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大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小；无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1

(完整word版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)求极限　lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分).d )1(22x x x⎰+求3、(本小题5分)求极限lim arctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分)．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分)．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分)设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分)．求dx x x ⎰+3110、(本小题5分)求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分)．求⎰π+202sin 8sin dx x x12、(本小题5分)．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,22614、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分)求极限lim()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分).d cos sin 12cos x x x x⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分).8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本大题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→limx xx 261218 =2 2、(本小题3分)⎰+xx xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分)因为arctan x <π2而lim arcsin x x →∞=1故lim arctan arcsin x x x →∞⋅=14、(本小题3分)⎰-x x xd 1xx x d 111⎰----=⎰⎰-+-=x xx 1d d=---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分)原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin112xππ=-1 8、(本小题4分)解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )22229、(本小题4分)令　1+=x u原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分)),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为，　当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302lncos cos x x π=162ln 12、(本小题6分)dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-　13、(本小题6分)2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分)定义域，且连续(),-∞+∞'=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln由于''=+>-y e e x x 2022)21ln 21(,,=y 故函数有极小值15、(本小题8分)原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x x x x x x x 112131*********2222=⨯⨯⨯⨯=1011216101172 16、(本小题10分)dxxxdx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=xx d 2sin 211)12sin 21( =++ln sin 1122x c二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,=(完整word 版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dxx =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题 ( 本大题10分 )证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分, 共16分） 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D)()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C)()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）。

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D)函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B)222x+（C ）1x - （D ）2x +。

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。

7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C)()x α是比()x β高阶的无穷小； (D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ )。

（A)函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。

【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解

【DOC】—大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分）2ex,x 0，1。

（3分)若f（x）为连续函数，则a的值为（）。

a，x，x 0（A）1 （B）2 （C)3 （D）—12。

(3分）已知f （3) 2,则lim（A）1 (B）3 (C）-1 （D）。

h 012 f（3,h），f(3）2h的值为（）3。

（3分）定积分 2，2的值为( ）.(A）0 (B）-2 （C）1 (D）24. (3分）若f（x）在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ）.(A)必不可导 (B)一定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1（（3分) 平面上过点（0,1）,且在任意一点（x，y）处的切线斜率为3x2的曲线方程为。

2。

(3分）（x，xsinx）dx 。

，11243。

（3分） limxsinx 021x= 。

24. (3分） y 2x，3x的极大值为三、计算题（共42分)1. （6分）求limxln(1，5x）sin3x23x 0。

2. （6分）设y x，1求y 。

3。

（6分）求不定积分 xln(1，x2)dx。

14. （6分)求 30x ,x 1, 其中 f(x，1）dx，f（x） 1,cosx ex，1，x 1。

y5。

(6分)设函数y f（x)由方程 etdt，0 x0costdt 0所确定，求dy。

6。

（6分）设 f（x）dx sinx2，C,求 f（2x,3)dx。

3 7。

（6分）求极限lim 1, .n 2n n四、解答题(共28分）1。

（7分）设f （lnx) 1，x，且f（0) 1，求f（x）。

2。

(7分)求由曲线y cosx ，转体的体积。

2 x 与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋23. （7分)求曲线y x3，3x2,24x，19在拐点处的切线方程.4. （7分)求函数y x,［,5，1]上的最小值和最大值。

(完整word版)高数大一上学期期末试卷

菏泽学院 2012级2012-2013学年第1学期（专科）各专业《高等数学》期末试卷（B ）（110分钟）一、判断题（每小题２分，共10分）（对的打“√”，错的打“×”）( )1、数列{}n x 单调减少且有下界，则数列{}n x 必有极限；( )2、函数在某点处不可导，则曲线在相应点处没有切线；( )3、若)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，则必存在()b a ,∈ξ，使0)(='ξf ； ( )4、如果)(1x f 、)(2x f 分别是函数)(x f 的极大值、极小值，则必有21)()(x f x f >； ( )5、函数x x f =)(在0=x 处连续但不可导.二、选择题（每小题3分，共15分）（把答案填在题前括号内）( )1、当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（）A ．)1ln(3x +B ．xe 1 C ．x1sinD ．x e ( )2、=+→xx x 10)21(lim （）A. 1B. 2eC. 0D. ∞( )3、若)(x f =)3)(2)(1(---x x x x ，则方程0)(='x f 的实根的个数为（）A ．1个 B. 2个 C.3个 D.4个（）4、设,cos ln )(x x f = 则='')(x f （）。

A. x 2secB. x cotC. x 2sec -D. x tan - 。

( )5、设()F x 是()f x 的一个原函数，C 为常数，则下列函数中仍是)(x f 的原函数的是（） A ．)(Cx F B ．)(x C F + C ．)(x CF D ．C x F +)(2、设)12sin(+=x y ，则=dy _______________。

3、曲线3x y =在点)1,1(--的切线方程为______________________。

4、曲线的拐点是3)1(-=x y _____________________。

(完整版)大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.2.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .3. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)4. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.5. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.6. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

7.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

(完整word版)大一高数期末考试题(精)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

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2011 学年第一学期《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期高等数学2010 年 1 月11 日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.本页满分 36 分本页得一．填空题（共5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）分1lim( exx) x 2 .1． x 01x 2005 exexdxx 12．1.x y t 2dy3．设函数yy( x) 由方程e dt xx 01确定，则 dxxtf (t)dtf (x)4. 设f x1 ，则 f x可导，且1， f (0).5．微分方程y4 y 4 y的通解为.二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）.f ( x) ln xx k 1．设常数 ke 0 ，则函数在 ( 0,(A) 3 个;(B) 2 个 ;(C) 12．微分方程y4y 3cos2 x 的特解形式为（（ A ） yAcos2 x ;（ B ）y（ C ）yAx cos2 x Bx sin 2x ;（ D ） y *3．下列结论不一定成立的是（） .)内零点的个数为（个 ; (D) 0 个 .） .Ax cos2x ;A sin 2x .） .d b x dx（ A ）若c, da,b, 则必有f x dxf ;cabx dx0 （B ）若f (x)0 在 a,bf 上可积 , 则 a;a TT （ C ）若f x是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有af x dxxt dt（D ）若可积函数t ff x为奇函数 , 则 0也为奇函数 .1f 1 e xx14. 设2 3e x, 则 x 0 是f ( x)的（）.(A)连续点 ;(B) 可去间断点 ;(C)跳跃间断点 ;(D)无穷间断点 .f x dx;三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）本页满分12 分本页得23x2x e dx分1．计算定积分0.x sin x dx2．计算不定积分cos5 x.本页满分12 分本页得x a(t sin t ),t分3．求摆线y a(1cost ), 在 2 处的切线的方程.F ( x)x t )dtcos(x24. 设0，求F ( x) .本页满分15 分本页n (n 1)(n2)(n 3)( 2n)得x nn lim x n分5．设，求n.四．应用题（共 3 小题，每小题 9 分，共计 27 分）1．求由曲线y x 2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.本页满分18 分本页2．设平面图形D由x2y22x 与yx所确定，试求 D 绕直线x 2得分旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设 a 1, f (t)a t at 在 ( ,)内的驻点为t (a).问 a 为何值时t(a)最小?并求最小值 .本页满分 7 分本页五．证明题（ 7 分）得f (x)在 [0,1]上连续，在(0,1)分设函数内可导且f (0)= f (1) 0, f ( 1) 1，2试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f ()=1.一．填空题（每小题4 分，5 题共 20 分）：11lim( e x x) x 2e 21．x.1x 1 x 2005e x e x dx41 2．e .x yt 2dy3．设函数yy( x) 由方程1e dtx确定，则 dxx 0e1.xtf (t) dtf ( x)1 x 24. 设fx1，则 f xe 2 .可导，且1， f (0)5．微分方程y4 y4 y的通解为y(C 1 C 2 x)e2 x.二．选择题（每小题4 分， 4 题共 16 分）：f ( x) ln xx k( 0,)内零点的个数为（1．设常数 ke0 ，则函数在 B） .(A) 3 个 ; (B) 2 个 ;(C) 1 个 ; (D) 0 个 .2．微分方程y4 y 3cos2x 的特解形式为（C ）（ A ） yAcos2x ；（ B ）yAxcos2 x ；（ C ）yAxcos2 xBx sin 2x ；（ D ） y *A sin 2x3．下列结论不一定成立的是（ A ）dx dxbf x dx(A) (A) 若 c,d a,b , 则必有fca;bf x dx0 (B) (B)若 f ( x)0 在 a, b 上可积 , 则 a;(C) (C)若fx是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a都有a Tx dxT x dxa ff;xt dt(D) (D)若可积函数fxt f为奇函数 , 则 0也为奇函数 .1f x1 e x14. 设2 3ex, 则x0 是f ( x)的（ C） .(A)连续点 ;(B) 可去间断点 ;(C)跳跃间断点 ;(D)无穷间断点 .三．计算题（每小题 6 分， 5 题共 30 分）：1．计算定积分0 2x 3 e x 2dx .2 t , 则23 x 22 1 t1 2 t设 xx edxte dt2tde-------2解：10 2te t 2 2 t2 0e dt-------2e 21e t 21 3e 2222--------2x sin x dx2．计算不定积分cos 5 x .x sin x 1 xd ( 1 ) 1x dx5 dx 4 4 4 44解：cos xcos x cos x cos x--------3x 1 (tan 2 x 1) d tan x 4 cos 4 x 4x 1 tan 3 x 1 tan x C4 cos 4 x 12 4-----------3x a(t sin t ),tya(13．求摆线cost ), 在2 处的切线的方程 .(a( 1), a)解：切点为2 -------2kdya sin tdx ta(1cost) t1 -------222y a x a(1)y x ( 2)a 切线方程为2即2 . -------2F (x)xcos(x2t )dt，则 F ( x)2x cos x 2(2x1) cos( x 2x) .4. 设x nn(n 1)(n 2)( n 3) (2n)lim x nn.5．设，求 nln x n1 n ln(1 i )解：n i 1 n---------2lim ln x nlim nln(1i ) 1 1 x) dxln(1 nni 1n n--------------2x ln(1x) 10 1x 1dx 2 ln 2 1------------2=1 xlim x ne 2 ln 2 1 4故 n= e四．应用题（每小题 9 分， 3 题共 27 分）1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .解：y1x设切点为（x, y 0 )，则过原点的切线方程为2 x 0 2 ，（ x 0 , y 0 )在切线上，带入切线方程，解得切点为x 04, y 02.-----3由于点yx过原点和点(4, 2)的切线方程为 22-----------------------------3s22 22 20 ( y 22 y) dy3面积=-------------------3s2141 x2 2xdx(x2) dx3或222222．设平面图形 D 由 x2y22 x 与 yx所确定，试求 D 绕直线 x2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .解：法一：VV 1 V 211 y 221 2dy2 (1) dy(2 y ) 011 y2( y 1)2dy26-------21 1)312 (14 ( y 0)34 3--------321 x)( 2xx2x)dx( 2法二： V=21x) 2 x x 2dx 2 1 x 2)dx(2(2x------------------ 5(2 2x) 2 x x 22 2 x x 2 dx4 132(2x x 2) 23 12 114 30 4 32 1 24 1 2232323------------- 43. 设a1, f (t ) a tat 在 (,) 内的驻点为 t( a). 问 a 为何值时 t(a) 最小 ? 并求最小值 .由 f (t)a t ln a a 0得 t( a) 1 ln ln a .解:ln a --------------- 3又由 t (a)ln ln a 1 0得唯一驻点 a e ea(ln a) 2 ------------3当 ae e 时 , t (a) 0;当 a e e 时 , t (a) 0,于是 a e e 为 t (a)的极小值点 . -----2ae e 为 t (a)的最小值点 ,最小值为 t (e e )1 ln e1 1 .故ee --------------1五．证明题（ 7 分）设函数 f ( x) 在 [0,1]上连续，在(0,1)f (0)= f (1) 0, f ( 1) 1，内可导且2试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f ()=1.证明：设F (x)f (x)x ， F ( x) 在 [0,1] 上连续在 (0,1) 可导，因 f (0)= f (1)=0 ,有 F (0)f (0) 0 0, F (1) f (1) 1 1,--------------- 21F ( 1 1 1 1 1 ， [ 1 ，f ( )=1 )= f ( )- =1- = 1]又由 2 ，知 2 2 2 2 2 在2 上 F ( x) 用零点定理， 1 1 0F (1)F ( )=-根据 2 2 ， --------------- 2( 1 ，F ( )=0 ，( 1 (0,1)1),1)可知在 2 内至少存在一点，使得2,F (0)= F ()=0由 ROLLE 中值定理得至少存在一点(0,) (0,1) 使得F ()=0 即 f ( )1=0，证毕 . --------------3。