三角换元(高二)(最新整理)
专题九 三角换元.
证明
π 设x＝zcos α，y＝zsin α(0<α< )， 2
则xn＋yn＝zn(sinnα ＋cosnα)． 0<sin α<1， 又 0<cos α<1 sinn α<sin2α， ⇒ cosn α<cos2α，
∴xn＋yn<zn(sin2α＋cos2α)＝zn.
【例2】
解析
求函数y＝x－2＋
4－x 的值域．
2
函数的定义域为[－2,2]． 4－x2)2＝4，所以可设x＝2sin θ
因为x2＋(
2
π π 4－x ＝2cos θ ，θ ∈[－ ， ]， 2 2 π 则y＝2sin θ ＋2cos θ －2＝2 2sin (θ ＋ )－2. 4 π π 3π 由－ ≤θ ＋ ≤ 可知－4≤y≤2 2－2. 4 4 4 即函数的值域为[－4,2 2－2]．
π π π 3π 由0≤α≤ ⇒ ≤α＋ ≤ 2 4 4 4 2 π ⇒ ≤sin(α＋ )≤1 2 4 π ⇒1≤2 2sin (α＋ )－1≤2 2－1. 4 π 故当α＝0，即x＝0时，y取最小值1；当α＝ ，即 4 2 x＝ 时，y取最大值2 2－1. 2
五、求参数的取值范围 对于多变元含参数的代数综合题，有时可通过三 角代换法来减少变元个数，从而化简求解过程． 【例 11】已知 x ＋y －2x－2y＋1＝0，若 x，y 为实 数时，均有 x＋y－k≥0，求 k 的取值范围．
解析 所给方程即为(x－1)2＋(y－1)2＝1，从而可设 x－1＝cos α， y－1＝sin α， x＝1＋cos α， 即 y＝1＋sin α.
2 2
对于任意实数x，y，要使x＋y－k≥0，则须使：
三角换元在高中数学中的应用
－
点拔： 用三 角代 换将 曲线 转化 为 点 ． 简化 了方 程 五、 用 三 角换 元妙 求参 数 的范 围。 三角换元将代数 问题化为 了含参 三角不等式恒成立 问题 ．
・
可 令 、 ／ ＿ － ｘ Ｃ 。 ｓ ｐ ２ ＼ ／ 丁 ｘ ｓ ｉ ｎ ２ ｐ （ ０ ≤ ｐ ≤ 手）
１ 一 ｃ 。 ｓ ｐ Ｘ ＝ Ｉ － ｓ ｉ ｐ
＝ 一
例２ ： 已知 ａ ＞ ｏ ， ｂ ＞ ０ ， ０ ＜ ｘ ＜ １ ， 求证 ： ＋
相比较得到 ．所以椭 圆的参数 方程的方法实质为三角元换 的方
法。 可 以 用在 求最值 ， 计算 过程 比较繁 琐 的 时候 。
化 为代 数 函数 的值 域 问题
４ ｒ ｌ ， ４ ： 已知（ 卫， Ｘ ｙ ） 在椭圆 ｃ： ＋ ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 的第一 象限
简解 ： 设 椭 圆上 任 一 点 为 （ ａ Ｃ ｏ ｓ ｐ ， ｂ Ｓ ｉ ｎ ｐ ） （ ｐ为锐 角） （ Ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ）
为Ｃ 上动点， 则） ÷＝ Ｘ ｔ ａ ａ ｎ Ｂ ， ｙ ｂ ＝ 】 ｃ ） ｒ ＝ ａ ｂ ｓ ｉ Ｉ ｌ ２ Ｂ
・ ． ．
厶
三 角 换元 因为 三 角 函数 公 式 多、 变换 多、 思路 多 以及 其 有界 性 等在 高 中 学数 学 的应 用十 分 广 泛 ． 充 分 利 用题 设 的信 息， 通过 联 想类比 ． 可 以 化 高 次 为低 次 、 化 分 式 为整 式 、 化 无 理 式 为 有 理 式、 化超越式 为代数式 ， 在研 究方程 、 不等式 、 函数 、 数 列、 三角等 问题 带 来便 利 不仅 能加 强 知识 的 纵横 联 系， 巩 固基 础 知 识 和基 本技 能 ． 还 能提 高高 中数 学 思 维能 力和 运算 能 力 。 合 理转 化 ， 利 用有 界 性 。 三角 换 元求 值域 。 三 角函数 值 域 （ 或 最 值） 是 三 角 函数 性 质 的一 部 分 ， 其 实 质上 是对 含 有 三 角 函数 的复合 函数 的 求值 ． 是三 角函数 基础 知 识 的综 合应 用． 其解 法主要是 通过三 角函数恒等变形 ． 将 函数关 系式化 为 一 个角 的一 种 函数 形 式 求 解的 主要 手段 是 借助 于三 角换 元转
高二数学 简单的三角恒等变换(3个课时)教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
高二数学ppt课件 三角恒等变换课件3(2)
tan2 ������ +tan
=-7.
1
2
3
4
5
4.函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为
.
解析:∵y=2sin2x+2sin x cos x=1- cos 2x+sin 2x =1+ 2sin 2������π 4
,
∴y 的最大值为 1+ 2.
1
2
3
4
5
5.已知 cos x=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三给值求角 2 10 【例3】已知α,β是锐角,且sin α= ,sin β= ,求α+2β 的值. 10 10 分析:可先求cos 2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值, 其中要注意缩小角2β的范围.
解:∵sin β=
10 10
,
2
∴cos 2β= 1-2sin β= 1-2×
������ 2������ , 5 5
是二
解:(1)原式=2sin 4 = 2 ×
5π
1
π
1
2 2
=
2 4
.
3
(2)原式=cos 6 =cos π- 6 =-cos 6 =- 2 . (3)原式= × (4)原式= =
4π 5 π 4sin 5 π 1 12 π 2 1-ta n 2 12 π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 π 2sin 5 π sin 1 5 π 4 4sin 5
-
+ ������
=sin
π 4
-������ =
,∴原式 =
=
24 13
高中数学三角变换知识点总结
高中数学三角变换知识点总结三角变换是高中数学中一个重要的概念，它涉及到三角函数的性质、图像和方程的变换，是解决各类三角函数问题的基础。
本文将对高中数学中常见的三角变换知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
1. 三角函数的周期性变换三角函数的周期性变换是指通过改变角度的取值范围，可以得到相同函数值的新角度。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的周期性变换分别如下：正弦函数：f(x) = sin(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)余弦函数：f(x) = cos(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)正切函数：f(x) = tan(x)周期：π周期性变换：f(x + π) = f(x)通过理解和掌握这些周期性变换的性质，可以简化三角函数的求解过程，同时也能更好地理解三角函数的图像特征。
2. 三角函数图像的变换三角函数的图像变换是指通过改变系数和常数的值，可以改变函数图像在坐标平面上的位置和形状。
常用的图像变换包括平移、伸缩、翻转和相位差变换。
平移变换：将函数图像沿x轴或y轴方向上下左右平移，改变函数的位置。
平移变换可用函数的形式来表示，如f(x) + a、f(x - b)等。
伸缩变换：将函数图像在x轴或y轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的形状。
伸缩变换可用函数的系数来表示，如af(x)、f(bx)等。
翻转变换：将函数图像关于x轴或y轴进行翻转，改变函数的对称性。
翻转变换可用函数的负号来表示，如-f(x)、f(-x)等。
相位差变换：将函数图像在x轴方向上进行平移，改变函数的起始位置。
相位差变换可用函数的参数表示，如f(x - c)、f(x + c)等。
通过掌握这些图像变换的规律，可以更清晰地观察和分析三角函数图像的各个特点，从而更准确地解决相关问题。
3. 三角方程的变换和解法三角方程是指含有三角函数的方程，解决三角方程需要通过变换和求解来得到最终结果。
三角函数求w类型及三角换元应用归类(学生版)
三角函数求w类型及三角换元应用归类目录题型01平移型求w题型02单调区间及单调性求w题型03对称中心(零点)求w题型04对称轴型求w题型05对称轴及单调性型求w题型06“临轴”型求w题型07“临心”型求w题型08区间内有“心”型求w题型09区间内无“心”型求w题型10区间内最值点型求w题型11多可能性分析型求w题型12三角应用：三角双换元题型13三角应用：无理根号型题型14三角应用：圆代换型题型15三角应用：向量型换元高考练场题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。
1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2ωxω>0，将y=f x 的图像向右平移π4个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.2B.4C.6D.82(2022·全国·高三专题练习)将函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是()A.2B.3C.6D.9【变式训练】1(2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数y=tanωx-1ω>0的图像向左平移2个单位长度后，与函数y=tanωx+3的图象重合，则ω的最小值等于()A.2-π2B.1C.π-2D.22(2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数f x =sinωx+π6(ω> 0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数g x =cosωx的图象重合，则ω的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.53(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=cosωx的图象重合，则ω的最小值为()A.14B.12C.34D.32题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递减1(上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题)设ω>0，若函数f(x)=2sinωx在-π3,π4上单调递增，则ω的取值范围是2(广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，且f 3π8 =1，f x 在区间-3π8,-π4上单调，则ω的值为.【变式训练】1函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0 ,若f x 在区间0,π2上是单调函数,且f -π =f 0 =-f π2则ω的值为()A.23B.23或2 C.13D.1或132若函数f (x )=4sin ωx ⋅sin 2π4+ωx 2+cos2ωx (ω>0)在-π2,2π3 上是增函数，则ω的取值范围是.3(2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C 卷)若函数f x =sin ωx +π3ω>1 在区间π,54π上单调递减，则实数ω的取值范围是.题型03对称中心(零点)求w【解题攻略】正弦函数对称中心(k π，0)(k ∈Z )余弦函数对称中心π2+k π，0 (k ∈Z )正切函数对称中心k π2，0 (k ∈Z )1(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )=2tan ωx -π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6,0 ，则f x 的一个最小正周期是()A.π2B.π13C.2π13D.2π72(2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数φ∈-π2，0 ，使得函数y =sin ωx +π6 (ω>0)的图象的一个对称中心为φ，0 ，则ω的取值范围为()A.13，+∞ B.13，1C.13，+∞D.1，43【变式训练】1(2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知f x =2tan ωx +φ ω>0,φ <π2,f 0 =233，周期T ∈π4,3π4 ,π6,0 是f x 的对称中心，则f π3的值为()A.-3B.3C.233D.-2332(2022秋·高三课时练习)已知函数f x =A cos ωx -3sin ωx ω>0 的部分图象如图，f x 的对称中心是k π2+π6,0k ∈Z ，则f π3=()A.23B.-23C.3D.-33(2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数f x =2tan ωx -π3ω>0 的图象的一个对称中心为π6,0，则f x 的一个最小正周期是()A.π3B.π4C.π5D.2π5题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴x =π2+2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =-π2+2k π(k ∈Z )时，y min =-1余弦函数对称轴x =2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-11(2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数f (x )=A cos ωx -3sin ωx (ω>0)的部分图象如图，y =f x 的对称轴方程为x =5π12+k π2k ∈Z ，则f 0 =()A.3B.2C.32D.12(2022·全国·高三专题练习)若x =π3是函数f x =cos ωx ω≠0 图象的对称轴，则f x 的最小正周期的最大值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3【变式训练】1(2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数y =sin x +a cos x 的图像关于x =π3对称，则函数y =a sin x +cos x 的图像的一条对称轴是()A.x =5π6B.x =2π3C.x =π3D.x =π62(“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题)已知向量a=(sin ωx ,cos ωx ),b =(1,-1)，函数f (x )=a ⋅b ，且ω>12,x ∈R ，若f (x )的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是()A.712,1516 ∪1312,1916B.712,1116 ∪1112,1516C.12,712∪1112,1916D.12,1116∪1112,15163已知向量a =sin ωx ,cos ωx ,b =1,-1 ，函数f x =a ⋅b ，且ω>12,ω∈R ，若f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间3π，4π ，则ω的取值范围是A.712,，1516 ∪1312，1916 B.712,，1116 ∪1112，1516C.12，712∪1112，1916D.12，1116∪1112，1516题型05对称轴及单调性型求w1(2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，对任意的x ∈R ，都有f (x +1)=f (-x )，且f (x )在区间-π4,π12上单调，则ω的值为.2(2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学(二)试题)已知函数y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =-π6，且f (x )在π,4π3上单调，则ω的最大值为()A.52B.3C.72D.83【变式训练】1(四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0 满足f π4=2，f π =0，且f x 在区间π4,π3 上单调，则ω的最大值为．2(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin ωx (ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x =3π4，则ω的值可能是() A.13B.23C.1D.433(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x =π4是曲线y =sin ωx -π4(ω>0)的一条对称轴，且函数y =sin ωx -π4 在区间0，π12 上不单调，则ω的最小值为()A.9B.7C.11D.3题型06“临轴”型求w【解题攻略】若f x =A sin ωx +φ A ≠0,ω≠0 的图像关于直线x =x 0对称,则f x 0 =A 或f x 0 =-A .1(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数y =A sin ωx +φ +m A >0,ω>0,φ <π2的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为π2，直线x =π6是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是()A.y =4sin x +π6 B.y =2sin 2x +π6+2C.y =2sin 2x +π3+2 D.y =2sin x +π3+22(2023秋·高三课时练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ ≤π2 ，x =-π8是函数f x 的一个零点，x =π8是函数f x 的一条对称轴，若f x 在区间π5,π4上单调，则ω的最大值是()A.14B.16C.18D.20【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知x =π3，x =π是函数f x =sin ωx +φ ω>0,π2<φ<3π2 图象上两条相邻的对称轴，则φ=()A.πB.3π4C.2π3D.π32(2023春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +23cos 2ωx2-3ω>0 ，且f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2.若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )的图象，且当x ∈0,π4时，不等式2m 2-m ≥g x 恒成立，则m 的取值范围为()A.-∞,-1 ∪12,+∞ B.-∞,-12∪1,+∞ C.-∞,1-174 ∪1+174,+∞ D.-∞,0 ∪12,+∞3(2023春·四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线x =x 1,x =x 2是函数f x =sin ωx +π6,(ω>0)图象的任意两条对称轴，且x 1-x 2 的最小值为π2，则f x 的单调递增区间是()A.k π+π6,k π+2π3,k ∈Z B.k π-π3,k π+π6,k ∈ZC.2kπ+π3,2kπ+4π3,k∈Z D.2kπ-π12,2kπ+5π12,k∈Z 题型07“临心”型求w【解题攻略】函数y=A sinωx+φ+B(A>0,ω>0)的性质：(1)y max=A+B，y min=A-B.(2)周期T=2πω.(3)由ωx+φ=π2+kπk∈Z求对称轴，由ωx+φ=kπk∈Z求对称中心.(4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπk∈Z求增区间；由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求减区间.1(2023春·广东珠海·高三校考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习)函数f x =A sinωx+φ+1，A>0,ω>0,φ <π2的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f x 的图象关于直线x=π12对称，则下列判断正确的是()A.函数y=f x 在-π6,π3上单调递减B.将f x 图象向右平移π3个单位与原图象重合C.函数y=f x 图象关于点-π6,0对称D.函数y=f x 的图象关于直线x=-5π12对称【变式训练】1(2023下·河南焦作·高三统考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023·云南红河·统考二模)已知函数f x =3tan ωx 2+π3(ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4，则ω=()A.2B.4C.8D.163(2021上·四川雅安·高三统考期末)已知函数f (x )=tan (ωx +φ)ω≠0,φ <π2，点2π3,0 和7π6,0 是其相邻的两个对称中心，且在区间5π6,4π3 内单调递减，则φ=()A.π6B.-π6C.π3D.-π3题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w 的表达式时，wx +φ=k 1π(k 1∈z )中不要把k 1写成k ,因为后面还有一个k , wx +φ=k 2π(k 2∈z )中不要把k 2写成k ，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区2020届高考二模数学试题)若函数f (x )=cos (2x +φ)(0<φ<π)在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6 上存在零点，则ϕ的取值范围是()A.π6,π2B.2π3，5π6C.π2,2π3D.π3，π22(2021春•商洛)已知函数f (x )=sin ωx 2+π14sin 3π7-ωx2(ω>0)在[0，π)上恰有6个零点，则ω的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【变式训练】1(2022•湖北模拟)已知函数f (x )=cos ωx -π3 -12(ω>0)在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．2(云南省2020届高三适应性考试数学试题)若函数f x =2sin ωx +φ ω>0，π2<φ<π 图象过点0,3 ，f x 在0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为()A.最小值为13，最大值为43B.无最小值，最大值为43C.无最小值，最大值为73D.最小值为13，最大值为733(2021年全国高考甲卷数学(理)试题变式题16-20题)设函数f x =2sin ωx +φ -1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w ，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.1已知函数f x =sin2ωx -2cos 2ωx +1ω>0 ,x ∈R ，若函数f x 在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围为.2(天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 sin ωx +2π3(ω>0)，(x ∈R )，若f (x )在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围是.【变式训练】1函数f (x )=sin ωx -12+cos 2ωx 2，且ω>12，x ∈R ，若f (x )的图像在x ∈(3π，4π)内与x 轴无交点，则ω的取值范围是.2(2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数f x =sin x 的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,13(2022·全国·高三专题练习)将函数f x =cos x 的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,1题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
《三角函数》专题34 三角换元法专题训练(Word版含答案)
（8套，4页，含答案）1. 已知1sin()33πα-=，则cos()6πα+= （①） 2. 若α是第四象限角，21)65cos(=+απ，则=-)6tan(απ( ② ) 3. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( ③ ) A.3－4310 B.4－3310 C.23－35 D.3－2354. 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ④ ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.795. 已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos2x cos (π4＋x )的值．（⑤）《三角函数》专题34-2 三角换元法1. 已知32)3sin(-=-πα，则cos()6πα+= （⑥） 2. 若α是第一象限角，43)78tan(=+πα，则=+)722cos(πα（ ⑦）3. 已知536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且20πα<<，则=αcos ⑧ ．4. 已知1cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⑨ ．1. 已知1sin()66πα-=，求cos()3πα+的值（⑩）2. 已知1cos(),34x π-=求252sin()cos ()cos()663x x x πππ-++++的值.（11）3. 已知1356cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，且02<<-απ，则=αcos 12 ．4. 已知 sin （x －π4 ）= 35 ,则sin2x =（13 ） A ．825 B ．725 C ．1625 D ．－16255. 若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．（14）（未能算对结果）《三角函数》专题34-4 三角换元法1. sin(75°－α)＝（ 15 ）A 、sin(15°－α)B 、sin(15°＋α)C 、cos(15°－α)D 、cos(15°+α)2. 已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．（16）3. 已知13124sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且02<<-απ，则=αcos 17 ． 4. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（18 ）A .725- B .2425- C .2425 D .725 5. 已知，那么（19 . ） A ．B ．C ．D ．sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 22αα=109109-59-5922. 已知()θ+ 75cos 31=，θ为第三象限角，求()()θθ++-- 435sin 255cos 的值．（21）3. 已知544sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，且παπ<<2，则=αsin 22 ． 4. 已知534cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且παπ23<<，则=αcos 23 ．5. 已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ 24 ）B. C. 12 D. -12《三角函数》专题34-6 三角换元法1. 已知21)65cos(=+απ，则=--)3sin(απ （25） 2. 已知01cos(75)3α+=,其中α为第三象限角，求00cos(105)sin(105)αα-+-(26)3. 已知473sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且παπ<<2，则=αcos 27 ． 4. 若π1sin(-)=34a ，则πsin(2-)=6a （28 ） A ．87-B ．87 C. 1615- D ．1615312122. 若α是第四象限角，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝( 30 ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－5133. 已知534cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且παπ23<<，则=αcos 31 ．4. 42)4sin(=+πα，则=α2sin 325. 已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．（33） 《三角函数》专题34-8 三角换元法1. 已知43)105sin(=-αo ，则=-)195cos(αo （34）2. 若cos()63πα-=25cos()s ()66in ππαα+--= （35） 3. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝_____36___. 4. 若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为（ 37 ） A ．13- B ．79- C ．13 D ．79① 答案：31-； ② 答案：3-； ③ 答案：A ；[解析] ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.④ 答案：B ；[cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.]⑤ 答案：2413； 原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x ) ＝2sin (π4＋x )·cos (π4＋x )cos (π4＋x )＝2sin(π4＋x )． ∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513， 且0<x <π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos 2(π4＋x )＝1213. ∴原式＝2×1213＝2413. ⑥ 答案：32； ⑦ 答案：54-； ⑧ 答案：10433+；⑨ 答案：78； ⑩ 答案：61； 11 答案：1615； 12 答案：261235+； 13 答案：B ；14 答案：－34； 解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x ＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 15 答案：D ；16 答案：1611； 17 答案：2627-； 18 答案：B ；19 答案：A ；20 答案：21-； 21 答案：3122--； 22 答案：1027； 23 答案：1027-； 24 答案：C ；解:πcos α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2221cos cos 2cos 133232ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,25 答案：21； 26 答案：3122-；27 答案：8321-； 28答案：B ； 29答案：32； 30 答案：D ；由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513，cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513.31 答案：1027-； 32 答案：43-；33 答案：45 ,－24＋7350； (1)因为x ∈(π2，3π4)， 所以x －π4∈(π4，π2)， 于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210， 则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4] ＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35， sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425， cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3) ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.34 答案：43-； 35 答案：332--； 36 答案：33； [解析] cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α，∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33.37 答案：B ；。
2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2
2.1.2 两角和与差的正弦公式教材要点要点两角和与差的正弦公式名称简记符号公式运用条件两角和的正弦S(α＋β)sin (α＋β)＝______________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin (α－β)＝____________________α，β∈R状元随笔公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)(2)留意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对随意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(3)存在α，β角，使得sin (α－β)＝sin α＋sin β.( )(4)∀α，β，有sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β.( ) 2．sin35°cos 25°＋cos 35°sin 25°的值等于( )A． B． C． D．3．sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°的值为( )A．－ B．－ C． D．4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________．题型 1 给角求值例1 (1)化简sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°，得( )A． B．sin 20° C．cos 20° D．(2)的值是________．方法归纳(1)对于非特别角的三角函数式求值问题，肯定要本着先整体后局部的基本原则，假如整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有：将非特别角化为特别角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要留意逆用或变用公式．跟踪训练 1 (1)化简：sin (x＋27°)cos (18°－x)＋sin (63°－x)·sin (18°－x)＝________．(2)求值：＝________．题型 2 给值求值角度1 干脆法求值例2 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为其次象限角，求sin (α＋β)的值．方法归纳(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，肯定留意已知角的范围．角度2 拆角变换求值例3 已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求：sin 2α、sin 2β.跟踪训练2 (1)已知α，β均为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝( )A．B．或C．D．(2)已知θ是其次象限角且cos θ＝－，则sin ＝________.题型 3 已知三角函数值求角例4 已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．方法归纳(1)要求一个角，一般可以先求这个角的某种三角函数值，详细求哪种三角函数值，应依据所求角的范围确定．(2)考虑角的拼凑，留意到β＝α－(α－β)，故sin β＝sin [α－(α－β)]，或cos β＝cos [α－(α－β)].(3)本题还可以将cos (α－β)绽开，结合同角三角函数的关系求解，但比较困难．跟踪训练3 已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β.课堂非常钟1．sin 105°的值为( )A．B．C．D．2．(多选)下面各式中，正确的是( )A．sin ＝sin cos cosB．cos ＝sin －cos cosC．cos ＝cos cosD．cos ＝cos －cos3．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°的值为( )A． B．－C． D．－4．已知sin A＝，且A∈，则sin ＝________．5．已知：α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求角α的大小．2.1.2 两角和与差的正弦公式新知初探·课前预习要点sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由题得sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°＝sin (35°＋25°)＝sin 60°＝.答案：D3．解析：∵cos 225°＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°，因此，sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝.答案：C4．解析：因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－.答案：－题型探究·课堂解透例1 解析：(1)sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.(2)原式＝＝＝＝＝.答案：(1)A (2)跟踪训练1 解析：(1)因为sin (63°－x)＝sin [90°－(27°＋x)]＝cos (27°＋x)，所以，原式＝sin (x＋27°)cos (18°－x)＋cos (27°＋x)sin (18°－x)＝sin [(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.(2)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.答案：(1)(2)例2 解析：因为α为第一象限角，β为其次象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋＝.例3 解析：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<又∵cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，∴sin (α－β)＝，cos (α＋β)＝－sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝－sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)＝－.跟踪训练2 解析：(1)因为α，β均为锐角，故α＋β∈(0，π)，因为cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝＝，sin (α＋β)＝＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.(2)∵θ是其次象限角且cos θ＝－，∴sin θ＝＝，∴sin＝sin θcos ＋cos θsin＝＝－.答案：(1)A (2)－例4 解析：由0＜β＜α＜可知，0＜α－β＜，故sin α＝，sin (α－β)＝.故sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝.又0＜β＜，因此β＝.跟踪训练3 解析：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝.又因为0<β<，所以0<α＋β<π.因为sin (α＋β)＝<sin α，所以cos (α＋β)＝－，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.又因为0<β<，所以β＝.[课堂非常钟]1．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝＝.答案：D2．解析：∵sin ＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos cos ，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，∴B正确；∵cos＝cos ＝cos cos ，∴C正确；∵0＜cos ＝cos ≠cos －cos ＜0，∴D不正确．答案：ABC3．解析：方法一cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝cos 16°cos 44°－sin 16°sin 44°＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.方法二cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin 74°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin (74°－44°)＝sin 30°＝.答案：C4．解析：因为sin A＝，且A∈，所以cos A＝－＝－，因此sin＝sin A cos ＋cos A sin＝＝.答案：5．解析：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．由cos (α－β)＝，知sin (α－β)＝.由sin β＝－，知cos β＝.所以sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝＝.又α∈，所以α＝。
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三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．
x=,y=tanθ,cos θ
2其中θ∈[0,π2)，则
|x|−|y|=
−tan θ=,cos θ2cos θsin θ-2表示点(0,2)与单位圆+=1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，2x 2y 如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求
代数式的最小值为3．
例2 设 x,y 为实数，若−xy+=1，求x+2y 的取值范围．2x 2y 分析 联想到+=1，考虑将题中−xy+=1变形，然θsin 2θcos 22x 2y 后用三角换元进行求解．
解 题中等式可化为
+=1,22y -x ）（2y 4
3进行三角换元，令
x=
+cos θ,y=,2y sin θ32其中θ∈[0,2π)，解得
x=sinθ+cosθ,y=,,31sin θ3
2所以
x+2y=
sinθ+cosθ=sin(θ+φ),35328
其中sinφ=,cosφ=．142114
75因此，x+2y 的取值范围为[−,]．32123212总结
(1)常用于三角换元的三角恒等式有
sin θ+cos θ=1,
−tan α=1,22αcos 122(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．
(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
由(x −3)+(4−x)=1，可令
22
=cos θ,x -4其中θ∈[0,]，此时题中函数化为2
πf(θ)=sinθ+cosθ,
3其中θ∈[0,]，结合辅助角公式，得2
πf(θ)=2sin(θ+),3
π其中 θ∈[0,]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．2
π。