒子，其射入磁场的时 刻为T20－132600°°×2qπBm0 ＝32qπBm0 此时刻至T20时刻发射的粒子从 y 轴射出， 时长 Δty＝T20－32qπBm0＝32qπBm0 所以从x轴和y轴射出的粒子数之比为Δtx∶Δty＝3∶4。
考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
A.粒子可能在2.5t0时刻射出极板 B.极板间距不小于v2t0＋2vπt0
√C.极板长度为nvπt0(n＝1,2,3…)
D.EB00＝2πv
高中物理-第一篇 专题三 微专题5 带电粒子在交变场中的运动
微专题5 带电粒子在交变场中的运动命题规律 1.命题角度：(1)带电粒子在交变电场中的运动；(2)带电粒子在交变电、磁场中的运动.2.常用方法：图象法.3.常考题型：选择题、计算题．考点一 带电粒子在交变电场中的运动处理带电粒子在交变电场中运动的问题时，先画出粒子在电场方向的v －t 图象，结合图象去分析粒子的运动情况，在v －t 图象中，图线与t 轴所围面积表示沿电场方向粒子的位移．带电粒子在交变电场中运动常见的v －t 图象如图所示．例1 (多选)(2022·天津市模拟)如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d 的平行金属板P 、Q ，两板间距为d ，两板间加上如图乙所示最大值为U 0的周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P 板处有一粒子源A ，自t ＝0时刻开始连续释放初速度大小为v 0、方向平行于金属板的相同带电粒子，t ＝0时刻释放的粒子恰好从Q 板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T ＝2d v 0，粒子质量为m ，不计粒子重力及相互间的作用力，则( )A ．在t ＝0时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为v 0B ．粒子的电荷量为m v 022U 0C ．在t ＝18T 时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了18m v 02D ．在t ＝14T 时刻进入的粒子刚好从P 板右侧边缘离开电场答案 AD解析 粒子进入电场后，在水平方向做匀速运动，则t ＝0时刻进入电场的粒子在电场中运动时间t ＝2dv 0，此时间正好是交变电场的一个周期；粒子在竖直方向先做加速运动后做减速运动，经过一个周期，粒子在竖直方向速度为零，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度v 0，选项A 正确．在竖直方向，粒子在T 2时间内的位移为d 2，则d 2＝U 0q 2dm (d v 0)2，可得q ＝m v 02U 0，选项B 错误．在t ＝T 8时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的位移为y ＝2×12a (38T )2－2×12a (T 8)2＝d 2，故电场力做功为W ＝U 0q d ·d 2＝12U 0q ＝12m v 02，即电势能减少了12m v 02，选项C错误．在 t ＝T 4时刻进入的粒子，在竖直方向先向下做加速运动T 4，然后向下做减速运动T 4，再向上加速T 4，向上减速T4，由对称性可知，此时竖直方向的位移为零，故粒子从P 板右侧边缘离开电场，选项D 正确．考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动1．此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题． 2．解题思路例2 如图(a)所示的xOy 平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E 和磁感应强度B 随时间做周期性变化的图象如图(b)所示，y 轴正方向为E 的正方向，垂直于纸面向里为B 的正方向．t ＝0时刻，带负电粒子P (重力不计)由原点O 以速度v 0沿y 轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动．v 0、E 0和t 0为已知量，图(b)中E 0B 0＝8v 0π2，在0～t 0时间内粒子P第一次离x 轴最远时的坐标为⎝⎛⎭⎫2v 0t 0π，2v 0t 0π.求：(1)粒子P 的比荷；(2)t ＝2t 0时刻粒子P 的位置；(3)带电粒子在运动中距离原点O 的最远距离L . 答案 (1)4v 0πE 0t 0 (2)⎝⎛⎭⎫2＋ππv 0t 0，0 (3)4＋2ππv 0t 0 解析 (1)0～t 0时间内粒子P 在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过14圆周，所以粒子P 第一次离x 轴的最远距离等于轨道半径R ，即R ＝2v 0t 0π又q v 0B ＝m v 02R代入E 0B 0＝8v 0π2解得q m ＝4v 0πE 0t 0(2)设粒子P 在磁场中运动的周期为T ，则 T ＝2πR v 0，则可得T ＝4t 0即粒子P 做14圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v 0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t 0～2t 0时间内水平位移和竖直位移分别为x 1、y 1，则x 1＝v 0t 0＝πR2y 1＝12at 02其中加速度a ＝qE 0m解得y 1＝2v 0t 0π＝R因此t ＝2t 0时刻粒子P 的位置坐标为(2＋ππv 0t 0，0)，如图中的b 点所示．(3)分析知，粒子P 在2t 0～3t 0时间内，电场力产生的加速度方向沿y 轴正方向，由对称关系知，在3t 0时刻速度方向为x 轴正方向，位移 x 2＝x 1＝v 0t 0在3t 0～5t 0时间内粒子P 沿逆时针方向做半径为R 的匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O 的最远距离L 即O 、d 间的距离L ＝2R ＋2x 1 解得L ＝4＋2ππv 0t(2022·湖南岳阳市二模)如图甲所示，在xOy 平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向里的方向为正，磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示．质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，在t ＝0时刻沿x 轴正方向从坐标原点O 射入磁场．图乙中T 0为未知量，不计粒子的重力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．(1)若粒子射入磁场时的速度为v 0，求0～25T 0时间内粒子做匀速圆周运动的半径；(2)若粒子恰好不能从y 轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期T 0；(3)若使粒子能从坐标为(d ，3d )的D 点平行于x 轴射出，求射入磁场时速度大小． 答案 (1)m v 03qB 0 (2)143πm 216B 0q (3)43B 0qd5nm(n ＝1,2,3，…)解析 (1)根据洛伦兹力提供向心力有q v 0·3B 0＝m v 02r 1，解得r 1＝m v 03qB 0(2)要使粒子恰好不从y 轴射出，轨迹如图所示，在前25T0内粒子的运动半径为r1＝m v03qB0在后35T0内粒子的运动半径为r2＝m v02qB0由几何关系知sin θ＝r2r1＋r2＝0.6解得θ＝37°在0～25T0时间内粒子做圆周运动的周期为T＝2πm3qB0则180°－37°360°T＝25T0解得T0＝143πm216B0q(3)要想使粒子经过D点且平行x轴射出，则粒子只能从nT0时刻经过D点，其中n＝1,2,3，…，则可能的运动轨迹如图所示设粒子射入磁场的速度大小为v，由(2)可得r2＝32r1由几何关系可知n(2r1cos 30°＋2r2cos 30°)＝2d又q v·3B0＝m v2r1解得v＝43B0qd5nm(n＝1,2,3，…)．专题强化练1．(多选)如图甲所示，长为L 的两块正对金属板A 、B 水平放置，两板接上如图乙所示随时间变化的交流电压U AB ，电子流沿中心线OO ′从O 点以初速度v 0＝LT 射入板间，电子都不会碰到极板．已知两金属板间距为d ，且电子的质量为m 、电荷量为e .下列说法正确的是( )A ．两板间距d >TeU 02mB ．电子在t ＝0时刻从O 点射入时一定从中心线离开电场C ．电子在t ＝T4时刻从O 点射入时一定从中心线离开电场D ．电子无论在哪一时刻从O 点射入，离开板间电场时的速率一定是v 0 答案 ACD解析 任何一个电子离开电场所用的时间均为L v 0＝T ，当电子在t ＝k T2(k ＝0,1,2，…)时刻从O点射入，射出电场时电子离开中心线的距离最大为h ＝2×12·eU 0md ·(T 2)2，h <d2，得d >TeU 02m，A 正确；电子在t ＝0时刻从O 点射入时，电子离开电场时与中心线间的距离最大，不会从中心线离开电场，B 错误；电子在t ＝T4时刻从O 点射入后，在电场中的运动轨迹如图，根据对称性可知电子从中心线离开电场，C 正确；设电子从t ＝T2－Δt 时刻从O 点射入电场，则沿电场方向的分速度v y ＝a Δt －a Δt －(T 2－Δt )a ＋a (T2－Δt )＝0，离开电场时只有沿中心线方向上的速度，大小为v 0，D 正确．2．(2022·山东省高三检测)如图甲所示，粒子源能源源不断地产生一种比荷为qm 的带正电粒子，带电粒子从粒子源飞出时的速度可忽略不计．带电粒子离开粒子源后进入一电压为U 0的加速电场，之后进入长为L 、两板间距离为d ＝33L 的平行金属板，金属板间有一偏转电场，带电粒子从两板正中间射入并恰好从下极板的边缘射出偏转电场，然后进入边界为MN 、PQ 的均匀交变磁场中，磁场宽度也为L ，边界PQ 为一感应挡板，交变磁场的变化规律如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向．在t ＝0时刻进入磁场的带电粒子在磁场中的运动时间为交变磁场的一个周期，并且射出磁场时垂直打在挡板PQ 上．(不计粒子的重力及粒子间的相互作用，电场、磁场的边界均为理想边界)求：(1)带电粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)偏转电场的电场强度； (3)交变磁场的磁感应强度大小． 答案 (1)2qU 0m (2)23U 03L ，方向竖直向下 (3)1L6mU 0q解析 (1)由动能定理有qU 0＝12m v 02可得v 0＝2qU 0m(2)设偏转电场的电场强度大小为E ，粒子在偏转电场中做类平抛运动，有 a ＝qE mL ＝v 0t d 2＝12at 2 且d ＝33L 联立可得E ＝23U 03L方向竖直向下(3)设粒子离开偏转电场时的速度为v ，与水平方向夹角为α，则有 tan α＝at v 0＝d L可得α＝30° 有v ＝v 0cos α可得v ＝236qU 0m若粒子在t ＝0时刻进入磁场，由题意可得粒子进入磁场中运动的轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，结合题图乙，由几何关系可得 ∠OO 1C ＝60° ∠CO 2D ＝30° 则有L －r r ＝sin 30°可得r ＝2L3由牛顿第二定律有q v B ＝m v 2r则可得B ＝1L6mU 0q. 3．(2022·天津市市区重点中学一模)如图甲所示，边界为L 1、L 2，宽度为d 的竖直狭长区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向的电场(图中未画出)．电场的电场强度做周期性变化的规律如图乙所示，E >0表示电场方向竖直向上．t ＝0时，一带正电、质量为m 的微粒从左边界L 1上的N 1点以水平速度v 射入该区域，沿直线运动到Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界L 2上的N 2点．Q 为线段N 1N 2的中点，重力加速度为g ，上述d 、m 、v 、g 和图象中的E 0均为已知量．(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小； (2)求电场变化的周期T ；(3)改变宽度d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值． 答案 (1)mg E 0 2E 0v (2)d 2v ＋πvg (3)(2π＋1)v 2g解析 (1)根据题意，微粒做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则 mg ＝qE 0开始时微粒水平向右做直线运动，则竖直方向所受合力为0，则 mg ＋qE 0＝q v B 联立得q ＝mgE 0B ＝2E 0v(2)设微粒从N 1运动到Q 的时间为t 1，做圆周运动的周期为t 2，则 d2＝v t 1 q v B ＝m v 2R2πR ＝v t 2 联立解得t 1＝d2vt 2＝πv g电场变化的周期T ＝t 1＋t 2＝d 2v ＋πv g(3)若微粒能完成题述的运动过程， 则要求d ≥2R由(1)(2)中的式子联立解得R ＝v 22g所以当d ＝2R 时，微粒在N 1Q 段直线运动时间最短， 设N 1Q 段直线运动的最短时间为t 1min ，得 t 1min ＝v 2g， 因t 2不变，T 的最小值 T min ＝t 1min ＋t 2＝(2π＋1)v2g.4．如图甲所示，在xOy 平面内存在磁场和电场(图中未画出)，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B 的变化周期为4t 0，E 的变化周期为2t 0，变化规律分别如图乙和图丙所示．在t ＝0时刻从O 点发射一带负电荷的粒子(不计重力)，初速度大小为v 0，方向沿y 轴正方向．在x 轴上有一点A (图中未标出)，坐标为⎝⎛⎭⎫48v 0t 0π，0.若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y 轴正方向为电场强度的正方向，v 0、t 0、B 0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足E 0B 0＝v 0π，粒子的比荷满足q m ＝πB 0t 0.求：(1)在t ＝t 02时，粒子的位置坐标；(2)粒子偏离x 轴的最大距离；(3)粒子从O 点运动至A 点所用的时间． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫v 0t 0π，v 0t 0π (2)1.5v 0t 0＋2v 0t 0π (3)32t 0解析 (1)在0～t 0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得qB v 0＝m v 02r 1，解得r 1＝v 0t 0π，周期T ＝2πr 1v 0＝2t 0，则在t 02时间内转过的圆心角α＝π2，所以在t ＝t 02时，粒子的位置坐标为⎝⎛⎭⎫v 0t 0π，v 0t 0π(2)在t 0～2t 0时间内，粒子经电场加速后的速度大小为v ，粒子的运动轨迹如图所示v ＝v 0＋qE 0m t 0＝2v 0，运动的位移x ＝v ＋v 02t 0＝1.5v 0t 0，在2t 0～3t 0时间内粒子做匀速圆周运动，半径r 2＝2r 1＝2v 0t 0π，故粒子偏离x 轴的最大距离h ＝x ＋r 2＝1.5v 0t 0＋2v 0t 0π(3)粒子在xOy 平面内做周期性运动的周期为4t 0，一个周期内向右运动的距离d ＝2r 1＋2r 2＝6v 0t 0π，AO 间的距离为48v 0t 0π＝8d ，所以粒子运动至A 点的时间为t ＝32t 0.。
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题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动1如图1所示，在xOy 平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y 轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图 2甲、乙所示.以垂直于 xOy 平面向里磁场的磁感应强度为正， 以沿y 轴正方向电场的电场强度为正.t = 0时，带负电粒子从原点 O 以初速度v o 沿y 轴正方向运动，t = 5t o 时，粒子回到O 点，V 。
、t o 、B o 已知，粒子的比荷© =，不计粒子重力.m B o t o(1) 求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期； ⑵求电场强度E o 的值；⑶保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场.t =o 时刻，前述带负电粒子仍由O 点以初速度v o 沿y 轴正方向运动，求粒子在 t = 9t o 时的位置坐标.答案(1)2t o(2)B °V ) (3)(2^°,— V o t o )n n72•如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压 U 构成偏转电场，一束比荷为m = io 6 C/kg 带正电的粒子流(重力不计),以速度v o = io 4 m/ s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板. 粒 子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O 为圆心，区域直径 AB 长度为L = 1 m , AB 与水平方向成45。
角.区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已a I丙知B o = 0.5 T ,磁场方向以垂直于纸面向外为正•粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘(1)两金属极板间的电压 U 是多大？⑵若T o = 0.5 s ,求t = 0 s 时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间 t 和离开磁场的位置.(3)要使所有带电粒子通过 0点后的运动过程中不再从AB 两点间越过，求出磁场的变化周期T o 应满足的条件.答案(1)100 V (2)2 nX 10「6 s 射出点在 OB 间离 O 点£ m (3)丁。
<扌>< 10「5 s3•如图4甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域内(边界为L i 、L 2)，存在垂直纸面向里的匀强 磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E o , E>0表示电场方向竖直向上.t = 0时，一带正电、质量为 m 的微粒从左边界上的 弘点以水平速度v 射入该区 域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 N 2点.Q为线段MN 2的中点，重力加速度为 g.上述d 、E 0、m 、v 、g 为已知量.(1) 求微粒所带电荷量 q 和磁感应强度B 的大小; (2) 求电场变化的周期 T ; (3)改变宽度d ,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求 T 的最小值.答案(1)mg 字⑵密+n v ⑶詈甲点与水平方向成图X X K M IEI厨 乙4•如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)•一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度V0沿PQ向右做直线运动•若小球刚经过D点时(t= 0),在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ连线左下方60°角再次通过D点.已知D、Q间的距离为(3 + 1)L，重力加速度为g, t o小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响.求：K X X X ! Nft tj+to 3r,+/l}3f|+2i!u5f l+2f ll5G-i-3f0t(1)电场强度E的大小;⑵t o与t i的比值;(3)小球过D点后将做周期性运动•则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹.答案(1)mg/q ⑵题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动1如图1所示，在xOy平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示.以垂直于xOy平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y 轴正方向电场的电场强度为正. t = 0时，带负电粒子从原点O以初速度V。
沿y轴正方向运动，t= 5t0时，粒子回到O点，v。
、t。
、B0已知，粒子的比荷° =二十，不计粒子重力.m B o t o(1) 求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期；⑵求电场强度E o的值；⑶保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场. t=0时刻，前述带题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动负电粒子仍由O点以初速度V。
沿y轴正方向运动，求粒子在t= 9t0时的位置坐标.⑶t o 时刻粒子回到x 轴，t o 〜2t o 时间内，粒子位移x i = 2(v o 2+ 就)2)2t o 时刻，粒子速度为 v o3t o 时刻，粒子以速度 v o 到达y 轴， 3t o 〜4t o 时刻，粒子运动的位移x 2= 2 v o 2— 就)2[5t o 时刻粒子运动到点(2r 1, x 2 — x 1)图2答案（1）2t 。
（2）亟（3）（绝，—V o t o ） nn 2 解析（1）粒子在磁场中运动时，qv °B o = m V ^ r i 2 n i T = -v o q_ n m B o t o 得 T = 2t o .⑵粒子在t = 5t o 时回到原点，轨迹如图所示,2由牛顿第二定律qv o B o = m 也r i 由几何关系得：「2= 2r - 得 V 2= 2V o由运动学公式： v 2= v o + at o 由牛顿第二定律: E o q = ma得E o =B o v on乙rp丙t = 9t o 时刻的位置坐标为［2「!，2 X 2 — X !］，代入数值为2•如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U 构成偏转电场，一束比荷为常=106 C/kg带正电的粒子流(重力不计),以速度V 0 = 104 m/ s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板.粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域, 为L = 1 m , AB 与水平方向成45。
角•区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B o = 0.5 T ,磁场方向以垂直于纸面向外为正•粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘(1)两金属极板间的电压 U 是多大?⑵若T o = 0.5 s ,求t = 0 s 时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t 和离开磁场的位置.(3)要使所有带电粒子通过 O 点后的运动过程中不再从 AB 两点间越过，求出磁场的变化周 期T o 应满足的条件.答案(1)100 V (2)2 nX 10—6 s 射出点在 OB 间离 O 点 ^m (3)丁。
＜扌＞＜ 10—5 s解析(1)粒子在电场中做类平抛运动，从 O 点射出时速度v = 2V 0U 1 2 1 2 q? = ?m( • 2v 0) — 2mv 0 代入数据得U = 100 V.2 Tim mv 2⑵ T =药 B qv =^ T 迎 2 乂 10—6 To 2 = Bq = 2以 10 s <2mv=_2 丄R= Bq 50 m <4粒子在磁场中经过半周从OB 中穿出，粒子在磁场中运动时间t = T = 2nx 10—6 S ,射出点在\［2OB间离。
点L根据粒子的周期性运动规律可知, 2v o t o(匚，一V o t 0).O 为圆心，区域直径 AB 长度 甲点与水平方向成图———-Ti-J如图，由几何关系可得临界时5 n 0=百 要不从AB 边界射出，应满足畏 T2 2 n 得 T o 》10「5 s.则 mg + qE o = qvB ②联立①②解得：q =詈③E o B =经•④v⑵设微粒从N i 运动到Q 的时间为t i ，做圆周运动的周期为 t 2, 则2= vt i ⑤2qvB = mR ⑥ 2 T R= vt 2⑦2(3)粒子运动周期T ='Bq粒子在t = 0、t =T o …时刻射入时， 4 nX 10 6 s ,粒子最可能从AB 间射出.3•如图4甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域内 (边界为L i 、L 2)，存在垂直纸面向里的匀强 磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E 0, E>0表示电场方向竖直向上.t = 0时，一带正电、质量为 m 的微粒从左边界上的 N i 点以水平速度v 射入该区 域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 N 2 点.Q为线段N 1N 2的中点，重力加速度为|||(1)求微粒所带电荷量 q 和磁感应强度B 的大小; ⑵求电场变化的周期T ;(3)改变宽度d ,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域, 答案(i)冒宁(2)2vY ⑶害T 的最小值.解析(1)根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力, 重力与电场力平衡，则mg = qE o ①因为微粒水平向右做直线运动,所以竖直方向合力为0.乙g.上述d 、E 0、m 、v 、g 为已知量. x|'联立③④⑤⑥⑦解得t i =』,t2=■—⑧2v g电场变化的周期T= t i+ t2=¥ +型.⑨2v g(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求 d > 2R⑩联立③④⑥得R=设N i Q段直线运动的最短时间t imin ,由⑤⑩得，t i i=工timin 2g因t2不变，T的最小值T min = t imin + t? — 1 2"2g4•如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)•一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v。
沿PQ向右做直线运动.若小球刚经过D点时(t= 0),在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ连线左下方60°角再次通过D点.已知D、Q间的距离为(.3 + 1)L,重力加速度为g, t o小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响.求：甲1 I 1 I 1 Ni 1 i 1 ■Ii i i i i i1 1 1 1 d 1i i i i i ii.1 电场强度E的大小;2 t o与t i的比值；(3) 小球过D点后将做周期性运动•则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹.答案(1)mg/q⑵葺3」⑶mv°/qL轨迹见解析解析(1)小球在电场中做匀速直线运动，根据二力平衡，有mg= qE得E=晋\MI(2)小球能再次通过D点，其运动轨迹如图所示，设圆弧半径为r.X= v o t l ①设小球做圆周运动的周期为2t o= 3T ④由①②③④式得『=妒冗.t i 9⑶当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如图所示.由几何关系，有RR+厂士" = (.3+ 1)L⑤ tan 30由牛顿第二定律，有2v0 _qv0 B0 = m R⑥由⑤⑥式得B0=皿qL小球运动一个周期的轨迹如图所示.B o 由几何关系得rtan 30v oAf■。