第一讲 一笔画问题
一笔画问题(思维拓展方法)
一笔画问题
• 大数学家欧拉根据著名的“七桥问题”开创了数学新分 支----------图论。也就是“一笔画”
七桥问题的分析
• 1、观察上图的七桥图片以及其简化图 • 2、简化图上各线段之间有A、B、C、D四个交点 • 3、一笔画问题就是研究这些交点的
一笔画的问题的第一步
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通过观察，我们发现 1、A点有三根线相交 2、B点有五根线相交 3、C点有三根线相交 4、D点有三根线相交
有奇数根线相交的点称为奇点 有偶数根线相交的点称为偶点
奇点和偶点的概念是重点，后面要用
一笔画的问题的第二步
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1、回到一笔画问题的起源，一笔画问题实际上就是一个人在走路 2、一个点就是一个地方，一条线就是一条路 3、走路不是随便走，有限制条件：不能重复走同一条路，而且每条路都要走过 4、分析具体的一个地方，要么只有来路；要么只有去路；要么又有来路、又有去路。 5、走路有一个特点：有起点，有中间点，有终点。 6、起点的特点：去，一条线。 7、终点的特点：来，一条线。 8、中间点的特点：来，一条线。去，另一条线。
一笔画的问题的第三步
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1、奇点要么是起点，要么是终点 2、偶点可以是起点，可以是终点，也可以是中间点
来线和去线是一组，一组是两根线，必然是偶数
3、如果一个图上没有奇点，都是偶点，那每个点都可以来去n次，没有问题
4、如果一个图上只有一个奇点，那么作为起点，就没有终点
5、如果一个图上有两个奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，没有问题 6、如果一个图上有三个以上的奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，其他奇点 就必然有缺失来路或者去路
一笔画的问题的第四步
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1、0个或者两个奇点时，图形是可以一笔画画出来的。 0个奇点时，也就是全是偶点，可以从任意点出发，然后在出发点结束 两个奇点时，从一个奇点出发，另一个奇点结束
四年级奥数第一讲-一笔画问题
第十二讲一笔画问题那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做圈（如圈3 ）S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两段呱•从图Q、0>）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其中一点出发，沿着图的边走到另一点左WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求醉抉这个问题的方法。
为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊把与偶数条边相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇為G为偶点。
容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G> E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也最后到达奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出•这是为什么呢？G事实上，这并不杲偶然现象•假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终点•由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀，也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理；①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
一笔画问题
一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。
一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。
这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。
这是最基本的条件。
2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。
有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。
数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。
奇点就到达终点了。
（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。
这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。
或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。
下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。
算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。
就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。
算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。
2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。
小学数学一笔画课件
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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出 笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形， 需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学 中也有广泛应用，例如在 计算机图形学、算法设计 等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中 也有很多应用，如地图的 绘制、电路设计、交通规 划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面 数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创 意的图形，如不规则多边形、立体图形等 ，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战 精神。同时，这类问题也可能涉及到数学 中的其他知识点，如平面几何、立体几何 等。
二年级春季数学奥数班第1讲 一笔画
一笔画月日姓名【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【典型例题】例1．判断下面图形中哪些点是单数点，哪些点是双数点。
例2．下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？（1）（2）（3）（4）例3．如图，能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？例4．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。
随堂小测姓名成绩1.判断下面图形哪些是单数点，哪些是双数点。
2. 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3. 一个邮递员投递信件要走的街道如下左图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？4. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？（3）AC E（1）（2）（3）（4）5. 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。
【知识拓展】1．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？2．你能用一笔画成4条线段把下图的9朵小花都连起来吗？课后作业姓名成绩1．判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
2．判断下面图形能不能一笔画成。
（1）（2）B3．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？4．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。
5．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？家长签名：【课外知识链接】七桥问题著名古典数学问题之一。
奥数只是讲解第一讲一笔画问题
word 文档仅供参照第一讲一笔划问题小朋友们 , 你们能把下边的图形一笔划出来吗？假如用笔在纸上连续不停又不重复, 一笔划成某种图形, 这类图形就叫一笔划。
那么能否是全部的图形都能一笔划成呢？这一讲我们就一同来学习一笔划的规律。
典型例题例【 1】下边这些图形,哪个能一笔划？哪个不可以一笔划？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕剖析图〔1〕一笔划出,能够从图中随意一点开始画该图, 画到同一点结束。
经过试试后 , 能够发现图〔 2〕不可以一笔划出。
图〔 3〕不是连通的 , 明显也不可以一笔划出。
图〔4〕也能够一笔画出 , 且从任何一点出发都能够。
经过察看 , 我们能够发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不一样。
由一点发出有偶数条线 , 那么这个点叫做偶点。
相应的 , 由一点出发有奇数条数 , 那么这个点叫做奇点。
再看图〔 1〕、〔4〕, 此中每一点都是偶点, 都能够一笔划 , 且能够从随意一点画起。
而图〔2〕有 4 个奇点 ,2 个偶点 , 不可以一笔划成。
这样我们发现 , 一个图形可否一笔划和这个图形奇点 , 偶点的个数有某种联系 , 究竟存在什么样的关系呢 , 我们再看一个例题。
例【 2】下边各图可否一笔划成？〔1〕〔2〕〔3〕剖析图〔 1〕从随意一点出都能够一笔划成, 由于它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
对于图〔2〕, 经过频频试验 , 也可找到画法：由 A B C AD C 。
图中 B、D为偶点 ,A 、C为奇点 , 即图中有两个奇点 , 两个偶点。
要想一笔划 , 需从奇点出发 , 回到奇点。
经过试试 , 图〔 3〕没法一笔划成 , 而图中有 4 个奇点 ,5 个偶点。
解图〔 1〕、〔2〕能够一笔划。
这样我们能够发现可否一笔划和奇点、偶点的数量有着密切的关系。
假如图形只有偶点 , 能够以随意一点为起点, 一笔划出。
假如只有两个奇点 , 也能够一笔划出 , 但一定从奇点出发 , 由另一点结束。
假如图形的奇点个数超出两个, 那么图形不可以一笔划出。
关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图 形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶 点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工 程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重 要的价值，是图论、组合数学等 领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电 路设计、物流规划等领域都有广 泛的应用，可以帮助人们解决一 系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数 量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着 色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之 和，可以判断该图形是否可以一笔画 成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、 机械工程等领域都有广泛的应用，例 如在电路设计和布线、机器人路径规 划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特 定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
THANKS
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一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或 终点。
一笔画问题
第一讲: 一笔画问题【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点（2）1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点【例2】数一数下列图形单数点与双数点的个数，并说出一笔画图形与单数点和双数点的关系。
1、下面的图形能否一笔画完成？为什么？（1） O （2）B D（3）【例2】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？1、下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？【例3】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？12、34、、、【例4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？1、将下列各图改成一笔画。
【例5】邮递员叔叔要向一个居民小区送信，怎么样走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？1.下图是一个小区中花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设计在哪儿呢？2.下面是“儿童乐园”平面图，出口应没在哪里才能不重复地走遍每条路？1.数一数下面图形有几个单数点？2.下列图形能一笔画成吗？为什么？3.甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路线？4.园林工人在花园浇花，怎样才能不重复地走遍每一条小路？第 二 讲:巧填竖式【例1】在方框里填上合适的数，使算式成立。
□ 4+ 2 □8 9练习1：下面题中各图形分别表示多少？（1） 7 ☆ （2） ☆ 9 + □ 4 + 6 59 7 8 □（3） 6 △ （4） 1 ☆ 3 + △ ☆ + □ ☆9 7 1 9 5【例2】猜一猜，每个汉字各表示什么数字？学 学— 4 生8学=（ ） 生=（ ）练习2: 想一想，每个汉字和图形各表示什么数字？（1）我爱 4—学数学我=（）爱=( )数=（）学=（）（2）☆○☆—☆☆7 9 0☆=( ) ○=( )（3） 8 5 4—○○○○○○=( )【例3】在□里填合适的数，使算式成立。
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第一讲一笔画问题
小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？
如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题
例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）（2）（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。
图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
解图（1）、（2
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】
分析 图（1
）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
图（2）有10
个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解 图（1）的画法见下图。
例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
D
（1）
分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。
如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。
按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。
经观察，图（1）可以切分成图（A ）、（B ）两个图形。
这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。
解 将图（1）分成图（A ）、（B ），则图（A ）可由一笔画成，图（B ）由一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。
小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的
个数。
一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。
二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起
点和终点。
三、 奇点超过两个，则不能一笔画。
对于一些比较复杂的路线问题，
可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的O A B D （1） A O B C D
（A ） B C （B ）
方法进行解答。