年高考全国卷3文科数学
2020年全国卷(3)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。
2 B。
3 C。
4 D。
52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。
$1-i$ B。
$1+i$ C。
$-i$ D。
$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。
0.01 B。
1 C。
100 D。
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。
当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。
60 B。
63 C。
66 D。
695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。
$\frac{3}{4}$ B。
$\frac{1}{4}$ C。
$-\frac{1}{4}$ D。
$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。
圆 B。
椭圆 C。
抛物线 D。
直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。
2020年全国3卷 文科数学附答案
2020年高考真题文科数学(全国III卷)1. 已知集合，，则中元素的个数为A2B3C4D52. 若，则ABCD3．设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为A0.01B0.1C1D104. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（In193）A60B63C66D695.已知，则ABCD6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为A圆B椭圆C抛物线D直线7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为ABD8.点到直线距离的最大值为A1BCD29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是ABD10.设，，，则ABCD11. 在中，，，则AB2C4D812. 已知函数，则A的最小值为2B的图像关于轴对称C的图像关于直线对称D的图像关于直线对称13. 若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为______.15. 设函数，若，则a=____.16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表体积三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：供60分。
（1）求的通项公式；18.（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；19.（12分）如图，在长方体中，在,分别在棱，上，且，，证明：20.（12分）已知函数.21.（12分）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
2020年全国卷3文科数学试题及参考答案
绝密★启用前试题类型：新课标in 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {xlx-l>0}, B = {0, 1, 2},则AC|B = ( )A. {0}B. {1}C. {1, 2}D. {0, 1, 2}【答案】c【解析】A:x>l , W{1, 2}【考点】交集2- (1 + /)(2-/)=()A. -3-iB. -3 + /C. 3-iD. 3 + j【答案】D【解析】(l + 0(2-f) = 2+r-i2=3 + <【考点】复数的运算3•中国古建筑借助樺卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做樺头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是樺头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )俯视方向【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面,而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面,D答案本身就不对”外围轮廊不可能有缺失【考点】三视图4.若sina = |»则cosZz = ( )A. |B. 1C. -1D.9 9 9 9【答案】B7【解析】cos 2a = 1 -2sin‘ a =-【考点】余弦的二倍角公式5•某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金也用非现金支付的槪率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A. 0・3 B・ 04 C・ 06 D. 0・7【答案】B【解析】1一0・45-0・15 = 0・4【考点】互斥事件的概率6•函数f (x)= tan\的最小正周期为()l + tan~x【答案】C【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期7.下列函数中，其图像与函数v = lnx的图像关于直线x = l对称的是A. y = ln(l-A-)B. y = ln(2-x)C. y = ln(l+ x)D. y = ln(2 + x)【答案】B【解析】采用特殊值法，在取一点A(3, ln3),则A点关于直线x = l的对称点为川(7 ln3)应该在所求函数上，排除A , C , D【考点】函数关于直线对称8.直线x + y + 2 = 0分别与x轴、V轴交于点A, B两点，点在圆(A-2)2+/=2±,则WP而积的取值范围是( )A. [2, 6]B. [4, 8]C. [x/2, 3血]D.3血]【答案】A【解析】人(一2, 0), B(0, -2) , :.\AB\ = 2y/2 ,可设P(2 +血cos*. >/2sin^),贝！JB.壬C. ”D. 2龙T = ^- = 7T(走义域并没有影响到周期)S'lBP = 2 1^1' dP-AB =匝dp_AR e[2, 6]【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)9・y = F + 2的图像大致为（）【答案】D【考点】函数图像辨识（按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势.单调性（导数）的顺序来考虑）2 210.已知双曲线的c ：二一・ = l （d>0, b>0）的离心率为返，则点（4, 0）到C 的渐近线的距离为A ・B ・2C ・上返D ・2>/22【答案】D【解析】e = ~ = + —r = >/2=> a = h••渐近线为— y = 0【解析】 /(1) = 2 ■排除 A 、B; y = Mx 3+2x = 2x(l-2x 2)，故函数在 0,【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化11A4BC 的内角4 S C 的对边分别为亿/人c.若AABC 的而积为川+[_广，则4 C =() A.【答案】C【解析】S MBC =穆 d"sin C ="一 十[一—,而 cosC= “_；：力一"一【考点】三角形面积公式、余弦定理12.设A, B 、C, D 是同一个半径为4的球的球而上四点，AA3C 为等边三角形且英而积为 9x/3,则三棱锥D-ABC 的体积最大值为( ) A. 12>/3 B. 18^3 C. 24书D. 54炉【答案】B【解析】如图,0为球心,F 为等边A43C 的重心， 易知OF 丄底面ABC ，当。
高考文科数学全国3卷试题及答案(Word版)(20200618130547)
（ C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（ D）平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个
（ 5）小敏打开计算机时 , 忘记了开机密码的前两位 , 只记得第一位是 M, I,N 中的一个字
母 , 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字 , 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8
1
1
1
（ A） 15 （ B） 8 （ C） 15 （ D） 30
.
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 . .........12 分
19 、（Ⅰ） 由已知得
, 学 .科网取 的中点 , 连接
,由 为
中点知
,
. ......3 分
又
, 故 平行且等于
, 四边形
为平行四边形 , 于是
.
因为
平面
,
平面
, 所以
平面
. ........6 分
（II ）证明当 x (1, ) 时 , 1 x 1 x ； ln x
（III ）设 c
1 , 证明当 x
(0,1)时 , 1 (c 1)x
x
c.
请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 , （22）（本小题满分 10 分）选修 4— 1：几何证明选讲
如图 , ⊙ O 中 的中点为 P, 弦 PC, PD 分别交 AB 于 E, F 两点。 （Ⅰ）若∠ PFB =2∠ PCD, 求∠ PCD 的大小； （Ⅱ）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G, 证明 OG ⊥ CD 。 （23）（本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中 , 曲线 C1的参数方程为 错误 ! 未找到引用源。 （ 错误 ! 未找到引用源。 为参数） 。以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴 , 建立极 坐标系 , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin （错误 ! 未找到引用源。 ） =错误 !未找到引用源。 . （I ）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （II ）设点 P 在 C1 上, 点 Q 在 C2 上 , 求∣ PQ ∣的最小值及此时 P 的直角坐标 . （24）（本小题满分 10 分） , 选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)=∣ 2x-a∣ +a. （I ）当 a= 2 时 , 求不等式 f(x)≤6 的解集； （II ）设函数 g(x)=∣ 2x-1∣ .当 x∈ R 时 , f( x)+g(x)≥ 3, 求 a 的取值范围。
2020年全国3卷 文科数学真题(pdf版含解析)
2020年全国3卷文科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【详解】由题得，{5,7,11}A B ⋂=，所以A ∩B 中元素的个数为3.故选：B考点：集合的运算2.若()11+=-z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i =.故选：D 考点：复数的运算3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C考点：方差的性质4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C 【详解】()()0.23531t KI t e--=+ ，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.考点：对数的运算5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆.故选：A.考点：轨迹方程7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.考点：直线的定点与点线距9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.C.D.4+2【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△由勾股定理得：AB AD DB ===∴ADB △是等边三角形∴211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴表面积：632=⨯++.故选：C.考点：三棱锥表面积计算10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<.故选：A考点：对数大小比较11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.D.【答案】C【详解】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=故选：C考点：余弦定理与解三角形12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x π=对称D.f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D考点：函数的对称性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.考点：线性规划14.设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.3考点：双曲线的渐近线与离心率15.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.考点：导数的运算16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC ，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==.故答案为：3.考点：圆锥的内切球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂I 、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>，且20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,27.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2） 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()2265205AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+=+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c .2020年全国3卷文科数学真题（原卷版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝（）A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数。
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020年高考数学全国卷3-文科(附详解)
三!解答题"共6&分$解答应写出文字说明!证明过程或演算步
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2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题及答案
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ∩B 中元素的个数为 {}1235711A =，，，，，{}315|B x x =<<A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若，则z = )(1i 1i z +=-A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病0.23(53)()=1e t I K t --+例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3） *t *t A ．60B ．63C ．66D ．695．已知，则 πsin sin=3θθ++（）1πsin =6θ+（）A ．B ．C ．D ．123323226．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C 的轨迹为 =1AC BC ⋅A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标()220y px p =>为 A ．（，0） B ．（，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14128．点到直线距离的最大值为 (0)1-，()1y k x =+C．6+2D．4+23，则C．b<c<a D．，BC=3，则tan B=C．4D．517．（12分）设等比数列{a n }满足，． 124a a +=138a a -=（1）求{a n }的通项公式；（2）记为数列{log 3a n }的前n 项和．若，求m ． n S 13m m m S S S +++=18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好 空气质量不好附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，1111ABCD A B C D -E F 1DD 1BB 12DE ED =12BF FB =．证明：的取值范围．参考答案选择题答案 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C10．A11．C12．D非选择题答案 二、填空题 13．7 14．15．116．323π三、解答题17．解：（1）设的公比为，则.由已知得{}n a q 11n n a a q -=， 1121148a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得.11,3a q ==所以的通项公式为. {}n a 1=3n n a -（2）由（1）知故 3log 1.n a n =-(1).2n n n S -=由得，即. 13m m m S S S +++=(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++2560m m --=解得（舍去），.1m =-6m =18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． 1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=（3）根据所给数据，可得列联表：22⨯人次≤400人次>400 空气质量好3337。
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试题类型:
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
１.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷１至３页,第Ⅱ卷3至5页． 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
ﻩ3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效．
ﻩ4．考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共１2小题，每小题５分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
(1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A B =
（A){48}，ﻩ （B){026}，
， （C ）{02610}，，，ﻩ (Ｄ){0246810}，，，，， (2）若43i z =+,则
||z z = （Ａ）1ﻩﻩﻩ(B ）1-ﻩ
(Ｃ)43+i 55ﻩﻩ（Ｄ）43i 55-
（3)已知向量BA →＝(12,2
)，BC →=(2,12),则∠AB Ｃ＝ （A ）3０°（Ｂ)45°
(C ）60°（D ）120°
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为１5℃,Ｂ点表示四月的平均最低气温约为５℃.下面叙述不正确的是
(Ａ）各月的平均最低气温都在0℃以上
(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D)平均最高气温高于2０℃的月份有5个
(5）小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M，I,N中的一个字母,第二位是1，2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
(A）
8
15(B)
1
8（C)
1
15
（D）
1
30
(6）若ｔanθ=
1
3，则cos2θ=
(A)
4
5
-
(B)
1
5
-
(C）
1
5（Ｄ)
4
5
(7)已知
421
333
2,3,25
a b c
===
,则
（A)ｂ<a<cﻩ（Ｂ) ａ＜b<ｃﻩﻩ (Ｃ）ｂ＜c<a (Ｄ)c<ａ<b （８）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=６,那么输出的n=
（A)３(B)４（C）５(D)６
（９）在ABC中，B＝
1
,,sin 4
3
BC BC A
π
=
边上的高等于则
(A）
3
10(B）
10
(C)
5
（D)
310
(10)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为
（A)18365
+
(B）54185
+
（C）90
(D）81
(１１)在封闭的直三棱柱ＡBＣ-A1B1C１内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AＢ=6，BC＝8，AＡ1＝3，则Ｖ的最大值是
（A）4π(Ｂ）
9π
2
（Ｃ）6π（D）
32π
3
(12)已知Ｏ为坐标原点,Ｆ是椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点,A，B分别为C的左,右顶点．Ｐ为C上一点,且ＰF⊥x轴.过点Ａ的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线ＢM经过ＯE的中点，则C的离心率为
(A)13（Ｂ）12(C ）23(D)34
第I Ｉ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(1３)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（２2)题~第(24）题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
（13）设ｘ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
则z =2ｘ+3y –5的最小值为＿___＿＿.
（1４)函数ｙ=sin x –ｃｏｓx 的图像可由函数y =２sin x 的图像至少向右平移__＿＿__个单位长度得到.
（15）已知直线
l:60x -+=与圆ｘ2+y ２＝12交于A 、B 两点,过A 、B 分别作l 的垂线与ｘ轴交于C 、
D 两点，则|CD|＝ .
(1６）已知f (ｘ)为偶函数,当0x ≤时,1()x f x e
x --=-，则曲线y = f (x )在点(1,２)处的切线方程式__＿＿_＿_
＿__＿＿_＿___＿_______＿___.
三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17）（本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．
(Ｉ）求23,a a ；
（II ）求{}n a 的通项公式.
(1８)（本小题满分12分)
下图是我国２０08年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨）的折线图.
注:年份代码１–７分别对应年份2008–2０1４．
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与ｔ的关系，请用相关系数加以说明;
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程(系数精确到０.01）,预测２016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：
参考数据:719.32i i y
==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55i
i y y =-=∑，≈2.64６.
参考公式：12
2
11()()()(y y)n
i i
i n n i
i i i t t y y r t t ===--=--∑∑∑， 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
12
1()()()n
i i
i n i
i t t y y b t t ==--=-∑∑，=.a y bt - (１９）（本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABC Ｄ中，P Ａ⊥地面ABCD,AD ∥ＢC ，AB=AD=ＡＣ=３,P Ａ=B Ｃ=4,M 为线段ＡD 上一点,AM=2MD ，N 为ＰC 的中点.
（Ｉ）证明M Ｎ∥平面PA Ｂ;
（I Ｉ）求四面体Ｎ-B ＣM 的体积.
(20)（本小题满分12分）
已知抛物线C :ｙ２
=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l ２分别交C 于A ，Ｂ两点,交C 的准线于P ,Ｑ两点.
(Ⅰ）若Ｆ在线段AB 上,Ｒ是PQ 的中点,证明ＡR ∥ＦＱ；
(Ⅱ)若△PQ Ｆ的面积是△ＡBF 的面积的两倍,求A Ｂ中点的轨迹方程.
(2１)（本小题满分1２分)
设函数()ln 1f x x x =-+.
（I)讨论()f x 的单调性;
(ＩI)证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x
-<<； (II Ｉ）设1c >,证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->．
请考生在2２、23、24题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图,⊙Ｏ中的中点为P ,弦P Ｃ,ＰＤ分别交AB 于E ,F 两点。
（Ⅰ）若∠ＰFB =2∠PCD ,求∠P ＣD 的大小；
（Ⅱ）若E Ｃ的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD 。
（2３)(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，曲线Ｃ1的参数方程为(为参数)。
以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C ２的极坐标方程为ρsin （）=.
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(ＩI）设点Ｐ在C1上，点Q在C2上，求∣PＱ∣的最小值及此时P的直角坐标．（2４）（本小题满分1０分）,选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x)=∣2x-a∣+a.
(I）当a=2时，求不等式f(x)≤６的解集；
(ＩI）设函数g（x)＝∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+g(x)≥３，求a的取值范围。
参考答案。