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高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
设函数 u g( x) 在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u) 在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
x x0
(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续.
4.函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
解： f ( x) 1 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim 1 ,
x0
x0 x
这时称x=0为f(x)的无穷间断点.
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
解: f ( x) sin 1 在x 0处没有意义, x
可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件：
(1) f ( x0 )有定义 (2) lim f ( x)存在
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
3.左右连续定义
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
无穷级数 函数项级数 幂级数收敛半径
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
3.高阶导数 隐函数求导法则
f ( k ) ( x ) n( n 1)( n 2) ( n k 1) x n k ,
f ( n1) ( x ) n(n 1)( n 2)2 x,
f ( n ) ( x ) n( n 1)( n 2)2 1 n!, f ( n 1 ) ( x ) 0,
x ( n)
(e x ) ( n ) e x
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln(1 x))
(n)
(1)
n 1
(n 1)! (1 x)n
1 (5). 1 x
(n)
n! (1) . n 1 (1 x)
( n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
(uv) u v uv
(uv) (u v uv) u v 2 u v uv (uv) u v 3uv 3uv uv
注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种 方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
d 2 y d dy d (dy) d 2 y 2. 记号与求导过程: 2 dx dx dxdx dx dx
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
d3y f ( x ), y, 3 . dx
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 4 d y (4) (4) f ( x ), y , 4 . dx
例9
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) .
f ( n1) ( x ) n(n 1)( n 2)2 x,
f ( n ) ( x ) n( n 1)( n 2)2 1 n!, f ( n 1 ) ( x ) 0,
x ( n)
(e x ) ( n ) e x
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln(1 x))
(n)
(1)
n 1
(n 1)! (1 x)n
1 (5). 1 x
(n)
n! (1) . n 1 (1 x)
( n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
(uv) u v uv
(uv) (u v uv) u v 2 u v uv (uv) u v 3uv 3uv uv
注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种 方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
d 2 y d dy d (dy) d 2 y 2. 记号与求导过程: 2 dx dx dxdx dx dx
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
d3y f ( x ), y, 3 . dx
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 4 d y (4) (4) f ( x ), y , 4 . dx
例9
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) .
4.对数求导法 参数方程的求导法则
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
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2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
高等数学A-第2章-11-4(对数求导法 参数方程的求导法则)
t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
n 0
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)
X 沿 l 趋向于X0 . 另外比值 的分母大于0. 如图 y
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
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证明: x 1, 不妨设 x 1 1, 得 0 x 2 但 x 1.
f (x) A x3 1 3 x2 x 2 x 2 x 1 x 1 ( x 2) x 1 4 x 1
0, 要使 f ( x) A ,
只要 4 x 1 , 即 x 1 ,
取
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
lim f (x) A x
自变量趋于无穷大时函数的极限举例:
例1. 证明 lim sin x 0. x x
例2. 证明 lim 1 0
x x
例3. 证明 lim cos x 0
x x
例1. 证明 lim sin x 0. x x
证明： 设 lim f ( x) A,
x x0
对于 1,
0 ,当x U( x~0, )时,有
f (x) A
1,
故 f (x) f (x) A A f (x) A A 1 A M
3. 函数极限的局部保号性
定理 3 （局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且 A 0(或 A 0), 则 0,
2
取 2 ,
当 0 x 0 时, 则有 cos x 1 .
lim cos x 1.
x0
函数单侧极限
函数单侧极限的描述定义
从 x0 的左侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为左极限.
记为
f ( x0
0)
lim
x x0
f (x)
从 x0 的右侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为右极限.
lim f ( x) A
x x0
或 f ( x) A(当x x0时)
注意: (1) 依赖于 ，但不是由 唯一确定，
如取 可以,则取 , 等也可以.
2
34
(2)函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关.
函数极限 lim f ( x) A 的几何解释
x x0
当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
(3)x可正可负且x , 记为x
与函从数数y列 1{xn(}x:x(n0,1n )) x
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
y
y1
x
O
1
2
xn
1 n
3
n
x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
即要使 f ( x) A 必须有 x x0 , 说明 随着 的指定而确定，有时也记为().
定义2 函数极限的精确定义,即 ( )定义
设f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A是一个确定的常数.
若 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
则称A是当x x0时f ( x)的极限.记为
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
结论：
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
f (x) A
x
x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 ,
x0
取 min x0 , x0,
当 0 x x0 时, 则有
即 x x0 x0 , x x0 .
lim x x0 .
x x0
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
y
y f (x)
A
A
A
o x0 x0 x0
x
当x在x0的去心邻域时,函数y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线,宽为2的带形区域内.
显然,找到一个后, 越小越好.
用定义验证函数极限的步骤：
(1)通过计算或估计得
(有时要事先给出某个限制不等式 x x0 1)
f ( x) A g( x x0 ) 是 x x0 的简单函数式
(2) 0, 要使 f ( x) A ,
只要 g( x x0 ) , 解得 x x0 ( ),
取 ( ) 或 min ( ),1.
当 0 x x0 时,有 f ( x) A .
(3)得出结论.
用定义验证函数极限习例4-8
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
例6.
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
例8. 证明 lim cos x 1.
x0
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
证明: f ( x) A 2x 1 5 2 x 2,
例9
设函数
f
x
0, x
x 1,
0, x 0.
证明极限
lim
x0
f
x
不存在.
证明:
容易证明当
x0
时，f x 的左极限
lim
x0
f x lim x 1 1 x0
而右极限 lim f x lim x 1 1
x0
x0
可见 f x 在0处的左、右极限存在但不相等，
所以，lim f x 不存在. x0
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
注意：
(1)与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的N
一样，说明x充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这
里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数n.
(2)几何解释：当x X时, f ( x)的图形全部位于两直线
y A 与y A 之间.
注意: (1)左右极限统称为单侧极限.
(2)通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的极限时 碰到左右极限问题.
(3)对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限.
(4) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
x 1, x 0,
0, 要使 f ( x) A ,
只要 2 x 2 , 取 ,
2
即 x2 ,
2
当0 x 2 ,有 2x 15 .
lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
证明: 尽管f(x)在x=2处没有意义，但函数当x2时极 限存在与否与它无关. f (x) A x2 4 4 x 2, x2
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 以 a 为极限, 记为
好像没有问题.
lim f (x) a .
x
有问题没有？
定义1 设f ( x)定义在[a,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
高等数学 A
第1章 函数与极限
1.3 函数的极限
1.3.1 函数极限的概念 1.3.2 函数极限的性质
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
1.3 函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限及习例1-3
1.3.1 函数极限的概念 自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的几何解释
步骤
函
用定义验证函数极限 lim f (x) A xx0
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
实例分析 y
(1) f ( x) 2x 1
y
5 4
(2) f ( x) x2 4 x2
1 o2
x
o2
x
当x 2时f ( x) 5
当x 2时f ( x) 4
两实例归结为" x x0(但不等于x0 )时f ( x) A(常数)"
这两个“趋于”反映了f(x)与A和x与x0无限接近程度之间的联 系.
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
x 时的极限定义:
设f ( x)定义在(,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
习例4-8
数 函数单侧极限的定义
极
函数极限的唯一性
限
收敛函数的局部有界性
1.3.2 函数极限的性质
函数极限的局部保号性
函数极限与数列极限的关系
证明极限不存在的方法
一、函数极限的概念
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 (1)x 0且 x ,记为x
x 有三种情况:(2)x 0且 x ,记为x
x
或 f ( x) A(当x 时)
y
A
A
X1
X2
o
A
x
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
证明: sin x 0 sin x 1 ,
x
xx
0, 要使 sin x 0 ,
f (x) A x3 1 3 x2 x 2 x 2 x 1 x 1 ( x 2) x 1 4 x 1
0, 要使 f ( x) A ,
只要 4 x 1 , 即 x 1 ,
取
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
lim f (x) A x
自变量趋于无穷大时函数的极限举例:
例1. 证明 lim sin x 0. x x
例2. 证明 lim 1 0
x x
例3. 证明 lim cos x 0
x x
例1. 证明 lim sin x 0. x x
证明： 设 lim f ( x) A,
x x0
对于 1,
0 ,当x U( x~0, )时,有
f (x) A
1,
故 f (x) f (x) A A f (x) A A 1 A M
3. 函数极限的局部保号性
定理 3 （局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且 A 0(或 A 0), 则 0,
2
取 2 ,
当 0 x 0 时, 则有 cos x 1 .
lim cos x 1.
x0
函数单侧极限
函数单侧极限的描述定义
从 x0 的左侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为左极限.
记为
f ( x0
0)
lim
x x0
f (x)
从 x0 的右侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为右极限.
lim f ( x) A
x x0
或 f ( x) A(当x x0时)
注意: (1) 依赖于 ，但不是由 唯一确定，
如取 可以,则取 , 等也可以.
2
34
(2)函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关.
函数极限 lim f ( x) A 的几何解释
x x0
当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
(3)x可正可负且x , 记为x
与函从数数y列 1{xn(}x:x(n0,1n )) x
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
y
y1
x
O
1
2
xn
1 n
3
n
x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
即要使 f ( x) A 必须有 x x0 , 说明 随着 的指定而确定，有时也记为().
定义2 函数极限的精确定义,即 ( )定义
设f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A是一个确定的常数.
若 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
则称A是当x x0时f ( x)的极限.记为
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
结论：
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
f (x) A
x
x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 ,
x0
取 min x0 , x0,
当 0 x x0 时, 则有
即 x x0 x0 , x x0 .
lim x x0 .
x x0
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
y
y f (x)
A
A
A
o x0 x0 x0
x
当x在x0的去心邻域时,函数y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线,宽为2的带形区域内.
显然,找到一个后, 越小越好.
用定义验证函数极限的步骤：
(1)通过计算或估计得
(有时要事先给出某个限制不等式 x x0 1)
f ( x) A g( x x0 ) 是 x x0 的简单函数式
(2) 0, 要使 f ( x) A ,
只要 g( x x0 ) , 解得 x x0 ( ),
取 ( ) 或 min ( ),1.
当 0 x x0 时,有 f ( x) A .
(3)得出结论.
用定义验证函数极限习例4-8
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
例6.
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
例8. 证明 lim cos x 1.
x0
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
证明: f ( x) A 2x 1 5 2 x 2,
例9
设函数
f
x
0, x
x 1,
0, x 0.
证明极限
lim
x0
f
x
不存在.
证明:
容易证明当
x0
时，f x 的左极限
lim
x0
f x lim x 1 1 x0
而右极限 lim f x lim x 1 1
x0
x0
可见 f x 在0处的左、右极限存在但不相等，
所以，lim f x 不存在. x0
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
注意：
(1)与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的N
一样，说明x充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这
里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数n.
(2)几何解释：当x X时, f ( x)的图形全部位于两直线
y A 与y A 之间.
注意: (1)左右极限统称为单侧极限.
(2)通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的极限时 碰到左右极限问题.
(3)对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限.
(4) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
x 1, x 0,
0, 要使 f ( x) A ,
只要 2 x 2 , 取 ,
2
即 x2 ,
2
当0 x 2 ,有 2x 15 .
lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
证明: 尽管f(x)在x=2处没有意义，但函数当x2时极 限存在与否与它无关. f (x) A x2 4 4 x 2, x2
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 以 a 为极限, 记为
好像没有问题.
lim f (x) a .
x
有问题没有？
定义1 设f ( x)定义在[a,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
高等数学 A
第1章 函数与极限
1.3 函数的极限
1.3.1 函数极限的概念 1.3.2 函数极限的性质
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
1.3 函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限及习例1-3
1.3.1 函数极限的概念 自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的几何解释
步骤
函
用定义验证函数极限 lim f (x) A xx0
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
实例分析 y
(1) f ( x) 2x 1
y
5 4
(2) f ( x) x2 4 x2
1 o2
x
o2
x
当x 2时f ( x) 5
当x 2时f ( x) 4
两实例归结为" x x0(但不等于x0 )时f ( x) A(常数)"
这两个“趋于”反映了f(x)与A和x与x0无限接近程度之间的联 系.
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
x 时的极限定义:
设f ( x)定义在(,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
习例4-8
数 函数单侧极限的定义
极
函数极限的唯一性
限
收敛函数的局部有界性
1.3.2 函数极限的性质
函数极限的局部保号性
函数极限与数列极限的关系
证明极限不存在的方法
一、函数极限的概念
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 (1)x 0且 x ,记为x
x 有三种情况:(2)x 0且 x ,记为x
x
或 f ( x) A(当x 时)
y
A
A
X1
X2
o
A
x
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
证明: sin x 0 sin x 1 ,
x
xx
0, 要使 sin x 0 ,