(完整版)相遇问题整理
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应用题—行程问题(相遇、流水行船)知识点:
1.相遇问题是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是:两个运动的物体,同时从两地相对而行,越行越近,到一定的时候二者可以相遇。
2.相遇问题的数量关系:
速度和×相遇时间=两地路程
两地路程÷速度和=相遇时间
两地路程÷相遇时间=速度和
3.解题时,除掌握数量关系外,还要根据题意想象实际情景,画线段图来帮助理解和分析题意,突破题目的难点。
4.流水行船问题
船速:船在静水中的速度;
水速:水流速度;
顺水速度:船顺水航行的实际速度;
逆水速度:船逆水航行的实际速度;
行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。
顺水路程=顺水速度×时间
逆水路程=逆水速度×时间
行船问题中的两个基本关系式:
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式:船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
例1
一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
解:设原速度是1.
%后,所用时间缩短到原时间的这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比.
用原速行驶需要
同样道理,车速提高25%,所用时间缩短到原来的
如果一开始就加速25%,可少时间
现在只少了40分钟, 72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟,它应是这段路程所用时间
真巧,320-160=160(分钟),原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
答:甲、乙两地相距270千米.
练习:1.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高30%,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?
解:设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2
速度比值:
这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比.
时间比值:6:5
这样可以把原来时间看成6份,后来就是5份,这样就节省1份,节省1个小时。
原来时间就是=1×6=6小时。
同样道理,车速提高30%,速度比值:1:(1+30%)=1:1.3
时间比值:1.3:1
这样也节省了0.3份,节省1小时,可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3÷0.3=13/3
所以前后的时间比值为(6-13/3):13/3=5:13。所以总共行驶了全程的5/(5+13)=5/18
2.兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远?
答案:180×2÷(90-60)=12(分钟)
12×60+180=900(米)
答:他们家离学校900米。
例2
甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
答案:第二次相遇两人总共走了3个全程,所以甲一个全程里走了4千米,三个全程里应该走4*3=12千米,
通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距B地的3千米,所以全程是12-3=9千米,
所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米。
练习:1.甲乙两地的公路长195千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时30千米,途中乙车出现故障,修车用了1小时,两车从出发到相遇经过了几小时?
答案3(小时)
乙车出故障修车1小时看成是甲车先走1小时
解:甲车1小时行的路程=45×1=45千米
路程和=195-45=150千米
速度和=45+30=75(千米每小时)
相遇时间=150 ÷75
=2(小时)
2+1=3(小时)
答:两车从出发到相遇经过了3小时。
2. 从A 城到B 城,甲汽车用6小时,从B 城到A 城,乙汽车用4 小时。现在甲、乙两车分别从A 、B 两城同时出发相对而行,相遇时甲汽车行驶了96千米, A 、B 两城相距多远?
答案:240千米
速度比:4:6=2:3. 路程比:2:3. 24032296=+⨯
÷)(千米
例3
甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
答案:解:那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+75)×2=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差
所以乙丙相遇时间=270÷(67.5-60)=36分钟,所以路程=36×(60+75)=4860米。
练习:1.甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A 地,丙一人从B 地同事相向出发,丙遇到乙后两分钟又遇到甲,AB 两地相距多少米?
答案:
丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲,
2分钟甲、丙两人的相遇路程=甲乙两人的追及路程
=(50+70)×2=240(米), 甲乙的追及时间=甲丙的相遇时间=240÷(60-50)=24(分) 两地距离=甲丙相遇路程
=(60+70)×24=3120(米)
2.甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟80米,60米,50米.甲,乙两人从A地,丙一人从B地相向出发,如果在两地同时而行,乙丙比甲丙迟2分钟相遇.AB两地的距离是多少米?
答案:设AB两地的距离是x米
x/(60+50)-x/(80+50)=2
x/110-x/130=2
130x-110x=28600
20x=28600
x=1430
AB两地的距离是1430米