数学分析课件 场论初步
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数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析_郇中丹_01_集合论初步
集合运算的性质 (II)
• • • • • 9. =E, E= 10. (aAa)= aAa 11. (aAa)= aAa 12. AB=(A\B)(B\A) 证明举例：3, 4, 5, 8, 10. 强调
– 如何证明集合相等 – 利用运算的定义
• 习题：6,7,9,11,12
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A B, 也就是 A B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的交: aIAa=aAa={x | "aI, xAa} • I为自然数时的记法
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的并： aIAa=aAa={x | aI, xAa} • I为自然数时的记法
与映射相关的术语
• 考虑映射f: AB. 有"xA, ! yB使得 (x,y)f.
– – – – – – 元素y叫做x在映射F下的像, 并且记为y=f(x) 元素x叫做元素y在映射f下的一个原像 A叫做映射f的定义域 f(A)={yB | xA, y=f(x)}叫做f的值域 xA叫做自变量的值(简称自变量) y=f(x)叫做函数在x处的值
现代数学方法：集合论+公理化
• 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的。
场论初步课件
m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
Yunnan University
§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
场论初步
线的方向余弦和向量线上的成比例从而得到向量线应满足的微分方程在向量不为零的条件下由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被向量线所填满而通过场中每一点由一条且只有一条这样的曲线且过不同的点的两条向量线没有公共点
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
场论初步
yz zx，
函数u在点M处最大的方向导数和它的方向。
梯度的性质：
1 grad (u v ) gradu gradv; 2 grad (u v ) ugradv vgradu; 3 gradf (u ) f (u ) gradu.
2、散度
设有一个稳定流动的流体速度场
Ax dx Ay dy Az dz
C
可以改写为以下形式：
C S
其物理意义是：向量场 A 沿闭曲线C的环量等于
展布在以C为边界的曲面S上每一点绕法线的旋 度之和。
A( P) l ds rot A( P) ndS.
Green公式,Guass公式,Stokes公式之 间的关系
S V
奥-高公式的物理意义：向量场通过闭曲面的总 流量等于闭曲面所围成的体内的每一点的散度的 总和。
奥-高公式表述了流量和散度之间的关系。流 量刻画的是向量场的整体性质，而散度刻画 的是向量场的局部性质。此二者之间存在密 切关系。
3 3 3 例2、求向量场 A( x , y , z ) x i y j z k
设 l (cos , cos , cos ) 是射线l的单位向
量，则 f f f f ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z gradf ( P ) l gradf ( P ) l cos gradf ( P ) cos .
结论：梯度方向是函数f(x,y,z)在点P变化率最 大的方向,即函数值增加或减少最快的方向。
等值面：曲面f(x,y,z)=C(C为常数）称为等值面。
场f(x,y,z)中过点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 有且仅有一 个等值面，等值面在 P0 的法线方程为
场论初步
设有向量场 A( x , y , z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ ,Σ 包围的区域为V ,记体积为V .若 当V 收缩成点 M 时,
限 极 lim
∫∫ A⋅ dS Σ
Σ
V→M
V
在 存 ,
称 极 值 度, 为 则 此 限 为A在 M 处 散 , 记 divA. 点 的 度
散度在直角坐标系下的形式
h ( x , y , z ) = const
（c值不同对应不同等值面） 值不同对应不同等值面
ϕ = c1 ϕ = c2
ϕ = c3
等值线
等值面 等值面
数量场ｕ＝ｕ ｕ＝ｕ(x,y,z)在点Ｍ(x,y,z)处 在点Ｍ 定义 数量场ｕ＝ｕ 在点 处 的梯度是向量
∂u ∂u ∂u gradu = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u 其中, , , 取点M的值。 ∂x ∂y ∂z
由于数量场ｕ＝ｕ(M)中每一点都对应着一个梯度 gradｕ，故gradｕ形成一个向量场，叫做数量场ｕ(M) 的梯度场 梯度场. 梯度场 根据梯度在直角坐标系的表示式，求数量场的梯 度是一种求导运算，有类似于求导运算的一些法则：
∇u = grandu
1、gradC = 0
3、grad（u ± v） gradu ± gradv = 4、grad（uv） vgradu + ugradv = u 1 5、grad（ ） 2 (vgradu − ugradv) = v v 6、gradf（u） f ' (u ) gradu =
c = ∫ A ⋅ dl
称为 A 沿该曲线L的环量或流量。 的环量或流量。
2、旋度： 旋度： 那么 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近， 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，
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三、散 度 场
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
P Q R D( x , y , z ) x y z 为 A 的散度. 这是由向量场 A 派生出来的一个数量
场, 也称散度场, 记作
P Q R div A . x y z
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就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度. 当 D M 0 时, (6) 式右边这个极限, 就是流速场 A 在 点 M 0 处按右手法则绕 n 的环流密度. rot A n 另一方面, (6) 式左边的 是 rot A( M 0 ) M0 在 n ( M 0 )上的投影. 由此可见, 当所取的 n ( M 0 ) 与
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因为数量场 u( x , y , z ) 的等值面 u( x , y , z ) c 的法线
u u u 方向为 , , , 所以 grad u 恒与 u 的等值面 x y z 正交.
引进符号向量
, , , x y z
j y Q
k . z R
类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来 表示斯托克斯公式:
rot A dS A ds .
S L
(3)
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其中 d S 为前述对于曲面 S 的面积元素向量; 而 d s
一、场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一
个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个
数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
(1)
M V , 使得 对上式中的三重积分应用中值定理, div A d V div A ( M ) V A dS ,
V
S
在 V 中任取一点 M 0 . 令 V 收缩到 M 0 ( 记作 V M0 ),
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则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 div A( M 0 ) lim A dS . V M 0 V S
(5)
这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式. 为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其 中 的曲面块 S 改换为平面区域 D ( 图 22-12 ), 这时 (5)
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rot A( M 0 )
n0
M0
D
L
图 22 12
式又被改写为 rot A n
z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下: 设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds .
把公式 (3) 改写成 rot A n d S A t ds .
解 因为 r 2 x 2 y 2 z 2 , 所以
F m ( x, y, z ) , 2 2 2 32 (x y z )
x F m 2 2 2 3/ 2 x ( x y z )
y 2 y ( x y 2 z 2 )3 / 2
总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
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个向量场都与某个向量函数 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
*§4 场论初步
在物理学中 , 曲线积分和曲面积分有着广 泛的应用 . 物理学家为了既能形象地表达有 关的物理量 , 又能方便地使用数学工具进行 逻辑表达和数据计算 , 使用了一些特殊的术 语和记号, 在此基础上产生了场论.
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
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n 设 (cos , cos , cos ) 为曲面 S 在各点的单位 法向量,记 dS n dS , 称为 S 的面积元素向量. 于是
高斯公式可写成如下向量形式: div AdV A dS .
V S
dx dy dz , P Q R
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则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、
磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.
引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
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二、梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它 是由数量函数 u( x , y , z ) 所定义的向量函数 u u u grad u i j k. x y z grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前文知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方 方向上的方向导数.
场, 也称旋度场, 记作 R Q P R Q P rot A i + j+ k. z x x y y z
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为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度:
i rot A x P
3. 若 ( x , y , z ) 是一数量函数, 则
2 2 2 2 2 2 . x y z
算符 的内积 常记作 (拉普拉斯算符) , 于是
.
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m x y z 例2 求例1中引力场 F 2 , , 所产生的散 r r r r 度场.
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u(v ) (u)v .
பைடு நூலகம்
特别地有
(u2 ) 2u(u) .
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3. 若 r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则
d dr .
4. 若 f f ( u) , u u( x , y, z ) , 则
1 lim A t ds . (6) L D M0 D M0 A t 在流速场 A 中, 曲线积分 L ds 是沿闭曲线 L
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的环流量, 它表示流速为 A 的不可压缩流体, 在单位 1 A t ds 时间内沿曲线 L 流过的总量. 这样, D L
容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:
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1. 若 A, B 是向量函数, 则 ( A B) A B . 2. 若 是数量函数, A 是向量函数, 则 ( A) A A .
四、旋 度 场
为 V 上的一个向量场. 称如下向量函数: R Q P R Q P F ( x, y, z ) i+ j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. F 是由向量场 A 派生出来的一个向量
f f ( u) u .
5. 若 f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , 则
f f ui . i 1 ui
m
这些公式读者可利用定义来直接验证.
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例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 M ( x , y , z ), 记 r OM x 2 y 2 z 2 , m 试求 的梯度 . r m x y z m 2 , , . 解 r r r r r 若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有 m m 2 r0 . r r
S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.