大学解析几何学习资料
大学数学(高数微积分)专题五第1讲解析几何(课堂讲义)
x，y的系数应对应相等．
主干知识梳理
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
本 讲
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
栏 目
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与
开 关
几何判断法．
本
讲 栏 目
＝12sin∠AOB≤12.
开 关
当∠AOB＝2π时，S△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝
2 2.
设AB方程为y＝k(x－ 2)(k<0)，
即kx－y－ 2k＝0.
热点分类突破
由d＝
|k22＋k|1＝
22得k＝－
3 3.
(也可k＝－tan∠OPH＝－ 33)．
(2)设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，
即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点， 则2－1≤|CD|≤2＋1，
热点分类突破
即1≤ a2＋2a－32≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
本
讲 栏 目
由5a2－12a≤0，得0≤a≤152.
开 关
k 2
，0)位于直线x－y－1
＝0上，于是有－2k－1＝0，即k＝－2，
因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.
由题意可得|AB|＝2 2，直线AB的方程是－x2＋2y＝1，
热点分类突破
即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于
|1－0＋2| 2
大一第一章解析几何知识点
大一第一章解析几何知识点在大一的学习过程中，解析几何是数学学科中的一个重要分支。
它研究的是平面或空间中的几何图形与代数的关系，通过建立代数模型和方程式，探究几何图形的性质和关系。
本文将以大一第一章解析几何的知识点为主题，从平面直角坐标系、点、直线和圆四个方面来进行分析和讨论。
一、平面直角坐标系解析几何的研究对象是平面几何图形，其中平面直角坐标系是解析几何研究的基础。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴x 轴和y轴以及坐标原点O组成。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴的坐标，y表示点在y轴的坐标。
通过平面直角坐标系，我们可以将几何图形转化为代数方程，从而进行进一步的分析和计算。
二、点的位置关系在解析几何中，研究点的位置关系是非常重要的。
对于平面直角坐标系中的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过计算它们的坐标差来判断它们之间的位置关系。
如果x1=x2且y1=y2，那么点A与点B重合；如果x1=x2但y1≠y2，那么点A与点B在x轴上；如果y1=y2但x1≠x2，那么点A与点B在y轴上；如果x1≠x2且y1≠y2，那么点A与点B不在任何坐标轴上，可以进一步计算斜率来确定点A和点B之间的位置关系。
三、直线与斜率直线是解析几何中另一个重要的研究对象。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用线性方程y=kx+b来表示，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度，它的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
通过斜率的计算，我们可以判断直线的方向和关系。
如果两条直线的斜率相等，则它们互相平行；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互相垂直。
四、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要图形。
在平面直角坐标系中，圆可以由圆心及半径来描述。
圆心坐标为(x0, y0)，半径为r，那么圆的方程可以表示为(x-x0)²+(y-y0)²=r²。
大一解析几何知识点笔记
大一解析几何知识点笔记解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何问题，并运用代数方法进行分析。
作为一门基础课程，大一解析几何为后续学习高级数学和工程数学打下了坚实的基础。
以下是大一解析几何的几个重要知识点的笔记：1. 直线的方程：- 点斜式：给定一点P(x₁, y₁)和斜率k，直线的方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
- 两点式：给定两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的方程可以表示为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
2. 圆的方程：- 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 平面和空间中的直线：- 参数方程：直线上的点可表示为P(x, y, z) = P₀ + tV，其中P₀为直线上一点的坐标，V为方向向量，t为参数。
- 向量方程：直线上的点可表示为r = r₀ + tv，其中r₀为直线上一点的位置向量，v为方向向量，t为参数。
- 两平面交线：两个平面的方程联立，解得交线的参数方程。
4. 平面和空间中的圆：- 参数方程：圆上的点可表示为P(x, y, z) = C + r(cosθu +sinθv)，其中C为圆心坐标，r为半径，θ为参数，u和v为单位向量。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k, l)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²。
5. 平面与空间中的曲线：- 抛物线：方程可表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
解析几何大一知识点总结
解析几何大一知识点总结解析几何是高等数学的重要分支，几何直观形象的几何类问题经过代数方法的处理和研究，形成了解析几何。
解析几何主要研究在坐标平面上用代数方法解决几何问题的方法和技巧。
本文将对大一解析几何的主要知识点进行总结。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，也是解析几何问题描述的基准。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别是横轴x和纵轴y。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示。
二、点、直线和圆的方程1. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，点的坐标表示为P(x, y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2. 直线方程（1）点斜式方程：y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率，(x1,y1)为直线上的某一点。
（2）截距式方程：y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
3. 圆的方程圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的交点个数（1）相离：直线与圆没有交点。
（2）相切：直线与圆只有一个交点。
（3）相交：直线与圆有两个交点。
2. 判别直线与圆的位置关系的方法（1）代入法：将直线方程代入圆的方程，求解方程组，判断交点的个数。
（2）距离法：求取直线与圆心的距离，判断距离与半径的大小关系。
四、向量基本概念1. 向量的表示向量可以用有向线段、坐标、分量表示。
2. 向量的运算（1）向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，规则为：A+B=(x₁+x₂, y₁+y₂)。
（2）向量数乘：向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
五、向量与直线的关系1. 共线向量两个向量如果平行或反平行，则它们是共线向量。
2. 向量的数量积向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们的夹角的余弦值：A·B=|A||B|cosθ。
3. 向量的垂直向量A与向量B垂直，当且仅当A·B=0。
大一解析几何第一章知识点
大一解析几何第一章知识点解析解析几何是大学数学中的一门重要学科，它以坐标系和代数方法为基础，研究几何图形的性质和关系。
在大一的解析几何课程中，第一章主要介绍了直线、平面及其相关基本概念和性质。
本文将对这些知识点进行解析。
一、直线的方程在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
直线的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和截距式方程。
一般式方程: Ax + By + C = 0其中A、B、C是实数且A和B不同时为0。
在一般式方程中，A表示直线的斜率，B表示直线的斜率的相反数。
截距式方程: x/a + y/b = 1其中a和b是实数且不同时为0。
截距式方程通过直线在x轴和y轴上的截距来表示直线的方程。
二、直线之间的关系在解析几何中，直线之间的关系是解题的关键。
直线之间的三种基本关系是相交、平行和重合。
相交: 当两条直线有一个交点时，它们相交。
平行: 当两条直线没有交点且永远不会相交时，它们平行。
重合: 当两条直线完全重合时，它们重合。
三、直线与平面的关系直线与平面的关系也是解析几何中的重要内容。
直线可以与平面相交、平行或者包含在平面中。
相交: 当直线与平面有一个交点时，它们相交。
平行: 当直线与平面没有交点且永远不会相交时，它们平行。
包含: 当直线的所有点都在平面上时，它被包含在平面中。
四、平面的方程平面是解析几何中的另一个重要几何图形。
平面的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和点法式方程。
一般式方程: Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且A、B和C不同时为0。
在一般式方程中，A、B和C表示平面的法向量。
点法式方程: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0其中A、B、C是实数且A、B和C不同时为0，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一点。
在点法式方程中，A、B和C表示平面的法向量，(x₀, y₀, z₀)表示平面上的一个点。
大学解析几何
a
同向时
取
b
a
取正值，
,
当
b
与
a
此时
反向时 取负值，即有
b
与
a
同向.
且
a
b a
a.
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
a，a
两式相减，得
(
)a
0，即
a
0，
a 0，故 0，即 .
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设ea表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
成 e1, e2 的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数 x, y 被 e1, e2 惟一确定.
这时 e1, e2 叫做平面上向量的基底.
B
P
E2
r
e2
O
e1 E1
A
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四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
定义 集合 相互关系
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.
向量的几何表示： 有向线段
M2 a
有向线段的长度表示向量的大小,
M1
有向线段的方向表示向量的方向.
a 或 M1M2 以M1为起点，M2 为终点的有向线段. 向量的模： 向量的大小. | a |或 | M1M|2
定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组 向量就线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
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大学解析几何知识点
大学解析几何知识点解析几何作为高等数学中的一个重要分支，是用坐标表示几何图形并研究其性质的数学方法。
它建立在代数与几何的基础上，对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对大学解析几何中的一些重要知识点进行解析和讨论。
一、平面与直线平面与直线是解析几何的基本元素。
在平面直角坐标系中，平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
直线可以用方程表示，例如y = kx + b表示斜率为k，截距为b的直线。
解析几何中，平面与直线的交点、平行与垂直关系等都可以通过代数方法得到。
二、曲线与圆曲线是由方程表示的一种多边形边界的连续图形。
例如，椭圆可以用方程(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1表示，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴方向的半轴长。
圆是一种特殊的曲线，可以用方程(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2表示，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
在解析几何中，曲线与圆的性质如切线、法线、切点等都可以通过偏导数和二次曲线方程得到。
三、平面曲线与坐标系在二维空间中，平面曲线是无穷多个点的集合，可以由方程或参数方程等形式表示。
常见的平面曲线有直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
在解析几何中，通过对平面曲线进行分析，可以得到曲线的形状、焦点、离心率等重要信息。
坐标系是解析几何中重要的工具，常用的有直角坐标系和极坐标系等，通过坐标系可以方便地表示和研究平面曲线的性质。
四、空间直线与平面解析几何不仅仅局限在二维空间中，还可以扩展到三维空间。
空间直线可以用参数方程和对称方程等形式表示。
例如，直线可以用参数方程x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct表示，其中(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是方向向量。
空间直线与平面的相交关系很重要，通过代数方法可以求解出直线与平面的交点、夹角、距离等。
五、空间曲线与曲面与二维平面曲线类似，解析几何中也存在着三维空间曲线和曲面。
解析几何大一上知识点
解析几何大一上知识点解析几何是数学中的一个分支，它主要研究平面几何和空间几何中的各种图形、线性方程和线性不等式的性质及其相互关系。
在大一上学期的课程中，我们主要学习了解析几何的基础知识和方法。
本文将对大一上学期中所学的解析几何知识点进行解析和讲解。
一、直线和平面的方程在解析几何中，我们需要了解直线和平面的方程以及它们的性质。
对于平面来说，我们经常使用的方程是一般式方程和点法式方程。
一般式方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
点法式方程可以表示为A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0，其中A、B、C是平面的法向量，(x_0, y_0, z_0)是平面上的一个点。
对于直线来说，我们也有不同的表示方式。
点向式方程可以表示为\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}，其中(l, m, n)是直线的方向向量，(x_0, y_0, z_0)是直线上的一点。
另一种常用的方程是两点式方程，可以表示为\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}，其中(x_1, y_1, z_1)和(x_2, y_2, z_2)是直线上的两个点。
二、平面与平面的位置关系在解析几何中，我们需要研究不同平面之间的位置关系。
当两个平面平行时，它们的法向量相等或成比例。
当两个平面垂直时，它们的法向量互相垂直。
另外，两个平面可以相交，相交线是两个平面的公共部分。
三、直线与直线的位置关系直线与直线之间的位置关系也是解析几何中的重要内容。
两条直线平行时，它们的方向向量相等或成比例。
两条直线相交时，它们的方向向量互相垂直。
四、点、直线、平面之间的距离在解析几何中，我们经常需要计算点、直线和平面之间的距离。
对于点和直线之间的距离，我们可以利用点到直线的距离公式进行计算。
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大学解析几何收集于网络，如有侵权请联系管理员删除空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos ||||（2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于x 轴0=++⇔D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴）平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax（如果0=D ，则平面过y 轴）平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→n 垂直于z 轴0=++⇔D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴）（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 平面与xoz 面平行⇔法向量→n 垂直于xoz 面0=+⇔D By平面与yoz 面平行⇔法向量→n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程302010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t v z z t v y y t v x x 3020104、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴（3）方向向量)0,,(21v v v =→，直线垂直于z 轴5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面应用一、柱面收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为312111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）令t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ρ，求这柱面方程。
解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=-- 即t z z y y t x x -==+=111,,（1）又因为),,(111z y x M 在准线上，故1212121=++z y x （2），222212121=++z y x （3）由（1）（2）（3）得012222=-+++xz z y x2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过),,(0000z y x M 点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点),,(1111z y x M ，则||10M M 为圆柱的半径例2：已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x ，点1M （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解：设圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为0)(2)(2)(000=-----z z y y x x轴方程的参数式为t z t y t x 21,21,--=-==代入平面方程得 922000z y x t --=故该平面和轴的交点为)94429,94429,922(000000000z y x z y x z y x ++--++--- 过点1M （1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)35,31,31(- 因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x注意：也可找圆柱面的准线圆处理例3：求以直线x=y=z 为对称轴，半径R=1的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为0)()()(000=-+-+-z z y y x x轴方程的参数式为t z t y t x ===,,代入平面方程得 3000z y x t ++= 故该平面和轴的交点为M 1)3,3,3(000000000z y x z y x z y x ++++++ 则10M M 的长等于半径R=1故利用距离公式得1)3()3()3(200002000020000=++-+++-+++-z y x z z y x y z y x x 即所求方程为9)2()2()2(200020002000=+--+-+-+--z y x z y x z y x二、锥面收集于网络，如有侵权请联系管理员删除锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。
这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。
1、设锥面的准线为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，顶点为),,(0000z y x M ，求锥面方程方法：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为10010010z z zz y y y y x x x x --=--=-- （1）又因为),,(111z y x M 在准线上，故0),,(1111=z y x f （2） 0),,(1112=z y x f （2）由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求锥面方程例1锥面的顶点在原点，且准线为⎪⎩⎪⎨⎧==+cz b y a x 12222，求这锥面方程。
解：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为111z zy y x x==又因为),,(111z y x M 在准线上，故1221221=+b ya x 且c z =1上面三个方程消去111,,z y x 得0222222=-+c z b y a x2、圆锥面已知圆锥面的顶点),,(0000z y x M ，对称轴（或轴）的方向向量为),,(321v v v v =→，求圆锥面方程方法：在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为),,(000z z y y x x n ---=→收集于网络，如有侵权请联系管理员删除利用→v 和→n 的夹角不变建立关于z y x ,,的方程，该方程为所求例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。
（2222)(z y x z y x ++=++） 解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为1=++z y x 故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(， 则母线和对称轴的夹角为αcos 13010111⨯⨯=⨯+⨯+⨯，即33cos =α 在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为),,(z y x n =→αcos 3222⋅++=++z y x z y x所以2222)(z y x z y x ++=++例3圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122=+-+z y x ，母线和轴成030，求圆锥面方程解：在母线上任取一点),,(z y x M ，轴的方向向量为)1,2,2(-，母线的方向向量为)3,2,1(---=→z y x n 则022230cos 9)3()2()1()3()2(2)1(2⋅-+-+-=---+-z y x z y x即 2222)3(27)2(27)1(27)322(4-+-+-=--+z y x z y x三、旋转曲面 设旋转曲面的母线方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，旋转轴为Z z z Y y y X x x 000-=-=-，求旋转曲面方程方法：在母线上任取一点),,(1111z y x M ，所以过),,(1111z y x M 的纬圆方程⎩⎨⎧-+-+-=-+-+-=-+-+-201201201202020111)()()()()()(0)()()(z z y y x x z z y y x x z z Z y y Y x x X 又因为),,(1111z y x M 在母线上，有⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x f z y x f 由上述四个方程消去111,,z y x 的方程0),,(=z y x F 为旋转曲面收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例4求直线112-==z y x 绕直线l ：z y x ==旋转一周所得的旋转曲面的方程。