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高一数学重要知识点汇总
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2
必修
数学知识总结
必修一 一、集合
一、集合有关概念 1. 2. 集合的含义
集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如:{a,b,c} 和{a,c,b} 是表示同一个集合
3. 集合的表示: { } 如: { 我校的篮球队员 } ,{ 太平洋 ,
大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }
(1) 用拉丁字母表示集合: A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作: N
正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
1)列举法: {a,b,c }
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例: { 不是直角三角形的三角形 } 4)Venn 图: 4、集合的分类:
(1) 有限集
(2) 无限集 (3) 空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合 2
例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集
注意: A B 有两种可能( 1) A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B
是同一集合。
集合 A 不包含于集反之 : B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB
或 BA 2.“相等”关系: A=B (5 ≥ 5,且 5≤5,则 5=5)
2
实例: 设 A={x|x -1=0} B={-1,1}
等”
“元素相同则两集合相 即:① 任何一个集合是它本身的子集。 A A
②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子
集,
记作 A B( 或 B ③如果 A B, B A)
C , 那么 A C
④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B
Φ
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 集。
空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子 n
n-1
有 n 个元素的集合,含有 2 个子集, 2 个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2. 、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于 Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、 b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 指数函数对称规律:
、b 属于 Q) 1、函数 2、函数 3、函数 y=a^x 与 y=a^x 与 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 y=-a^x 关于 x 轴对称
y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x
如果 a 0 ,且 a 1 , M 0 , N log a M + log a 0 ,那么: N ;
○1 log a (M · N ) M N
○2 M - log a ; log log N a a n
○
3 R) .
log a M
n log M
(n a 注意:换底公式
log c b
log a b
log a
( a c 0 ,且 a 1; c 0 ,且 c 1 ; b 0).
幂函数 y=x^a(a 属于 R)
1、幂函数定义:一般地,形如 (a R) 的函数称为幂函 y x 数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
( 1)所有的幂函数在( 0,+∞)都有定义并且图象都过点
( 1); 1, ( 2) 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 ) 上 1 [0, 是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象上凸; 1时,幂函数的图象下凸; 当 0
0 时,幂函数的图象在区间 ( 3)
(0, ) 上是减函数.在第 y 轴右方无限地逼
一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 轴正半轴.
时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 y
f ( x)( x D )
,把使 f ( x) 0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x)( x D ) 的零点。
2、函数零点的意义:函数 y f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 实 数根,亦即函数 y
f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。
即:方程 f (x) 0 有实数根 f ( x) 有零点.
函数 y
f ( x) 的图象与 x 轴有交
点 函数 y 3、函数零点的求法: ○1 ○2 y (代数法)求方程 f (x) 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:
2
y ax bx 二次函数 c (a bx 0) .
0 有两不等实根,二次函数的 ( 1)△>0,方程 ax 2
c 图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
ax 2
( 2)△=0,方程 c 0 有两相等实根,二次函数的 bx 图象与 x 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2
ax
(3)△<0,方程 c 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
bx 三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向
量:长度为
0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 相等向量:长度相等且 &向量的运算 加法运算
方向相同 的向量
AB +BC = AC ,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA 、OB ,以 OA 、OB 为邻边作平行四边形 OA C ,B 则以 O 为起点的对 角线 O C 就是向量 OA 、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 |a +b| ≤|a| +|b| 。
a ,有: 0+ a = a + 0=a 。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算
与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做
a 的相反向量,- ( -a) =a ,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a + ( - a) =( -a) +a =0(2)a -b = a + ( - b) 。
数乘运算
实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ
a ,| λa| =| λ||a| ,当λ > 0 时,
λa 的方向和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λ a = 0 。 设λ、μ是实数,那么:( 1)( λμ)a = λ( μa) (2)( λ μ)a = λa μa (3)λ(a ± b) = λa ± λb (4) ( -λ )a = -( λa) = λ( - a) 。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积
已知两个非零向量 a 、b ,那么 |a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积或内积, 记作 a?b ,θ是 a 与 b 的夹角,
|a|cos 为 0。
θ( |b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积
a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数
1、善于用“ 1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y函s数in y cos x y tanx 性质
图
象
定
义域值域
x x k , k R R
2 1,1 1,1 R
当x 2k k
当x 2 k时,
k
2
时, 1 ;当 1 ;当x 2k
y max y max
最值
既无最大值也无最小
值
k 时, 1 .
y min
x 2k
2
时,
k 1.
y min
周期性奇偶性22
奇函数偶函数奇函数
在2k, 2k
22在2k ,2 k k
在, k k 上是增函数;在k
单调性
上是增函数;在
22
2k ,2 k
3
2
k
2k , 2k 上是增函数.2
k 上是减函数.
k 上是减函数.
对对称中心对称中心对称中心
称 性
k ,0 k k 2
,0 ,0 k
k
k
2
对称轴
无对称轴
对称轴 x k k
x k
k
2 必修四
角 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.
o
k 360 o
k 360 o
90 , k
第一象限角的集合为 o
k 360
o
90
o
360 o
第二象限角的集合为 k 180 , k
o k 360 o
180 o
360 o
270 , k 第三象限角的集合为 k o
k 360
o
270
o
360
o
第四象限角的集合为
k 360 , k
o
k 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 o
k 180
o
90 , k
终边在 y 轴上的角的集合为 o
终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k
o
k 360
3、与角
终边相同的角的集合为
, k
*
4、已知 是第几象限角,确定
所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴
n
n
的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为
终边所落在的
n
区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 口诀:奇变偶不变,符号看象限.
1弧
度.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2k π+α)= cos (2k π+α)= tan (2k π+α)= cot (2k π+α)= 公式二: 设α为任意角,π sin (π+α)=- cos (π+α)=-
sin α cos α tan α cot α
α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin α cos α
tan (π+α)= tan α cot (π+α)= cot α
公式三:
任意角α与- α的三角函数值之间的关系:
sin (-α)=-sin α
cos(-α)=cosαt an
(-α)=-tan α cot
(-α)=-cot α
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π
sin (π-α)=sin α
- α与α的三角函数值之间的关系:
cos(π-α)=-tan (π-α)=-cot (π-α)=-cosαtan αcot α
公式五:
利用公式一和公式三可以得到
sin (2π-α)=-sin α cos
(2π-α)=cosαtan (2π
-α)=-tan α cot (2π-
α)=-cot α
2π- α与α的三角函数值之间的关系:
公式六:
π/2 ±α及3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系:
sin (π/2 +α)=cosα
cos(π/2 +α)=-tan (π/2 +α)=-cot (π/2 +α)=-sin αcot αtan α
sin (π/2 -α)=cosαcos(π/2 -α)=sin α tan (π/2 -α)=cot α cot (π/2 -α)=tan α
sin (3π /2 +α)=-cosαcos(3π /2 +α)=sin α
tan (3π/2 +α)=-cot (3π /2 +α)=-cot αtan α
sin (3π /2 -α)=-cos(3π/2 -α)=-cosαsin α
tan (3π/2 -α)=cot αcot (3π/2 -α)=tan α
( 以上k∈Z)
其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:
tan αsin αcosα?cot α=1 ?cscα=1 ?secα=1
商的关系:
sin α/cos α=tan α=secα/csc α cosα/sin α=cot α=cscα/sec α 平方关系:
sin^2( α) +cos^2( α) =11
+tan^2( α) =sec^2( α) 1
+cot^2( α) =csc^2( α) 两
角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin (α+β)=sin (α-β)=cos(α+β)=cos(α-β)=sin αcosβ+cosαsin β
sin αcosβ-cosαsin β cosαcosβ-sin αsin β cosαcosβ+sin αsin β
tan α+tan β
tan (α+β)=——————
1-tan α?tan β
tan α-tan β
tan (α-β)=——————
1+tan α?tan β
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2 α=2sin αcosα
cos2α=cos^2( α) -sin^2( α) =2cos^2( α) -1=1-2sin^2( α) 2tan α
tan2 α=—————
1-tan^2( α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
1-cosα
sin^2( α/2) =—————
2
1+cosα
cos^2( α/2) =—————
2
1-cosα
tan^2( α/2) =—————
1+cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan( α/2)
sin α=——————
1+tan^2( α/2)
1-tan^2( α/2)
cosα=——————
1+tan^2( α/2)
2tan( α/2)
tan α=——————
1-tan^2( α/2)
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+βα-β
?cos—---
sin α+sin β=2sin —----
2 2
α+βα-β
?sin —----
sin α-sin β=2cos—----
2 2
α+βα-β
?cos—----- cosα+cosβ=2cos—-----
2 2
α+βα-β
?sin —----- cosα-cosβ=-2sin —-----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sin αcosαcosαsin α?cosβ=0.5[sin
?sin β=0.5[sin
?cosβ=0.5[cos
(α+β)+
(α+β)-
(α+β)+
sin (α-β)
sin (α-β)
cos(α-β)
]
]
]
?sin β=-0.5[cos (α+β)-cos(α-β)]