16169-数学建模-培训课件-A20004024中南大学刘延虎,邢栋,李海希
数学建模--中南大学数模课件第六章
• 对Ax=b ，设det(A)≠0 ，a ii 将A 改写成：
a11 A 0 a 21 a 31 a nn a n1 0 a 32 an2 0 a n , n 1
0( i 1 n ) （6.3.1)
其精确解为： x 1, 2, 1,1 T
1 0 x1 x 2 2 x 3 6 x1 1 1 x 2 x 3 3 x 4 2 5 2 x1 x 2 1 0 x 3 x 4 1 1 3 x 2 x3 8 x 4 1 5
x
来控制迭代终止。
( k 1)
x
(k )
由迭代计算公式可知，迭代法一个重要特征是计算过程中 原来矩阵 A数据始终不变。
2012-8-24
数学建模
21
例6.3.1
用Jacobi迭代法求下面线形方程组，其精确 ,
解是 x * (1, 2, 1,1) T
6 1 0 x1 x 2 2 x 3 x1 1 1 x 2 x 3 x 4 2 5 2 x1 x 2 1 0 x 3 x 4 1 1 3 x x3 8 x 4 1 5 2
科学计算与数学建模
—— 回归问题
中南大学数学科学与计算技术学院
2012-8-24 数学建模
第六章
回归问题 ——线性方程组求解的迭代法
6.1 6.2
回归问题
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线性方程组迭代法概述
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6.3
6.4
迭代法
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关于回归模型的求解
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2012-8-24
数学建模
数学建模--中南大学数模课件第三章
梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等 距节点下的求积公式。
2012-8-24 数学建模
下述定理给出了这些求积公式的余项。
定理3.2.1 若
f ''( x )
在[a,b]上连续，则梯形公式（3.2.3）的余项为：
R1 f
(b a ) 12
3
f
本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。
2012-8-24
数学建模
3.2.1 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式
若将积分区间[a,b]n等分，取分点作为求积节点，并作变量替换
x a th ,那么插值型求积公式(3.1.3)的系数由（3.1.2）可得： ba x k a kh ( h ; k 0,1, , n ) n
2012-8-24
数学建模
3.2.2 复合Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式
由定理3.2.1知，当积分区间较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式
所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了 既能提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往
采用复合求积的方法。所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小
h 90
[7 f a 32 f ( x
k 0 n 1 n 1
n 1
k
1 4
)
（3.2.11）
k 3 4
12 f ( x
k 0
k
1 2
) 32 f ( x
k 0
) 14 f ( x k ) 7 f ( b )]
数学建模宣导ppt课件
数学建模的软件工具
❖ 3.lingo的概况
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规 则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO 6.0学生版最多可版最多达300个变 量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦再10^4量级以上。虽然LINDO和 LINGO不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解 决的规划问题。
❖ Lingo的特色：模型建立语言和求解引擎的整合 A. Lingo是建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。 提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。 B. Lingo可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修 改。 C. LINGO建立的模型可以直接从数据库或工作表获取资料。同样地， LINGO可以将求 解结果直接输出到数据库或工作表。 D. LINGO内建的求解引擎有线性、非线性(convex and nonconvex)、二次、二次限制和 整数最佳化。 E.LINGO提供完全互动的环境供您建立、求解和分析模型。LINGO也提供DLL和OLE界 面可供使用者由撰写的程序中呼叫。 F.LINGO提供的所有工具和文件可使你迅速入门和上手。LINGO使用者手册有详细的功 能定义。
Mathematica 在线性代数方面的数值运算，例如特征向量、 反矩阵等，皆比
Matlab R13做得更快更好，提供业界最精确的数值运算结果。Mathematica不但
可以做数值计算，还提供最优秀的可设计的符号运算。
数学建模的软件工具
❖ B.丰富的数学函数库，可以快速的解答微积分、线性代数、微分方程、复变函 数、数值分析、机率统计等等问题。 C.Mathematica可以绘制各专业领域专业函数图形，提供丰富的图形表示方法， 结果呈现可视化。 4.Mathematica可编排专业的科学论文期刊，让运算与排版在同一环境下完成， 提供高品质可编辑的排版公式与表格，屏幕与打印的 自动最佳化排版，组织由 初始概念到最后报告的计划，并且对 txt、html、pdf 等格式的输出提供了最好 的兼容性。 D.可与 C、C++ 、Fortran、Perl、Visual Basic、以及 Java 结合，提供强大高 级语言接口功能，使得程序开发更方便。 Mathematica本身就是一个方便学习的程序语言。 Mathematica提供互动且丰 富的帮助功能，让使用者现学现卖。强大的功能，简单的操作，非常容易学习 特点，可以最有效的缩短研发时间。
数学建模培训课件
数学建模
建立数学模型的全过程（包括分析、假设、 建模、求解、解释、检验等）
J. G. Liu
2018/10/2 6
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School of Mathematics and Physics
数学建模的一般步骤
模型准备
N
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
模型检验
2018/10/2 16
J. G. Liu
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例6 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。
(n－1)
设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n－1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的 n 1 ， 总距离为 k 1 2 k n 任意远 ，这一结果多少 故砖块向右可叠至 1 1 n 时, 有点出人意料。
Y
模型应用
模 型 准 备
J. G. Liu
了解实际背景
搜集有关信息
2018/10/2
明确建模目的
掌握对象特征
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形成一个 比较清晰 的‘问题’
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数学建模的一般步骤
模 型 假 设
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中
动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-
3
数学规划模型
实际问题中 Min(或Max) z f (x), x (x1,xn)T
的优化模型
s.t. gi (x) 0, i 1,2,m
x~决策变量
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件
多元函数 条件极值
决策变量个数n和 约束条件个数m较大
在允许范围内
• A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
不变！
数学建模培训课件-
13
结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
x2系数范围(48,72)
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS
INCREASE DECREASE
2
50.000000 10.000000
6.666667 x1系数由24 3=72
3 480.000000 53.333332
80.000000 增加为303=90，
4 100.000000 INFINITY 40.000000
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-
10
数学建模--中南大学数模课件第八章
1 A ( a ,a 0 ,a i j) n n i j j i a i j
显然必有
（8.2.1）
由于（8.2.1）式给出 a 的特点。 称为正互反矩阵。 A ij
a ij 1 ，如用
依次表示景色、费用、居住、饮 C 1,C 2,...,C n
次
食、旅途5个准则，设某人用成对比较法 （做
2019/2/16
数学建模
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相 结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优 点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源 分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系 统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的 重视和应用。
§2
层次分析法的基本步骤
层次分析法将定性分析与定量计算结合起来, 根 据 问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组 成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将 因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构 模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措 施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相 对优劣次序的排定。
研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献 大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)课 题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。 在这些因素的影响下，如何选择课题?
2019/2/16
数学建模
图8.2.2 选择旅游地层次分析图
2019/2/16 数学建模
层次结构模型的构造可归纳为： 将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达 到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、政策、 方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准 则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政 策、方案等。通常有几个方案可选。
16167-数学建模-培训课件-A20004020朱雷熊永孟艾金
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20004020 所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 朱雷2. 熊永孟3. 艾金指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：2007 年 9月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测摘要中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
本文采用多种模型对我国人口总数做了分析和预测。
通过分析各方面因素对人口总数的影响，提炼出老龄化指标、性别结构比例、自然增长率和城镇乡人口结构比例四个主要因素，对数据进行预处理，在充分考虑我国实际情况的前提下，作出合理假设对模型进行简化。
首先着眼于人口自然增长率，利用经典的和经过改进的非线性阻滞增长的Logistic模型，分别对人口总数作了中短期和长期预测， 2006、2010和2050年人口数分别为13.12亿、13.52亿和14.96亿，对预测结果检验表明改进后的Logistic模型具有精度高、通用性强、广泛性好和中短及长期预测都适合的优点，但不能反映人口结构和人口发展的特点。
建模辅导 第一讲.ppt
（2）可将本问题提法更一般化些，从而更具一般性。
在 在
设个个星星头nx期期12牛n中中在aa吃就a个完能xx2n1x星吃1n亩n期n完21地中 上亩mmm就m的1地(2能(h(hmh0草上吃002？的完nnn草v12)vv亩，))地m那1上么的多草少，头牛头才牛x能2
第一讲 数学建模的初步认识
实例2（方桌问题）四条腿的方桌能在地面上放稳吗？ 试建立数学模型来回答这个问题？
（2）草在牛吃草之前，其高度未必一致； （3）草是随吃随长的，且各处的生长速度也不尽相同；
2、模型假设：
第一讲 数学建模的初步认识
（1）牛吃不到草的草高为吃完高度，假设此时草高为零；
（2）在牛吃草之前，各处草的高度是一致的，设为 h0； （3）每头牛吃草量相同，均为 a单位/星期；
（4）草的生长速度各处相同且是均匀生长的，即生长速度为
不合理的，更为合理的是：整个身体的重量集中在脚上，于是动能
项中的 M，=由m此模型又被改写成
P= Mgv x Mv3
8l
2x
从而 x2 4lv2 n2 g
g
4l
再将刚才的数据代入后，得到n 1.6
第一讲 数学建模的初步认识
巩固”五步建模法”： 实例4（土地承包问题） 设某村一户农民承包了100亩中低产田，土地租用费每 亩50元/年，农业税每亩10元/年；根据当地气候条件可 以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份（秋 天）收玉米后可种冬小麦，第二年6月（夏天）收割小麦， 后可种玉米，10月份收割玉米；4月份种花生，10月份 收割花生后可种冬小麦，有关数据列入下表：
经过细想，做法值得推敲：
（1）市场情况你了解吗？即市场能否容纳所有鱼的出售； （2）涉及到你是否还想继续做养鱼专业户的问题？
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承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：20004024 所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员(打印并签名) ：1. 刘延虎2. 邢栋3. 李海希指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：侯木舟日期： 2007 年 9 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题：中国人口增长预测摘要本文根据A题中所提供的数据以十年为一个年龄组，把抽样的数据分为9个年龄段（只考虑女性），建立Leslie人口模型，并预测女性人口的数量.在获得女性各年龄段人口数量后，再根据我国的男女性别比就可以成功的预测出我国男性人口数（见附录表1），进而得到我国在不同时期的总人口数（见附录表2）.在Leslie人口模型的基础上，考虑到人口增长数量中所体现的特点，我们建立离散时间模型，对人口流动与迁移及人口的老龄化程度等对我国未来人口数量及结构产生影响的因素进行分析。
得到人口迁移与流动也即城市化进程一定会在某一时间达到稳定状态，而随着城市化进程的进行，农村和城市老龄化的现象也各有不同：城市老龄化现象要比总人口的老龄化现象严重，而农村的老龄化现象则低于总的人口老龄化现象。
同时，由于Leslie人口模型具有预测精度不高，普适性不强等缺点，为了改进我们的模型，我们在2006年国家统计年鉴基础上又建立了的GM(1,1)模型，把人口系统看成是是一个灰色系统，采用经典的灰色预测的方法，得到了我国中短期和长期的人口数量（见附录表3）.得到在2050年的时候预测的人口总数为14.93亿，同时，为了进一步提高预测的准确度，我们又对人口每年的增量进行了灰色预测，并在此基础上推导出我国总人口的变化趋势，通过比较发现，采用等六维的增量法得到的GM(1,1)模型的预测误差最小，因此，我们采用等六维的增量法，并预测出更符合我国人口发展趋势图（图1），得到在2050年预测的人口总数为15.99亿.为了检验和更好的说明我们建立的模型的合理性，我们又用蒙特卡洛算法对我国未来80年的人口变化趋势进行了MATLAB模拟仿真(见图2).从仿真结果图上可以得出一个结论：当国家干预强度系数α比较小时，我国人口将在未来50年甚至60年内将继续保持较高的增长速度，而当α比较大时，我国人口将在本世纪30—40年代内达到高峰（值约为14.97亿），之后将回落到本世纪初的人口数量.这说明国家政府部门在计划生育中起到十分重要的作用.同时我们也得到了这个时段人口总数所呈现的特点（老龄化以及育龄妇女何时达到高峰）进行了分析（具体见图4，图5）.在模型检验部分，由于河南省的人口状况较能反映我国发展状况，因此我们在参考河南2005年《统计年鉴》的基础上，用MATLAB进行了仿真检验，我们输入河南1987年的总人口来预测出从1988年到2004年的人口总数量（见图3），其中所获得的数据的均方误为0.0106,因此说明了我们模型的合理性和普适性，不仅可以用来预测国家的人口变化趋势，还可以用来预测某一省市的人口。
关键字： Leslie人口模型离散时间模型人口老龄化GM(1,1)模型蒙特卡罗算法一.问题重述我国是一个人口大国，人口基数大，增长速度快，人口素质还普遍偏低，这不仅造成人均资源的数量很少，而且造成住房、教育、就业等方面的很大压力。
每年新增加的国民生产总值有相当一部分被新增加的人口所抵消，从而造成社会再生产投入不足，严重影响了国民经济的可持续发展。
因此，认真分析研究我国目前的人口发展现状和特点，采取切实可行的措施控制人口的高速增长，已经成为我国目前经济发展中需要解决的首要问题。
近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
我们需要根据已有的统计数据，从我国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立我国人口增长的数学模型，并由此对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测.二.问题分析人口的增长速度不仅跟人口的总量有关，还与人口的性别比、各年龄段人口的分布、不同地区间人口的迁移以及人们的生育观念有关.要对我国人口的增长做中短期和长期趋势的预测就要对我国人口的现状有具体全面的了解，附表中给出了2001—2005年的我国人口1%的调查数据及1994—2005年我国不同地区的育龄妇女生育率和出生婴儿的性别比.我们要对已有的数据或查阅相关文献，充分了解我国人口状况的数据特征，以便于建立符合我国实际的人口增长数学模型，进而对我国人口的结构和增长趋势做出正确合理的预测.三.基本假设（1）国家的计划生育政策不变，国家宏观调控人口数量及结构的能力在短期内基本不变，在长期内也不发生突变；（2）我国人口男女性别比基本保持不变，在较长时期内有下降趋势；（3）用来进行预测的抽样数据可以用来代表总体的人口。
四.变量及符号说明n)(t：第i个年龄组t次观察的女性总人数；ib：第i年龄组女性生女率；ii s ：第i 年龄组女性存活率；λ：Leslie 矩阵的占优特征根；1R , 2R ：是对角阵，R1(R2)的第i 对角元素为由1A 到2A (由2A 到1A )的i 岁组人口迁移率；()i N t ：区域i A 中时刻t 按龄人口向量；i AR ：地区i A 人口中的老龄比；)(t R ：在t 年时人口的增长率；α：国家对人口增长的干预强度系数；五.模型的建立与求解5.1 Leslie 人口模型由题中所给的数据，我们可以利用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
先建立一个简单的离散的人口增长模型Leslie 人口模型，如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，所以为了更好的反映人口的年龄结构，就必须要对抽样数据进行合理的分组。
5.1.1 模型假设(1)将时间离散化，假设男女人口的性别比为P:1，因此仅考虑女性人口的发展变化,就可以得出人口整体的发展变化。
假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，且不考虑同一时间间隔内人口数量的变化.(2)记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，且记：)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记存活率为i s ，则i i d s -=1（假设,i i b d 不随时间变化）.(3)不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响.(4)生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关.5.1.2 模型的建立与求解根据以上假设，可得到方程：)1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为： )()1(t Ln t n =+其中， L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000121121m m m s s s b b b b （5.1.2—1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （5.1.2—2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则()(0),0,1,2,t n t L n t == （5.1.2—3）可得到经过t 个时间段后各个年龄段中女性的人口数量，进而可以得到女性的总人口，再根据男女人口的比例关系即可求得总的人口数量.我们由题目所提供的数据，将整体的人口分为九个年龄段，前八段每段十年，最后一段为80岁以后的所有人数（指女性）. 由已知的数据我们可以得到每个年龄段女性的平均死亡率和平均生育率。
以此数据作为基准数据代入（5.1.2—1）可得到L 矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=097.4700000000099.0900000000099.6900000000099.8900000000099.95200000000099.9800000000099.9800000000099.9200000.121.87.260.180L[].33426100750,166190,289070,388870,472670,385580,314020,197730,)0(=n 则在第t 个时间段城市人口（女性）各年龄的构成见如下表格：根据表中所提供的2005年男女人口比例为113.92（女100计）假设以后各时间段这一比例基本保持不变由此我们可以得到则在第t 个时间段城市男性人口各年龄的构成 详见附录.这样我们就可以得出在第t 个时间段城市人口各年龄的构成及城市人口总量.按照同样的方法我们可以算出在第t 个时间段城镇人口和乡村人口的总量以及人口的分布情况（包括年龄结构和性别比例）.如果按所调查的人口占总人口的1%计算，那么我就很容易得出我国的人口总量及人口的相关分布，详见附录：5.2包含年龄结构的迁入迁出的人口模型5.2.1 模型的建立考虑到年龄结构、性别比及人口的迁移迁出的问题我们建立了如下模型对我国人口进行预测.因为各因素所受影响的条件不一样，也可能会互有影响，所以只考虑单个因素对人口增长的影响，并预测结果。
然后再通过对所提供的数据和因素之间的相互关联关系进行拟和获得各因素之间与人口增长特点之间的一个比较完善的模型.我们首先考虑在地域上人口增长过程中其转移的特点，考虑在两个地点1A 和2A 上的转移，对区域1A 和2A 建立离散时间模型，设迁移发生并完成在各时间间隔点，引入记号如下：1L ,2L 为区域1A 和2A 的Leslie 矩阵，其各元素不随时间变化.1112,λλ为矩阵1L 和2L 的占优特征根。
1R , 2R 为对角阵，R1(R2)的第i 对角元素为由1A 到2A (由2A 到1A )的i 岁组人口迁移率。