单位圆与三角函数线

2 sin ＝MP, cos OM , tan AT 3 3 3 2
3 的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT
T
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3
实例探究，概括步骤
y N P
变式训练：
1.若角的正弦线为向量ON, 作出角的终边.
o
M
x
1 5 2.若ON= ，则 2k 或2k ，k Z 6 6 2
o （Ш）
A
x
A
o （Ⅳ）
T
x
tan AT
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2
互动探究，形成概念
思考6：终边在x轴上 、在y轴上时，三角
函数线有何特点？数量值是什么？
（1）.角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A
重合,此时,正弦线和正切线变成了一点,它们的数
量为0,而余弦线的数量OM=1或-1. （2）.当角α的终边落在y轴上时,正弦线的数量MP=1或-1,
正确地用与单位圆有关的三角函 数线表示三角函数值。
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二、教学方法
教学方法
教学中采用 “问题导引”的 形式引发学生思 考；采用“小组 合作学习”的形 式引导学生探究 交流。
利用多媒 体辅助教学手 段，丰富课堂 内容，提高教 学效率，优化 学习效果。
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三、学法指导
指导学生学会 归纳概括、形 成规律.
余弦线变成了一点.数量为零,正切线不存在.
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2
互动探究，形成概念
请大家总结这三种三角函数线的作法
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、 余弦线OM； 第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或 其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT. 特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线 段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不 能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段 与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.
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五、板书设计
课
一、复习引入 （3分钟） 二、探究知识 生成
题
三、典例探究 四、随堂训练 例1（6分钟） （8分钟）
变式 例2（6分钟） 五、课堂小结 （2分钟）
（15分钟）
学生板演
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3
实例探究，概括步骤
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
y
2π (1) 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
以x轴的正半轴为始边作出
3π (2)4
PMBiblioteka 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足为M，由
的角，
单位圆与x轴的正半轴的交点A作x轴的垂线,
o
A
x
与OP的反向延长线交于T点，则 2 2
借助几何画板让学生经历概念的形成过程， 提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索 的能力；让学生借助所学知识自己去发现新问 题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归 纳、数学表述等基本数学思维能力.
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一、教材分析
正确地用三角函数线表示任意角 的三角函数值，培养学生数形结 合的良好思维习惯。
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4
讲练结合，巩固新知
4.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围． 1 1 ( 2) cos x . (1) sin x ; 2 2
5.已知0<α<π/2 ，试用单位圆证明：
(1) sin 2 cos2 1
y N P
(2) sin cos 1
单位圆与三角函数线
人教B版选修4 §1.2.2
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单位圆与三角函数线
教 材 分析
教学方法
学法指导
教学过程 设计说明
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一、教材分析
三角函数是中学数学的重要 内容，而三角函数线的概念 及应用贯穿整个三角函数的 教学。
三角函数线的概念及其应 用体现数形结合的数学思 想。
借助三角函数线能推导 三角函数公式，求解三 角不等式，探索三角函 数的图像和性质。
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3
实例探究，概括步骤
例2：利用三角函数线比较三角函数值的大小
7π (1) sin 5π 与si n 4 6
(2) cos 5π 与cos 7π
4 6
(3) tan 5π 与 tan 7π
4 6
y
T1
M2
5π 7π (1) sin <s i n 4 6
T2 A
M1
P2 P1
o
x
(2) cos

x
2
互动探究，形成概念
由问题１、２你得到角α的正余弦值与 向量的数量有什么关系？ 结论： 第一象限角α的余正弦值分别等于终边与单
位圆交点的横、纵坐标，也分别等于向量 OM ,MP 的数量, 即
cos x OM sin y MP
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2
互动探究，形成概念
y sinα= 1 = y
x cosα= 1 = x
o
x
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2
互动探究，形成概念
思考1：当终边在第一象限时，角α的正余弦与
Ｐ的纵、横坐标y、x之间有何关系？
y P
y sin y 1
x cos = x 1
N o
M
x
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2
互动探究，形成概念
思考2：当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上
5π 7π > cos 4 6
5 π 7 π (3) tan > tan 4 6
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4
讲练结合，巩固新知
1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1） 3
；
5 ； （2） 6
2 ； （3） 3
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4
讲练结合，巩固新知
7 的正弦线 8
2、如果 MP 和 OM 分别是角
y N P
o
M
o
M
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5
共同小结，布置作业
小结： 知识方面：1.三角函数线的概念及做法；
2.三角函数线的应用 思想方法方面： 1.数学结合 2.分类讨论
作业：1.教材P 练习B 1.2
2.思考题：利用三角函数线研究以下问题
已知 （0， ），试比较， sin ,tan 的大小 2
y
o
α
P(x,y)
x
x cos r y sin r y tan x
从定义可知：角α的三角函数是两个变量的比值。
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1
知识回顾，新课引入
我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心 与坐标原点重合，如图所示，设任意角α与单位圆 交于点p(x , y)，则r = |op| = 1 y α终边 p(x , y)
D
和余弦线，那么下列结论中正确的是（
A MP OM 0 C OM MP 0
）
B OM 0 MP D MP 0 OM
3、若 4 2 C A sin cos tan C tan sin cos

则下列各式中正确的（
）
B cos tan sin D sin tan cos
找两个以原点为起点的向量,使p点的坐标分别是这 两个向量的数量？ 过Ｐ作ＰＭ垂直于X轴于Ｍ，作ＰＮ垂直于Y轴于 Ｎ，则点Ｍ，Ｎ分别是Ｐ点在X轴和Y轴上的正射 影（简称射影) y
向量 ON 的数量ON y

N o
P（x,y）
向量 OM 的数量OM x
M
向量 MP的数量MP y
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问题(1)、数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？ 数轴上的向量 AB 的坐标是一个实数，这个实数的 绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，
反之取负.
A B
特别的：当轴上向量的起点在原点时轴上向 量的坐标等于终点坐标.
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知识回顾，新课引入
问题（2）、角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
指导学生自主 学习，培养学 生合作探究的 意识.
1
指导学生应用 所学知识分析 问题、解决问 观察、实验， 题. 体验知识的形 成过程.
4
3
2
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四、教学过程
1 2 3 4 5
知识回顾，新课引入
互动探究，形成概念 实例探究，概括步骤 讲练结合，巩固新知
共同小结，布置作业
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1
知识回顾，新课引入
一个垂直于x轴向量，使它的数量为α的正切？ Ｔ点是过单位圆与x轴正半轴交点 Ａ作圆的切线与α终边的交点．
y
P
T
tan AT
o
M A x
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2
互动探究，形成概念
思考5：角α是第二、三、四象限的角时能否找
到一个垂直于x轴向量，其数量为tanα？
α的终边 y
T
y A
y
o ( Ⅱ) T
总结结论： 角α的余弦和正弦值分别等于 角α的终边与单位圆交点的横坐 标，纵坐标，即
cos x OM sin y MP 把向量OM , MP叫做角的余弦线，正弦线。
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2
互动探究，形成概念
思考4：若α是第一象限角，能否在坐标系中找到
思考3： 是二、三、四象限角时，角的正弦

值与向量 ON (MP), OM 的数量的关系如何？
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