同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
(完整word版)大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上(1)一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值;(B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案2套

(2)该曲线在哪点处的曲率半径为 2 ?
∫⎧
2.设
ϕ
(x)
=
⎪ ⎨
⎪
2x et2 d t
x
,
x
⎩ a,
x ≠ 0, 求 a 的值,使得ϕ(x)在 x = 0 处连续,并用导数定义求ϕ ′(0) .
x = 0,
三、
∫ 1.求定积分 I = π x2 1− sin 2 x d x . 0
2.若
f
(x)
2 0
−
x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
π π
2
= π 2 + 2π − 4 . 2
2.当 x < 0 时, 当 x ≥ 0 时,
∫ F(x) =
x −∞
1 1+ t2
dt
= arctan x +
π 2
;
∫ ∫ F(x) = 0 1 d t + x
−∞ 1+ t2
0
1 d t = π + [2 arctan t (1+ t) 2
4 + y2 d y −1000g
h(t )
y
4+ y2 d y ,
−1
−1
−1
上式两边对 t 求导,得
∫ d F = 1000g h(t) 4 + y2 d y d h ,
dt
−1
dt
由于 d h = −0.01,因此,当水面下降至平板的中位线(即 x 轴)时,平板一侧所受到的水压力的下 dt
降速率为
t
]
x 0
=
2 arctan
x+π . 2
大一高数期末考试复习题及标准答案

大一高数期末考试复习题及答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分)1.21lim()xx x e x →-=.2.()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰.3.设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定,则0x dydx==.4. 设()x f 可导,且1()()xtf t dt f x =⎰,1)0(=f ,则()=x f .5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分)1.设常数0>k ,则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为( ).(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为( ).(A )cos2y A x *=; (B )cos2y Ax x *=;(C )cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; (D )x A y 2sin *=. 3.下列结论不一定成立的是( ).(A )若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B )若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;(C )若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D )若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( ).(A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分) 1.计算定积分2230x x e dx-⎰.2.计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .本页满分36分 本页得分本页满分 12分 本页得分3.求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰,求)(x F '.5.设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=,求n n x∞→lim .四.应用题(共3小题,每小题9分,共计27分) 1.求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2.设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定,试求D 绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五.证明题(7分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==,试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一.填空题(每小题4分,5题共20分):1. 21lim()x x x e x →-=21e .2.()()1200511xxx xe e dx --+-=⎰e 4.3.设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定,则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导,且1()()x tf t dt f x =⎰,1)0(=f ,则()=x f 221x e.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二.选择题(每小题4分,4题共16分):本页满分 12分 本页得分本页满分15分 本页得分本页满分18分 本页得分本页满分7分 本页得分1.设常数0>k ,则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为( B ). (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 ( C )(A )cos2y A x *=; (B )cos2y Ax x *=; (C )cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; (D )x A y 2sin *= 3.下列结论不一定成立的是 ( A )(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( C ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(每小题6分,5题共30分): 1.计算定积分⎰-2032dxe x x .解:⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22.计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33.求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解:切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(,则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---. 5.设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=,求nn x ∞→lim .解:)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(101-=+-+⎰dx x xx x ------------2 故 n n x∞→lim =e e 412ln 2=- 四.应用题(每小题9分,3题共27分) 1.求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解:设切点为),00y x (,则过原点的切线方程为xx y 2210-=,由于点),00y x (在切线上,带入切线方程,解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2.设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定,试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解:法一:21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3法二:V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a>atatf t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a问a为何值时)(at最小? 并求最小值.解:.lnlnln1)(ln)(aaataaatf t-==-='得由--------------- 3)(ln1lnln)(2eeaaaaat==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaatea eee=<'<>'>-----2 故.11ln1)(,)(eeeetatea ee-=-==最小值为的最小值点为--------------1五.证明题(7分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==,试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明:设()()F x f x x =-,()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导,因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ,知11111()=()-=1-=22222F f ,在1[1]2,上()F x 用零点定理, 根据11(1)()=-022F F <,--------------- 2可知在1(1)2,内至少存在一点η,使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂,,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-,证毕. --------------3。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案

同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称:《高等数学》试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷)一、单选题(共15分,每小题3分)1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )A .(,)f x y 在P 连续B .(,)f x y 在P 可微C . 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D .00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2.若x y z ln =,则dz 等于( ).ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f).212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4. 4.若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).A . 条件收敛B . 绝对收敛C . 发散D . 敛散性不能确定5.曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空题(共15分,每小题3分) 1.设220x y xyz +-=,则'(1,1)x z = .2.交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后,I =_____________________.3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑,则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.(本小题满分6分)设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程.3. (本小题满分7分)求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
同济大学高等数学期末考试题

《高数》试卷7(上) 一、 选择题(每小题3分)1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ).A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2-2、极限xx e ∞→lim 的值是( ).A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在3、=--→211)1sin(lim x x x ( ). A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( )A 、 )1(2-=x yB 、)1(4-=x yC 、14-=x yD 、)1(3-=x y5、下列各微分式正确的是( ).A 、)(2x d xdx =B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =6、设 ⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ).A 、2sin xB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x- 7、⎰=+dx x xln 2( ).A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V (). A 、⎰104dx x π B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y πD 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e x x( ).A 、21ln e+ B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e+10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ).A 、x e y 273=*B 、x e y 73=*C 、x xe y 272=*D 、xe y 272=*二、 填空题(每小题4分)1、设函数x xe y =,则 =''y ;2、如果322sin 3lim 0=→x mxx , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ;4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ; 三、计算题(每小题5分)1、求极限 x xx x --+→11lim 0 ; 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数;3、求函数 1133+-=x x y 的微分; 4、求不定积分⎰++11x dx;5、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ; 6、解方程 21x y xdx dy -= ;四、应用题(每小题10分)1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、A ; 9、A ; 10、D ;二、1、x e x )2(+; 2、94; 3、0 ; 4、xe x C C y 221)(-+= ; 5、8,0三、1、 1; 2、x 3cot - ; 3、dx x x 232)1(6+ ; 4、C x x +++-+)11ln(212; 5、)12(2e- ; 6、C x y =-+2212 ; 四、 1、38; 2、图略。
2021年大一高等数学上册(同济版)期末试卷及答案(精选版)

2021年大一高等数学上册(同济版)期末试卷及答案(精选版)一、填空题1、=⎰-113cos xdx x ;【答案】02、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ,最小值是 ;【答案】5ln ,0 ;3、(1)求极限 x x x x --+→11lim 0 ; (2)求x x y sin ln cot 212+= 的导数; 【答案】(1) 1; (2)x 3cot - ;4、设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=【答案】'()x x e f e5、已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π,则()2f '=. 【答案】33- 二、解答题(难度:中等)1、求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.【答案】18S =2、求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 【答案】12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰ 112242005210(1)(21)228()5315V x dx x x dx x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰3、求微分方程6130y y y '''++=的通解.【答案】特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r i y e C x C x -++=⇒=-±=+4、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.【答案】略5、求不定积分①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰【答案】 ①11ln ||23x C x +++②ln |x C + ③()1x e x C --++。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

一、填空题(每小题3分,共18分)
1.设函数 ,则 是 的第类间断点.
2.函数 ,则 .
3. .
4.曲线 在点 处的切线方程为.
5.函数 在 上的最大值,最小值.
6. .
二、单项选择题(每小题4分,共20分)
1.数列 有界是它收敛的().
必要但非充分条件; 充分但非必要条件;
充分必要条件; 无关条件.
二.选择题(每小题4分,4题共16分):
1.设常数 ,则函数 在 内零点的个数为(B).
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2.微分方程 的特解形式为(C)
(A) ;(B) ;
(C) ;(D)
3.下列结论不一定成立的是(A)
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2.下列各式正确的是().
; ;
; .
3.设 在 上, 且 ,则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的; 沿 轴正向下降且为凹的;
沿 轴正向上升且为凸的; 沿 轴正向下降且为凸的.
4.设 ,则 在 处的导数().
等于 ; 等于 ;
等于 ; 不存在.
5.已知 ,以下结论正确的是().
函数在 处有定义且 ; 函数在 处的某去心邻域内有定义;
大一高等数学期末考试试卷
(一)
一、选择题(共12分)
1. (3分)若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. (3分)已知 则 的值为( ).
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. (3分)定积分 的值为( ).
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3.求摆线 在 处的切线的方程.
解:切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ,则 .
5.设 ,求 .
解: ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四.应用题(每小题9分,3题共27分)
1.求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题(共12分)
1.(3分) 平面上过点 ,且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. (3分) .
3. (3分) =.
4. (3分) 的极大值为.
三、计算题(共42分)
1.(6分)求
2.(6分)设 求
3.(6分)求不定积分
4.(6分)求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的(C).
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
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学年第二学期期末考试试卷课程名称:《高等数学》试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次:适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷)一、单选题(共15分,每小题3分)1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )A .(,)f x y 在P 连续B .(,)f x y 在P 可微C . 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D .00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2.若xyz ln =,则dz 等于( ).ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ). 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4. 4.若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).A . 条件收敛B . 绝对收敛C . 发散D . 敛散性不能确定5.曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空题(共15分,每小题3分)系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------1.设220x y xyz +-=,则'(1,1)x z = . 2.交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后,I =_____________________.3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑,则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.(本小题满分6分)设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy∂∂.2.(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程.3. (本小题满分7分)求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
4. (本小题满分7分)将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数,并求收敛域。
5.(本小题满分7分)求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6.(本小题满分7分)计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x D由曲线σ及2-=x 围成.7.(本小题满分7分)利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22,其中L 是圆周222a y x =+(按逆时针方向).8.(本小题满分7分)计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ,其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .四、综合题(共16分,每小题8分)1.(本小题满分8分)设级数11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛,证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛。
2.(本小题满分8分)设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数,且2fx x∂=∂, 证明曲线积分2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关.若对任意的t 恒有(,1)(1,) (0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰⎰,求),(y x f 的表达式.参考答案及评分标准一、单选题(共15分,每小题3分):1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题(共15分,每小题3分) 1.-1 2. I =10(,)yee dyf x y dx ⎰⎰3. →→→-+-k j i 242 4 1(1)!n n n x n +∞=-∑ 5. (2,2)三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.解:222yx y x z +-=∂∂; (3分) y z∂∂=x y arctan +22yx xy + ( 6分). 2. 解:记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足:00023232x y z ==- ,切点为:(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分),切平面:23299x y z or -+=- ( 4分), 法线方程分别为:112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分) 3. 解:(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),(1,2)1f l∂=+∂ ( 7分) 4. 解:)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ( 2分)因为 ∑∞=+=-011)1(n nn x x ,)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ,即60<<x .( 5分)当0=x 时,级数为∑∞=031n 发散;当6=x 时,级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x ,)6,0(∈x ,( 7分)5. 解:由401284(2)0128z x x z y z y z y z y∂⎧==⎪∂--⎪⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)再代入08822222=+-+++z yz z y x ,得到0872=-+z z 即81,7z =-。
由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16(0,)7。
( 4分) 由224128z x z y ∂=∂--,20z x y ∂=∂∂,224128z y z y ∂=∂--,可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。
( 5分)在(0,2)-点,1z =,因此 224015z x ∂=>∂,所以(0,2)-为极小值点,极小值为1z =;( 6分) 在16(0,)7点,87z =-,因此 224015z x ∂=-<∂,所以16(0,)7为极大值点,极大值为87z =-, ( 7分) 6. 解:记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1101:1102:221y x y D y x D ,则21D D D -=.(2分) 故σσσd y x d y x d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21)()()(222222 ( 4分) -=-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2321311222ππθdr r d dx y x dy 4π(7分) 7. 解:L 所围区域D :222ay x ≤+,由格林公式,可得⎰-Lx y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)8. 解:如图,选取柱面坐标系计算方便,此时,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ωθθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 012π01 ( 4分)=⎰⎰r r d d 2sin 2130102πθθ=814)42cos (142π=⋅-r θ. (7分) 四、综合题(共16分,每小题8分) 1.证明:因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞→∞==,(2分)故存在N ,当n N >时,222()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤,因此21()nn n uv ∞=+∑收敛。
(8分)2.证明:因为2fx x∂=∂,且22()xy x y ∂=∂,故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关.(4分)因此设)(),(2y g x y x f +=,从而(,1)1122 (0,0)2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰,(5分) (1,)1 (0,0)2(,)0[1()]()t t txydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰,(6分) 由此得 12()t g y dy +⎰()tt g y dy =+⎰对任意t 成立,于是12)(-=t t g ,即12)(),(22-+=+=y x y g x y x f .(8分) 一、。