杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2022-2023学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{x |lgx ≤0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |﹣1＜x ＜1}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．若复数z =4i1+i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知tanα=−12，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=（ ）A ．114B ．−114C ．52D ．−524．已知二次函数f （x ）的图象如图所示，若将函数f （x ）的图象向右平移2个单位长度得到函数g （x ）的图象，则不等式g （x ）＞log 2x 的解集是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）5．已知非零向量a →，b →的夹角的余弦值为15，且(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，则|a →||b →|=（ ）A ．1B ．23C ．32D ．26．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4； ④均值为2，标准差为√2． A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=45|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．x ±√3y −1=0 B ．x ±y ﹣1＝0C ．2x ±y ﹣2＝0D ．x ±2y ﹣1＝08．若过点（a ，b ）可以作曲线y =x −1x(x ＞0)的两条切线，则（ ） A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞a −1aC ．0＜a −1a ＜b ＜aD ．a −1a ＜b ＜0＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）=√x +√3−x ，下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）的图象是轴对称图形，不是中心对称图形 B ．f （x ）在（0，32）上单调递增，在（32，3）上单调递减C ．f （x ）的最大值为√3，最小值为0D ．f （x ）的最大值为√6，最小值为√310．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件A i （i ＝1，2，3）相互独立 B ．P(A 1B)=522 C ．P(B)=25D ．P(A 2|B)=84511．若函数f(x)=sin(2ωx +π6)−12(ω＞0)在区间(0，π24)上单调递增，则（ ） A ．存在ω，使得函数f （x ）为奇函数 B ．函数f （x ）的最大值为12C ．ω的取值范围为（0，4]D ．存在4个不同的ω，使得函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f(x)=3x1+3x ，设x i （i ＝1，2，3）为实数，且x 1+x 2+x 3＝0．下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点(0，12)对称 B ．不等式f(x −1)＞12的解集为{x |x ＞1} C ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＜32D ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＞32 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（1+x 2）（1+2x ）4的展开式中x 3的系数为 ．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．15．已知双曲线x 2−y 2a2=1，若过点（2，2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 的取值范围为 ．16．已知不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1），对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ． （1）求B ；（2）当△ABC 为锐角三角形，b ＝2时，求△ABC 的周长的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）|＝k |x 2﹣x ﹣1|恰有四个不同的实数根，求实数k 的取值范围．20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n （n ∈N *），统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K 2≈4.040．（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； （2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率； ②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望． 附表：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为√32，上顶点为M，下顶点为N，|MN|＝2，设点T（t，2）（t≠0）在直线y＝2上，过点T的直线TM，TN分别交椭圆C于点E和点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线EF恒过定点，并求出该定点；（3）若△TMN的面积为△TEF的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？22．（12分）已知函数f（x）=12ax2+（a+1）x+lnx（a∈R）．（1）若1是f（x）的极值点，求a的值．（2）求f（x）的单调区间．（3）若f（x）=12ax2+x有两个实数解x1，x2（x1＜x2），（i）直接写出a的取值范围；（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x1，x2，当s＝λ（x1+x2）时都有f′（s）＜0，求λ的取值范围．2022-2023学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x|lgx≤0}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|﹣1＜x≤1}解：由题意可得A＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，故A∪B＝{x|﹣1＜x≤1}．故选：D．2．若复数z=4i1+i（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A．√2B．2C．2√2D．4解：因为z=4i1+i=4i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i，则|z|=√22+22=2√2．故选：C．3．已知tanα=−12，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=（）A．114B．−114C．52D．−52解：sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=2sinαcosα+2cos2α−2sin2α4cos2α−4sin2α−8sinαcosα=tanα+1−tan2α2−2tan2α−4tanα=1472=114．故选：A．4．已知二次函数f（x）的图象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，则c＝1，4a﹣2b+1＝0，所以f（x）＝ax2+（2a+12）x+1，将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+12）（x﹣2）+1的图象．由g （2）＝1，又y ＝log 2x 在（0，2）上递增，且log 21＝0，log 22＝1， 所以由图象可得不等式g （x ）＞log 2x 的解集为（0，2）． 故选：B ．5．已知非零向量a →，b →的夹角的余弦值为15，且(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，则|a →||b →|=（ ）A ．1B ．23C ．32D ．2解：因为cos ＜a →，b →＞=15，由(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，得(a →+3b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+5a →b →−3b →2=2|a →|2+|a →||b →|−3|b →|2=0． ∴2|a →||b →|2+|a →||b →|−3=0，令t =|a →||b →|＞0，∴2t 2+t ﹣3＝0，可得t =|a →||b →|=1或−32（舍去）．故选：A ．6．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4； ④均值为2，标准差为√2． A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④解：任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6， 则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6， 则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误； 对于②，将7个数据从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7， ∴中位数x 4＝1，∴均值为x 1+x 2+x 3+1+x 5+x 6+x 77＜1，∴x 1+x 2+x 3+x 5+x 6+x 7＜6，又x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7是自然数，且0≤x 1≤x 2≤x 3≤1≤x 5≤x 6≤x 7， ∴x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7都不超过5，∴②正确；对于④，将7个数据从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7， ∴均值为x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 77=2，∴x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7＝14，∴方差为(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(x 4−2)2+(x 5−2)2+(x 6−2)2+(x 7−2)27=2，∴(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(x 4−2)2+(x 5−2)2+(x 6−2)2+(x 7−2)2=14，∵x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7是自然数，若自然数x 大于5，则（x ﹣2）2≥16，相互矛盾， ∴x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7都不超过5，∴④正确． 综上所述，正确的为②④． 故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=45|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．x ±√3y −1=0 B ．x ±y ﹣1＝0C ．2x ±y ﹣2＝0D ．x ±2y ﹣1＝0解：设|AB |＝2r （2r ≥4），AB 的中点为M ，MN ⊥y 轴于点N ，过A ，B 作准线x ＝﹣1的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图：由抛物线的定义知2（|MN |+1）＝|AA 1|+|BB 1|＝|AF |+|BF |＝|AB |＝2r ，故|MN |＝r ﹣1， 所以|DE|=2√r 2−(r −1)2=85r ，即16r 2﹣50r +25＝0，解得r =52或r =58（舍去）， 故M 的横坐标为32，设直线l ：y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y ＝k （x ﹣1）代入y 2＝4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则x 1+x 2=2k 2+4k2=3，解得k ＝±2，故直线l 的方程为2x ±y ﹣2＝0．故选：C ．8．若过点（a ，b ）可以作曲线y =x −1x(x ＞0)的两条切线，则（ ） A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞a −1aC ．0＜a −1a ＜b ＜aD ．a −1a＜b ＜0＜a解：设切点为（x 0，y 0），x 0＞0， ∴y ′=1+1x 2(x ＞0)， ∴切点处的切线斜率k =1+1x 02=y 0−b x 0−a =x 0−1x 0−b x 0−a ，化简得：(a −b)x 02−2x 0+a =0①， ∴Δ＝4﹣4a （a ﹣b ），∵过点（a ，b ）可以作曲线的两条切线， ∴方程①有两个不同正解，∴{−−22(a−b)＞0Δ＞0aa−b ＞0，解得a ＞b ＞a −1a ，故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）=√x +√3−x ，下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）的图象是轴对称图形，不是中心对称图形 B ．f （x ）在（0，32）上单调递增，在（32，3）上单调递减C ．f （x ）的最大值为√3，最小值为0D ．f （x ）的最大值为√6，最小值为√3解：对于函数f （x ）=√x +√3−x ，（0＜x ＜3），对于A ：函数f （3﹣x ）＝f （x ），故函数关于x =32对称，故函数为轴对称图形，不是中心对称图形，故A 正确；对于B ：f ′(x)=12√x 12√3−x =√3−x−√x 2√x √3−x ，令f ′（x ）＝0，解得x =32，当x ∈[0，32]时，f ′（x ）＞0，函数在x ∈[0，32]上单调递增，当x ∈[32，3]时，f ′（x ）＜0，函数在x ∈[32，3]上单调递减，故B 正确；对于C ：函数在x =32时取得最大值，最大值为√6，函数在x ＝0和3时取得最小值，最小值为√3，故C错误，故D 正确； 故选：ABD ．10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件A i （i ＝1，2，3）相互独立 B ．P(A 1B)=522C ．P(B)=25D ．P(A 2|B)=845解：由题意得P （A 1）=12，P （A 2）=15，P （A 3）=310， 先A 1发生，此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P （B |A 1）=511， 先A 2发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P （B |A 2）=411， 先A 3发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，则P （B |A 3）=411， ∴P （A 1B ）＝P （B |A 1）P （A 1）=522，故B 正确； P （A 2B ）＝P （B |A 2）P （A 2）=455，P （A 3B ）＝P （B |A 3）P （A 3）=655， P （B ）＝P （B |A 1）P （A 1）+P （B |A 2）P （A 2）+P （B |A 3）P （A 3）=922，故C 错误； P （A 1）P （B ）≠P （A 1B ），P （A 2）≠P （A 2B ），P （A 3）P （B ）≠P （A 3B ），故A 错误； P （A 2|B ）=P(A 2B)P(B)=P(B|A 2)P(A 2)P(B)=845，故D 正确． 故选：BD ．11．若函数f(x)=sin(2ωx +π6)−12(ω＞0)在区间(0，π24)上单调递增，则（ ） A ．存在ω，使得函数f （x ）为奇函数 B ．函数f （x ）的最大值为12C ．ω的取值范围为（0，4]D ．存在4个不同的ω，使得函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称解：f(x)=sin(2ωx +π6)−12，定义域为 R ，f(−x)=sin(−2ωx +π6)−12≠−sin(2ωx +π6)+12=−f(x)， 则不存在ω，使得函数f （x ）为奇函数，故A 错误；由−1≤sin(2ωx +π6)≤1，得−32≤f(x)≤12，则f （x ）的最大值为12，故B 正确；由于f （x ）在区间(0，π24)上单调递增，故{π6≥−π2+2kπωπ12+π6≤π2+2kπ，k ∈Z解第一个不等式得k ≤13，∵k ∈Z ，故k max ＝0，解二式得ω≤24k +4，故ω≤4， 又ω＞0，所以0＜ω≤4，故C 正确； 令2ω×π2+π6=mπ+π2，m ∈Z ，解得ω=13+m ，m ∈Z ， 由0＜ω≤4知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=3x1+3x ，设x i （i ＝1，2，3）为实数，且x 1+x 2+x 3＝0．下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点(0，12)对称 B ．不等式f(x −1)＞12的解集为{x |x ＞1} C ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＜32D ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＞32解：记f （x ）＝g （x ）+12，则g （x ）=12⋅3x−13x +1，g （﹣x ）=12⋅3−x−13−x +1=12⋅1−3x1+3x =−g （x ），∴g （x ）为奇函数， 又g （x ）=12(1−23x+1)，y ＝3x +1＞0且单调递增， ∴y =−23x+1单调递增，∴g （x ）单调递增，且g （x ）的图象如下图所示， 对于A ，∵g （x ）关于点（0，0）对称，∴f （x ）关于点(0，12)对称，所以A 正确；对于B ，f(x −1)＞12⇔f （x ﹣1）＞f （0），即g （x ﹣1）＞g （0），∴x ﹣1＞0，∴x ＞1，所以B 正确； 对于CD ，x 1•x 2•x 3＜0，x 1+x 2+x 3＝0．不妨设x 3＜0，则x 1，x 2＞0，由g （x ）图象可知，图象上横坐标间距相等的两个点连线的斜率越来越小，有k NP ＜k OM ， ∴g(x 1+x 2)−g(x 2)x 1＜g(x 1)−g(0)x 1，g （0）＝0，∴g （x 1）+g （x 2）＞g （x 1+x 2），∴g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）＝g （x 1）+g （x 2）﹣g （﹣x 3）＝g （x 1）+g （x 2）﹣g （x 1+x 2）＞0，∴f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＝g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+32＞32，所以D 正确，C 错误．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（1+x 2）（1+2x ）4的展开式中x 3的系数为 40 ．解：因为（1+2x ）4的展开式的通项T r+1=C 4r (2x)r =2r C 4r x r， 令r ＝3和r ＝1，可得x 3的系数为23C 43+2C 41=8×4+2×4=40．故答案为：40．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 x =−5π24． 解：因为函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度可得 g （x ）＝f （x −π6）＝3sin （2x −π3+π4）＝3sin （2x −π12）， 则y ＝g （x ）的对称轴为2x −π12=π2+k π，k ∈Z ，即x =7π24+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝0时，x =7π24， 当k ＝﹣1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24， 15．已知双曲线x 2−y 2a2=1，若过点（2，2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 的取值范围为 (1，√2)∪（√2，√213） ． 解：∵过（2，2）能作双曲线x 2−y 2a 2=1的两条切线， ∴点（2，2）在双曲线外部，则4−4a 2＜1，得a 2＜43，∴e 2=1+a 2＜73，即e ＜√213，又点（2，2）不在该双曲线渐近线上，∴e ≠√2， 综上，e ∈(1，√2)∪(√2，√213)，故答案为：(1，√2)∪（√2，√213）．16．已知不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1），对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则a 的取值范围是 （e 1e ，+∞） ．解：因为a ＞0且a ≠1，所以不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）可化为a x ﹣1lna ＞ln （x ﹣1），又因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以（x ﹣1）a x ﹣1lna ＞（x ﹣1）ln （x ﹣1），所以（x ﹣1）lna •e（x ﹣1）lna＞e ln（x ﹣1）ln （x ﹣1），设f （x ）＝xe x ，则f ′（x ）＝e x +xe x ＝（1+x ）e x ，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）单调递增； 若（x ﹣1）lna •e （x ﹣1）lna＞e ln（x ﹣1）ln （x ﹣1），则（x ﹣1）lna ＞ln （x ﹣1），所以lna ＞ln(x−1)x−1， 设g （t ）=lnt t ，且t ＝x ﹣1，t ＞0，则g ′（t ）=1−lntt2，t ＞0； 所以t ∈（0，e ）时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，t ∈（e ，+∞）时，g ′（t ）＜0．g （t ）单调递减； 所以g （t ）的最大值为g （e ）=1e ，令lna ＞1e ，解得a ＞e 1e ，所以a 的取值范围是（e 1e ，+∞）．故答案为：（e 1e ，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．解：（1）由题可得S n +1=(a 1+1)⋅2n−1，①， n ≥2时，S n−1+1=(a 1+1)⋅2n−2，②， ①﹣②⇒a n =(a 1+2)⋅2n−2(n ≥2)， ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1=2⇒a 1+1a 1=2⇒a 1=1，∴a n =2n−1；（2）由（1）可得na n =n ⋅2n−1，∴T n =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−2+n ⋅2n−1，①， 2T n =1⋅21+2⋅22+⋯+(n −2)⋅2n−2+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ，②， ①﹣②得：−T n =1+2+22+⋯+2n−1−n ⋅2n=1⋅(1−2n)1−2−n ⋅2n =2n −1−n ⋅2n =(1−n)⋅2n −1，∴T n =(n −1)⋅2n +1．18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ． （1）求B ；（2）当△ABC 为锐角三角形，b ＝2时，求△ABC 的周长的取值范围． 解：（1）∵（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ，∴由正弦定理可得2sin 2A ﹣sin C sin A +2sin 2C ﹣sin A sin C ＝2sin 2B ， ∴sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B ＝sin A sin C ， ∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，又0＜B ＜π，∴B =π3；（2）∵△ABC 为锐角三角形，且b ＝2， ∴由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=√32=√3∴a =43，c =43， 又B =π3，∴A +C =2π3，∴a +b +c =4√3+sin(2π3−C)]+2＝4sin （C +π6）+2，∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0＜2π3−C ＜π20＜C ＜π2，∴π6＜C ＜π2，∴π3＜C +π6＜2π3， ∴sin （C +π6）∈（√32，1]， ∴a +b +c ∈（2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为（2+2√3，6]．19．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）|＝k |x 2﹣x ﹣1|恰有四个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 解：（1）由f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1，得f （﹣x ）＝2f （x ）﹣3x ﹣1． ∴f （x ）＝4f （x ）﹣3x ﹣3，解得f （x ）＝x +1； （2）显然k ≠0，1k=|x 2−x−1x+1|＝|（x +1）+1x+1−3|，只需要函数y ＝|（x +1）+1x+1−3|与y =1k 的图象有四个不同的交点， （i ）当x ＜﹣1时，函数y ＝（x +1）+1x+1在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减， ∴当x ＝﹣2时，|（x +1）+1x+1−3|min ＝5， （ii ）当x ＞﹣1时，函数y ＝（x +1）+1x+1在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ∴（x +1）+1x+1≥2，当且仅当x ＝0时取等号，∴（x +1）+1x+1−3≥﹣1， 又当x =1±√52时，（x +1）+1x+1−3＝0， 由此，可作函数y ＝|（x +1）+1x+1−3|与y =1k 的图象的示意图如图所示，根据图象，可得0＜1k＜1或1k＞5，解得k＞1或0＜k＜15，∴实数k的取值范围为（0，15）∪（1，+∞）．20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n（n∈N*），统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K2≈4.040．（1）求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X，求X的数学期望．附表：附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．解：（1）2×2的列联表如下：K2=20n×(6n×5n−4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，因为n∈N*，所以n＝20，∵P（K2≥3.841）＝0.05，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1−C 43C 93=1−484=2021； ②由题意可知X ～B(10，1120)， 故E(X)=10×1120=112． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为√32，上顶点为M ，下顶点为N ，|MN |＝2，设点T （t ，2）（t ≠0）在直线y ＝2上，过点T 的直线TM ，TN 分别交椭圆C 于点E 和点F ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若△TMN 的面积为△TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？解：（1）由题意可得|MN |＝2b ＝2⇒b 2＝1，由椭圆的离心率为√32可得e 2=1−b 2a 2=34⇒a 2=4，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由题意知直线TM 的方程为y =x t +1，直线TN 的方程为y =3xt−1． 由{x 24+y 2=1y =x t+1，得E(−8t t 2+4，t 2−4t 2+4)．同理，F(24t t 2+36，36−t 2t 2+36)． 所以k EF =36−t 2t 2+36−t 2−4t 2+424t t 2+36+8tt 2+4=(36−t 2)(t 2+4)−(t 2−4)(t 2+36)24t(t 2+4)+8t(t 2+36)=−t 4−14416t 3+192t =−(t 2−12)(t 2+12)16t(t 2+12)=−t 2−1216t ，所以直线EF 的方程为：y −t 2−4t 2+4=−t 2−1216t (x +8tt 2+4)，即t 2−1216t x +y −12=0，所以直线EF 过定点P(0，12)．（3）设EF 交y 轴与P ，则S △TEF =S △TMN −S △FPN +S △PEM =|t|−18|t|t 2+36+2|t|t 2+4． 因为S △TMN ＝|t |，所以k =S △TMN S △TEF =t 4+40t 2+144t 4+24t 2+144=1+16t 2+144t2+24≤1+162√144+24=43．当且仅当t2=144t2，即t=±2√3时，等号成立．所以当t=±2√3时，k取得最大值43．22．（12分）已知函数f（x）=12ax2+（a+1）x+lnx（a∈R）．（1）若1是f（x）的极值点，求a的值．（2）求f（x）的单调区间．（3）若f（x）=12ax2+x有两个实数解x1，x2（x1＜x2），（i）直接写出a的取值范围；（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x1，x2，当s＝λ（x1+x2）时都有f′（s）＜0，求λ的取值范围．解：（1）f′（x）＝ax+a+1+1 x ，因为1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即2a+2＝0，所以a＝﹣1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax+a+1+1x =ax2+(a+1)x+1x=(ax+1)(x+1)x，当a＝0时，f′（x）=x+1 x，所以在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a≠0时，令f′（x）＝0得x=−1a或x＝﹣1，若−1a=−1，即a＝1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若−1a＜−1，即0＜a＜1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若﹣1＜−1a＜0，即a＞1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若−1a＞0，即a＜0时，在（0，−1a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（−1a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上所述，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减． （3）（i ）因为f （x ）=12ax 2+x 有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2），所以12ax 2+（a +1）x +lnx =12ax 2+x 有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2），即ax +lnx ＝0有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以a =−lnxx有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2）， 令g （x ）=−lnxx ，g ′（x ）=−1x ⋅x−lnx x 2=lnx−1x 2，令g ′（x ）＝0得x ＝e ，所以在（0，e ）上g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 在（e ，+∞）上g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （e ）=−1e，当x →0时，g （x ）→+∞；当x →+∞时，g （x ）＜0， 所以−1e ＜a ＜0，所以a 的取值范围为（−1e，0）．（ii ）由（i ）得，0＜x 1＜−1a ＜x 2，{ax 1+lnx 1=0ax 2+lnx 2=0，所以a =−lnx 2−lnx 1x 2−x 1，又f ′（s ）＜0，所以(as+1)(s+1)s＜0，即s ＞−1a ，即λ（x 1+x 2）＞x 2−x1lnx 2−lnx 1，所以λ＞x 2−x 1(lnx 2−lnx 1)(x 1+x 2)=x 2x 1−1ln x 2x 1(1+x 2x 1)， 令t =x 2x 1（t ＞1），则λ＞t−1(1+t)lnt， 令v （t ）=t−11+t （t ＞1），则v ′（t ）=2(1+t)2＞0， 所以v （t ）在（1，+∞）上单调递增， 所以v （t ）＞t （1）＝0， 当λ≥12，即0＜1λ≤2时，1λ•t−11+t≤2(t−1)1+t，所以lnt −1λ•t−11+t ≤lnt −2(t−1)1+t ， 下证lnt −2(t−1)1+t ＞0，令h （t ）＝lnt −2(t−1)1+t （t ＞1），则h ′（t ）=1t −2(1+t)−2(t−1)(1+t)2=(1+t)2−4t (1+t)2=(t−1)2(1+t)2＞0， 所以h （t ）在（1，+∞）上单调递增， 所以h （t ）＞h （1）＝ln 1−2(1−1)1+1=0，综上所述，lnt ＞1λ•t−1t+1，所以λ＞t−1(1+t)lnt 恒成立，当0＜λ＜12，即1λ＞2时，1λ•t−1t+1＞2(t−1)1+t，所以lnt −1λ•t−1t+1＞lnt −2(t−1)1+t ，即lnt −1λ•t−1t+1＞0不恒成立， 即λ＞t−1(1+t)lnt 不恒成立，不满足题意， 综上所述，λ≥12，所以λ的取值范围为[12，+∞）．。
2023届浙江省杭州市示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
解得： ，
即函数 的单调递减区间为： ， ；
Ⅱ 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，
得 ，
又 ，即 ，
由 ， ，
得： ， ，
由诱导公式可得 ，
所以 ，
所以 ，
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换，涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题，属于中档题
17．（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ， 是第四象限角， ， ，求 .
18．已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值
19．求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，且当 ， 时， ，求 的值
【详解】由题知， ，
则 恒成立，即 ， ，
又定义域应关于原点对称，则 ，解得 ，
因此 ， ，易知函数 单增，
故 等价于
即 ，解得
故答案为：
14、23
【解析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设， ， ，
所以 ， .
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
【详解】解： ，
弧长 cm
故选：D
2、B
【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ ， 是4的倍数”的否定为“ ， 不是4的倍数”
故选：B
3、A
【解析】显然这个问题需要求交集.
【详解】对于： ， ；
对于： ， ；
故答案为：A.
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
最新杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)精品名师资料
最新杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)精品名师资料一、 填空（共20分，每空格4分）1．设(sin )1cos 2f x x =+，则()f x =222x -；2．函数()f x 在点0x 可导（可微）是()f x 在点0x 连续的 充分条件（充分、必要、充分必要）； 3．设函数()y f x =在区间I内二阶可导，如果()f x '' >0 ，曲线()y f x =在I内是凹的；4．设2x e 是()f x 的一个原函数，则(sin )cos f x xdx ⋅=⎰2sin xe C +；5．0=⎰ 1 。
二、 单项选择题（共20分，每小题4分）1. arcsin arccos x x += ( C )A.2πB. πC. 2π D. 02．由2,12t x y t ==-确定的方程，二阶导数22d ydx= ( C )A. 1tB. 21tC. 31tD. 41t3．函数()2f x x =+在点0x =处 ( A )A. 连续但不可导B. 连续且可导C. 不连续故不可导D. 具有连续的导数4. 设()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则至少存在一点(,)a b ξ∈使( A )成立A. ()0f ξ=B. '()0f ξ=C. ''()0f ξ=D. ()()'()()f b f a f b a ξ-=- 5. 已知⎩⎨⎧≥<=,1,ln ,1,e )(x x x x f x 则()x f 在1=x 处的导数（ D ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于eD. 不存在三、计算题（共48分，每题8分）1．求由下面参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x 确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dx y d解：223sin cos tan 3cos sin dydy a d dx dx a d θθθθθθθ===--――――――――4分 22224()sec 1()3cos sin 3cos sin dy d dx d y d dy d dx dx dx dx a a d θθθθθθθ-====-――――――――4分2．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x 1)1ln(1lim解：0011ln(1)limlimln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣⎦―――――――1分0111lim ln(1)1x xxx x→-+=+++洛――――――2分lim(1)ln(1)x xx x x →=+++ ―――――1分1lim2ln(1)x x →=++洛―――――――――2分12=―――――――――――2分3．求不定积分⎰-+dx xx x x 3cos sin cos sin解：(sin cos )x x =- ―――――4分233(sin cos )2x x C -=-+ ――――――――――4分4．设2)(x e x f -=,求⎰'''10.)()(dx x f x f解：2)(x e x f -=，2'()2x f x xe -=-―――――――――2分110()()()(())f x f x dx f x d f x '''''=⎰⎰――――――1分1201(())2f x '=――――――――2分212202x x e -=―――――――――1分22e -=―――――――――――2分 5．求函数32()23,14f x x x x =--≤≤的最大值和最小值解：322()23,'()666(1)f x x x f x x x x x =-=-=-―――――――2分 解方程'()0f x =，得到120,1x x ==。
2019-2020学年人教A版浙江省杭州市高三第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列二、填空题11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝，|z|＝．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝，展开式中各项系数和等于．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝；若AD ＝AC＝1，则BC＝．14．已知函数，则f[f（2019）]＝；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝．三、解答题18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，可得a＝2，c＝，利用离心率计算公式即可得出．解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解．解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据e x•e y＝（e x）y，可得x+y＝xy，再利用基本不等式可得，从而得到，然后确定当x+y取得最小值时x的值即可．解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝从而P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此推导出P（ξ＝1）＞D（ξ）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及单调性，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a ﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确．解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f （x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），由，p＝2c，可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x，整理可得：a﹣e＝⇒e＝即可．解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【分析】本题先将递推式进行变形，然后令t＝，根据题意有常数t≠0，且t≠1．将递推式通过换元法简化为a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝（t ﹣1）（a n+1﹣a n）．根据此时逐步递推可得a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．根据题意有a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，可得到数列{a n}是一个等差数列．由此可得正确选项．解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝ 1 ，展开式中各项系数和等于64 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中各项系数和．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝ 2 ；若AD＝AC＝1，则BC＝．【分析】①根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；②由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值．解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0 ；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】推导出f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，结合图形，能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11 ．【分析】问题等价为函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根，依题意，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而利用三次函数的性质可求得x2＝1，进而求得a的值．解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2 ．【分析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x ﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【分析】（1）写出k＝1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得f（x）的单调增区间；（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数．解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【分析】（1）由题意得，，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求；（2）由，结合0＜＜1恒成立，即可得到c n＜＜＝，结合等差数列的前n项和公式即可证明．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【分析】（1）求出导数，分类讨论a的正负即可；（2）表示出g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出g （x）单调区间，进而求出a的取值范围解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln （﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。
杭州师范大学2012-2013学年线性代数第一学期期末考试
杭州师范大学学院2012-2013学年第一学期期末考试《线性代数A》试卷（A）一、单选题（在每小题的四个备选题答案中选出一个正确答案，并将答案的序号填入题后的括号内。
共30分，每小题3分。
）1. 下列选项中属于四阶行列式的项是（）（A）（B）（C）（D2. 设均为阶可逆方阵，则=（）（A）（B）（C）（D）3. 设，则下列结论不一定正确的是（）（A）（B）（C）（D）4. 设为阶方阵，且，则必有（）。
（A）（B）（C）（D）5. 设，则的伴随矩阵的第一行第三列的元素为（）。
（A ）-2 （B）2 （C）20 （D）-206. 已知阶矩阵的行列式，实数，那么（A）（B）（C）（D）7. 设是阶可逆矩阵，则下列结论不一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）8.设则与可交换的充要条件是（）（A）（B）（C）（D）9.设向量组线性相关， 线性无关，则必有（ ） （A ）线性无关 （B ）线性相关 （C） 线性无关 （D ）线性相关10.设向量组线性相关，则下列结论正确的是（ ）（A ）至少有一个向量为零向量 （B ）一定大于向量的维数（C ）至少有一个向量可由其它向量线性表示 （D ）每个向量均可由其它向量线性表示二、填空题（每小题3分，共20分）1. 设向量（-6，4，2）与向量（3，-2，a ）线性相关，则a=________。
2. 设为4阶方阵且，则=_____________。
3.设矩阵，则=____________。
4. 设矩阵与4阶单位阵等价，则=___________。
5. 如果线性方程组有非零解，则λ=____________。
三、计算题（每小题10分，共50分）1. 设，求的值。
2. 设且求。
3. 计算行列式4. 设。
判断向量能否由向量组 线性表示，如果能，则写出表示式，如果不能，则说明理由。
5. λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=-+λλλ32132132120221x x x x x x x x x 没有解、有唯一解、有无穷解，并在有无穷多解时，求出其通解。
浙江师范大学 高等数学(上) 期末试题 A卷答案(理科1)
浙江师范大学《 高等数学（上） 》 A 卷答案（理科1）一、 选择题（每小题2分，共12分）1、C2、C3、D4、D5、B6、A二、 填空题（每小题2分，共16分）①e -3 ② 0 ③[1,1]- ④ln cos sin 2x x x C --++⑤ 5ln 6⑥ 2 ⑦ ⑻ x xy 224+'=() 三、问答题（5分） 221()x f x x x x-=-指出sin 的间断点，并判别其类型． 解 (1)(1)()01()(1)x x x f x x x f x x x +-===-sin ，与是的间断点 00(1)lim ()lim 2x x x x f x x →→+==sin 因，11(1)sin lim ()lim 2sin1x x x x f x x→→+==， 1()f x 所以0和都是的可去间断点。
四、 计算题（每小题7分，共49分）1、1lim xx x →+∞求极限 11ln lim ln lim lim 0.1xx x x x x y x y x →+∞→+∞→+∞====解设,则 01e ==原式2、44411ln ,d 4(1)41x y y x x=+++设 求． 解d ()d y y x x '=33324442141441d d 4(1)41(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦ 3、.d )1(3x e e x x ⎰+求 解x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 41(1).4x e C =++ 4、.)1)(1(d 2⎰++x x x 求 22d 111:()d (1)(1)211x x x x x x x -=-++++⎰⎰解2221d 1d(1)1d 214121x x x x x x +=-++++⎰⎰⎰ 2111l n 1l n 1a r c t a n .242x x x C =+-+++（） 1200d ()d ln(1)d d y t y y x xy e t t t x -=+⎰⎰5、设是由方程所确定的隐函数，求． 解 y xy e y y +'-'=0，'=-y y e xy6、求232sec ,d sec tan d sec tan d 1d cos d sin cos sec tan sec 22x t x t t tt t t t t t t t t C t t t ==⋅⋅====++⋅⎰⎰⎰解 令 原式11arccos .2C x = 7、求微分方程d 1d e yy x x =+的通解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空（共20分，每空格4分）
1．设(sin )1cos 2f x x =+，则()f x =222x -；
2．函数()f x 在点0x 可导（可微）是()f x 在点0x 连续的 充分 条件（充分、必要、充分必要）；
3．设函数()y f x =在区间I 内二阶可导，如果()f x '' >0 ，曲线()y f x =在I 内是凹的；
4．设2x e 是()f x 的一个原函数，则
(sin )cos f x xdx ⋅=⎰2sin x e C +； 5
．
0=⎰ 1 。
二、单项选择题（共20分，每小题4分）
1. arcsin arccos x x += ( C ) A.2π B. π C. 2
π D. 0 2．由2,12t x y t ==-确定的方程，二阶导数22d y dx
= ( C ) A. 1
t B. 21t C. 31t D. 41t
3．函数()2f x x =+在点0x =处 ( A )
A. 连续但不可导
B. 连续且可导
C. 不连续故不可导
D. 具有连续的导数
4. 设()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则至少存在一点(,)a b ξ∈使( A )成立
A. ()0f ξ=
B. '()0f ξ=
C. ''()0f ξ=
D. ()()'()()f b f a f b a ξ-=-
5. 已知⎩
⎨⎧≥<=,1,ln ,1,e )(x x x x f x 则()x f 在1=x 处的导数（ D ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于e D. 不存在
三、计算题（共48分，每题8分）
1．求由下面参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ33sin cos a y a x 确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d 解：223sin cos tan 3cos sin dy
dy a d dx dx a d θθθθθθ
θ
===--――――――――4分 22224()sec 1()3cos sin 3cos sin dy d dx d y d dy d dx dx dx dx a a d θθθθθθ
θ
-====-――――――――4分 2．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-+→x x x 1)1ln(1lim 0 解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣
⎦ ―――――――1分 0111lim ln(1)1x x x x x →-
+=+++洛 ――――――2分 0lim (1)ln(1)
x x x x x →=+++ ―――――1分 01lim 2ln(1)
x x →=++洛―――――――――2分 12=
―――――――――――2分
3．求不定积分⎰-+dx x x x x 3cos sin cos sin
解：
(sin cos )x x =- ―――――4分 233(sin cos )2
x x C -=-+ ――――――――――4分 4．设2)(x e x f -=,求⎰'''1
0.)()(dx x f x f
解：2
)(x e x f -=，2'()2x f x xe -=-―――――――――2分
1
1
00()()()(())f x f x dx f x d f x '''''=⎰⎰――――――1分 120
1(())2f x '=――――――――2分 212202x x e
-=―――――――――1分 22e -=―――――――――――2分
5．求函数32
()23,14f x x x x =--≤≤的最大值和最小值
解：322()23,'()666(1)f x x x f x x x x x =-=-=-―――――――2分
解方程'()0f x =，得到120,1x x ==。
由于――――――2分
(1)5,(0)0,(1)1,(4)80f f f f -=-==-=―――――――2分
比较得，32()23,14f x x x x =--≤≤的最大值(4)80f =，最小值(1)5f -=-。
―2分 6．设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0011sin )(x x x x a x x x x f 当当当,在),(+∞-∞内连续,求a .
解：在(,0)-∞内，1()sin 1f x x x =+连续；在(0,)+∞内，sin ()x f x x
=连续，故只需考察()f x 在点0x =处的连续性。
―――――2分
001(0)lim ()lim(sin 1)1x x f f x x x
---→→==+=―――――――2分 00sin (0)lim ()lim 1x x x f f x x
+-+→→===―――――――2分 因此当1(0)(0)(0)f f f a -+====时，()f x 在0x =处连续，从而在),(+∞-∞内连续－2分
四、证明题（共12分，每题6分）
1． 证明方程5
310x x --=至少有一个根介于1与2之间.
证明：函数5()31f x x x =--在闭区间[1，2]上连续，又―――――1分
(1)30,(2)250f f =-<=>，――――――2分
根据零点定理，在开区间（1，2）内至少有一点ξ，使得
2． 证明不等式：ln(1),(0)1x x x x x
<+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+，
则对任意的0x >，()f x 在闭区间[1,]x 上满足拉格朗日中值定理的条件，―――2分 且1'()1f x x
=+，――――1分 1()(0)ln(1)0ln(1)(0)
,011x f x f x x x x ξξξ-=+-=+=-=<<++―――2分 因此，
ln(1)1110
x x x x x x ξ<+=<=+++―――――――1分 5()0,310(12)f ξξξξ=--=<<即―――――――2分
这等式说明5310x x --=在1与2之间至少有一个根。
――――1分。