黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题 word版含答案
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.8.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.9.已知数列{a n}的首项a1=2，数列{b n}为等比数列，且b n=，若b10b11=2，则a21=（）A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 211.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2-x）+f（x）=0，且当x∈[0，1）时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）+2sinπx在区间（-3，5）上的所有零点之和为（）A. 12B. 13C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点（-1，2）且与直线2x-3y+9=0垂直的直线方程为______．14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.如图，在△ABC中，AD AB，=，||=1，则•=______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，=0，求||+||的最小值．20.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．21.函数f（x）=x2+m ln（x+1）．（1）当m=-4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，求的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．参考答案1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】A11.【答案】B12.【答案】D13.【答案】3x+2y-1=0【解析】解：设2x-3y+9=0的垂线为3x+2y+c=0，因为直线过点（-1，2），故3×（-1）+2×2+c=0，解得c=-1，故所求直线为3x+2y-1=0．故填：3x+2y-1=0．设出直线2x-3y+9=0垂线方程，又知直线过定点，将点代入即可求出参数，进而得到直线的方程．本题考查了已知直线垂线的求法，可以设出直线方程，根据直线过点来求，也可以根据直线的点斜式来求，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O 1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）∵∥，∥，=0，∴直线AC，BD垂直相交于点F1（-2，0）①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=≥=，当且仅当4+3k2=3+4k2，解得k2=1，即k=±1时，上式取等号综上可得：||+||的最小值．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，以及弦长公式，基本不等式，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），∴=（0，1，1），=（1，0，2），=（-1，-2，0），设平面SCD的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，-1，1），∴=0，即，∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量=（1，0，0），则cos＜，＞===，∴平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为．（Ⅲ）∵直线CD：y=2x-2，设N（x，2x-2，0），x∈[1，2]，则=（x，2x-3，-1），平面SAB的一个法向量=（1，0，0），∴sinθ=|cos＜，＞|===，当，即x=时，sinθ取得最大值，且（sinθ）max=．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD．（Ⅱ）求出面SCD的一个法向量和平面SAB的一个法向量，利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）求出平面SAB的一个法向量，由平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为．能求出x=时，sinθ取得最大值，且（sinθ）max=．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）依题意知函数定义域为（-1，+∞），…………………………………………（1分）=，…………………………………………（2分）当m=-4时，令，得：-2≤x≤1，又x＞-1，故函数f（x）的单调减区间（-1，1]．…………………………………（5分）注：单调减区间写成（-1，1）也可．（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，知＜＜，，，∈，，，……………………（7分）令，∈，，∴，令，∴，令h（x）=x2+3x+1，又∵∈，，（x+1）3＞0，h（x）在，单调递增且h（0）＞0，＜，即存在∈，使得h（x0）=0即∈，，＜，x∈（x0，0），g'（x）＞0，g（x）在，单调递减，g（x）在（x0，0）单调递增，………………………………（10分）又，＜，∴∈，，＜，∴∈，，在，单调递减，又∵φ（0）=0，，……………………………………………（11分）故所求范围为，．…………………………………………（12分）【解析】（1）求出函数f（x）的解析式和导数，结合函数单调递减区间和导数之间的关系进行求解即可．（2）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系，进行转化求解即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性极值和导数之间的关系，结合条件构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合的等价条件，结合交集的定义进行计算即可．【详解】A={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，则，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.已知，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式通过三角恒等变换变成正切，得到结果．【详解】则故选A.【点睛】本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.已知向量，向量的夹角是，，则等于A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．【详解】∵向量又向量的夹角是，，∴∴．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A. ∥∥B. ∥C. ∥∥D. ∥∥【答案】C【解析】【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【详解】对于A. ∥∥，错误，与又饿可能异面；对于B. ∥，错误，与有可能相交；对于C. ∥∥，利用直线与平面垂直的判定定理可得结论正确；对于 D. ∥∥，错误，与有可能相交.故选C.【点睛】】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．5.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．6.函数f（x）=sin（ωx+）（其中||＜）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．【详解】解：由图知，，，；又，，又，，，，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．7.直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，然后求解即可．【详解】因为几何体直三棱柱，BC∥B1C1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，，连结，取BC的中点H,连结OH，则直线与所成的角为就是．设．易得，三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．8.若函数在区间上单调递减，且，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：A．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．9.已知数列的首项，数列为等比数列，且．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出a n=b1b2…b n-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21．【详解】数列{a n}首项a1=2，数列{b n}为等比数列，且，∴…．故选：C．【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．10.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱，挖去两个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案【详解】由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉两个三棱锥，所得的组合体，其直观图如图所示：∵三棱柱的体积，挖去的棱锥体积，故该几何体的体积为：，故选A．【点睛】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力判断能力，以及空间想象能力．11.已知定义域为R的奇函数，当时，，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由当时，，可得又根据奇偶性求出即可.【详解】定义域为R的奇函数，当时，，则则又当时，，故.故选B.【点睛】】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意运用周期性和对数的运算性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.已知是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】D【解析】【分析】由题可知函数周期为2 ，作出函数数和在区间上的的图像。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是.A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a.12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是.12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________ 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC 的面积. 18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m . 20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)以线段OA OB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围． 21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．哈师大附中2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一． 选择题1-6 ACDCDB 7-12BDADAB 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15. 211316. 三．解答题 17.（1）c a bb a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--1ac ∴=1sin 2S acB ∴==18.（Ⅰ）1cos 2()222xf x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19.2nS n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈min 4m ∴=20.（1）因为c e a ==222a b c =+ 222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b ∴+=2(1,)在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+(1)0,,m A B =关于原点对称，0λ=，不能形成平行四边形0∴λ≠(2)0m ≠，224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩Q 在椭圆上，222242[]2[]2(12)(12)km mk k -∴+=λ+λ+ 2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+-> 2212k m ∴+>2224m m ∴>λ22∴-<λ<且0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->- 只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t tφ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t，可得：10x -= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将1()12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-125t t = 因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111t t PA PB t t t t ++=+==． 23.（1）由()5f x >，得23x ->, 即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立, 当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题(精编含解析)
哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析. 5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.6.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A 选项.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数满足可知周期，，，，故可比较大小.【详解】因为满足，所以，所以周期，所以，，,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性及函数的奇偶性，属于中档题.9.若函数在其定义域上为增函数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数为定义域上的增函数，则都为增函数，且满足即可求出.【详解】因为分段函数为增函数，所以需满足，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的增减性，属于中档题.解决此问题需要每段都是增函数且在分界点左侧的函数值要小于等于右侧的函数值.10.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．【详解】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于k AB＜m＜k AC，可得＜m＜1．故选：A．【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.11.已知函数，给出以下四个命题：①，有；②且，有；③，有；④，.其中所有真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④【答案】D【解析】对于①，，正确；对于②，因为和都是上的增函数，所以是上的增函数，故正确；对于③在上是增函数，所以函数是上凸的，故正确；对于④设，则当时，，在上是增函数，所以时，，即，由奇函数性质知，，都有.故正确的命题①②③④，选D.12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.当时，，则在上单调递增，且，所以有无数整数解，不符合题意；当时，即,由，得.则在上单调递增，在上单调递减，,根据题意有：即可，解得综上：.故选B.点睛：研究大于0的整数解，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.设函数，则=_________．【答案】0【解析】【分析】根据解析式得到2>1,故f(2)代第二段解析式得到数值0，f(0)=0，代第一段解析式得到0.【详解】根据分段函数的解析式得到：2>1,故f(2)代第二段解析式,.【点睛】这个题目考查了已知分段函数的解析式，求函数值，通常是通过解析式和定义域，判断出自变量属于的区间，再将自变量代入即可.14.若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，解得，即函数函数的定义域为．考点：1、函数的定义域；2、对数函数的图象与性质．【方法点睛】已知抽象函数的定义域，求的定义域，其中的关键是，后者的相当于前者的，即转化为求不等式的解集，即为的定义域；而求内函数在区间的值域（的取值范围），即为的定义域．15.已知函数，若存在，当时，，则的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】作出函数图象，根据图象及确定的取值范围，再根据转化为关于的式子，求其范围即可.【详解】作出函数图象如下图：令得，因为存在，当时，，所以由图象知，又，令故当时，，故填.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点与方程之间的关系，属于难题.通过图象求出变量的取值范围后，利用二次函数求最值是解决本题的关键.16.设，已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．考点：1、分段函数；2、指数函数与对数函数；3、函数与方程的思想．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（2）利用零点分段求得的最小值，结合题意即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）当时，显然不成立当时，平方得：综上：（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于.∴，则18.已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）曲线C1的普通方程是，曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．（Ⅱ）最大值为，最小值为．【解析】试题分析：（1）利用平方法将的参数方程消去参数可得到曲线普通方程，利用代入法将的参数方程消去参数可得到的普通方程；（2）根据曲线的参数方程设点为曲线上任意一点，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，利用三角函数的有界性可得曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值.试题解析：（1）曲线的参数方程是 (为参数)，则，∵，可得，∴曲线的普通方程是；曲线的参数方程是（为参数)，消去参数，，代入，即∴曲线的普通方程是.（2）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离为，则∵∴∴19.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）分布列见解析，期望为．【解析】【分析】（Ⅰ）由样本容量与频率频数的关系即可得出答案（Ⅱ）由题意可知分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，列举即可得出.【详解】（Ⅰ）由题意得，.（Ⅱ）由题意可得X的可能取值为1,2,3,,X的分布列X123P所以．【点睛】本题主要考查了列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图、分布列、期望，属于中档题. 20.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）或．【解析】【分析】（1）通过离心率得到关系，代入A求出，即可写出椭圆方程（2）设出直线方程,代入椭圆方程后得一元二次方程，根据求k的取值范围，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，换元后求其最值即可.【详解】(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1消去y整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．21.设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），切线方程为3x－e y＝0．（Ⅱ）a的取值范围为．【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求，根据导数的几何意义可求切线的斜率（Ⅱ）由函数在区间上单调递减，知导函数在区间上小于等于零恒成立，可分类讨论二次函数求a的范围.【详解】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<2；由f′(x)<0得x<0或x>2,故a=0时在处取得极值．此时可得f(1)＝，f′(1)＝，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝ (x－1)，即3x－e y＝0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想，分离参数的方法，推理能力与计算能力，属于难题.22.已知函数，，,令.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为．（Ⅱ）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间，导数小于零得到减区间（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，令，求导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，∵，∴．①当时恒成立，在上是增函数.②当时，由，解得；由，解得．∴函数的增区间为，减区间为．（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解的方法，属于难题.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题理
2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{20}A x x x =+-<，集合21{|1}B x x =>，则A B = A ．(1,2)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)- 2．已知2sin cos 0θθ+=，则2sin cos cos θθθ-的值A ． 65-B ．35-C ．35D ．653．已知向量=a ，向量,a c 的夹角是3π，2⋅=a c ，则||c 等于A ．12B ．1C ．2 4．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥n B ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ== m n m ∥α⇒n ∥β 5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．函数()sin()ωϕ=+f x A x （其中0,||2πϕ><A ）的图象如图所示，为了得到()cos 2=g x x的图 象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度俯视图侧视图正视图7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．若函数()()20.3log 54=+-f x x x 在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32=c ，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a = A ．92 B ．102 C ．112 D ．12210．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A．3 C．3 D．611．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(+3)f x f x =， 当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-，则(2018)=f A ．67312-B ．67212- C ．67212 D ．6731212．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()0-+=f x f x ，且当[0,1)∈x 时，()1=-xf x x ，则函数()()2sin π=+g x f x x 在区间(3,5)-上的所有零点之和为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点(1,2)-且与直线2390-+=x y 垂直的直线方程为． 14．已知32)24sin(=-θπ，则=θsin ．15．在△ABC 中，AD AB ⊥，BC = ，||1AD =，则AC AD ⋅= ．16．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A ． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若a c +=b =求ABC ∆的面积．18．（本小题12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）已知椭圆:E )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率21=e ，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，且满足1F A ∥1FC ，1F B ∥1F D ，0AC BD ⋅=，求AC BD +的最小值．20．（本小题12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ， 求sin θ的最大值．21．（本小题12分）已知函数2()ln(1)f x x m x =++． （Ⅰ）当4m =-时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求21()f x x 的取值范围．考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号 ． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，当α在区间[0,)2π上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值a ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n +=≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试理科数学参考答案一．选择题二．填空题13．3210+-=x y 14．19 15 16．94π 三．解答题 17．解：（Ⅰ）由1)1tan(tan cos cos 3=-C A C A 得，1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CA CA C A ,1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （，即31)cos(-=+∴C A ，31cos =∴B ，又0B π<<,322sin =∴B ． …………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：312cos 222=-+=ac b c a B 3122)(22=--+∴ac b ac c a ， 又a c +=b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴==12分 18．解：（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=…………3分设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+…………6分（Ⅱ）1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++ ① 则234113572133333n n n T ++=++++ ②，由①—②得，23121112112()33333n n n n T ++=++++- 142433n n ++=- ∴223n n n T +=-…………12分19．解：（Ⅰ）由已知，1,242c e c a ===，∴2,4c a ==，∴22212b a c =-= 故，椭圆方程为2211612x y += …………4分 （Ⅱ）∵1F A ∥1FC ，1F B ∥1F D ，0AC BD ⋅=，∴直线,AC BD 垂直相交于点1(2,0)F-． ①直线,AC BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=②直线,AC BD 斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设AC 方程(2)y k x =+联立22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212221616483434k k x x x x k k-+=-=++，212224(1)34k AC x k +∴=-=+ ．把k1-2234)1(24k k ++=， 222222222168(1)168(1)96(43)(34)7(43)(34)2k k AC BD k k k k ++∴+=≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当224334k k +=+，即1k =±时，上式取等号综上可得：AC BD + 的最小值为967． …………12分20．解：（Ⅰ）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--，设平面SCD 的一个法向量为n(),,x y z =则SD CD ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩00==n n 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得n (2,1,1)=-，∴AM ⋅ 0=n ，即AM ⊥ n ∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ．…………4分（Ⅱ）取平面SAB 的一个法向量m (1,0,0)=，则cos ,<>=n m ||||⋅⋅n m nm ==∴平面SCD 与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为3…………8分 （Ⅲ）设(),22,0N x x -(12)x ≤≤，则(),23,1MN x x =--，平面SAB 的一个法向量为m (1,0,0)=∴sin |cos ,θ=<MN >m sin θ∴===当135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且()max sin 7θ=． …………12分21．解：（Ⅰ）依题意知函数定义域为()1,-+∞， …………1分()21mf x x x '=++2221x x m x ++=+，…………2分 当4m =-时，令2224()01x x f x x +-'=<+，得11x -<<；令()0f x '>，得1x > 故函数()f x 的单调减区间(1,1)-，增区间(1,)+∞． …………5分 （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，知102m <<，12121,,2m x x x x +=-=21(,0)2x ∈-， ()()()()22221222221122ln 12ln 11f x x x x x x x x x x x ++==+-+， …………7分令21()2ln(1),(,0)(1)2x h x x x x x =+-∈-+，()()()222ln 11x h x x x '∴=+++，令()()22()2ln 11x g x x x =+++，232(31)()(1)x x g x x ++'∴=+，令()231x x x ϕ=++， 又1(,0)2x ∈- ，3(1)0x +>; ()x ϕ在1(,0)2-单调递增且(0)0ϕ>，1()02ϕ-<，即存在01(,0)2x ∈-使得()00x ϕ=即()01(,),0,2x x g x '∈-<()()0,0,0x x g x '∈>，()g x 在01(,)2x -单调递减，()g x 在()0,0x 单调递增， …………10分又()100,()02g g =-<，1(,0),()02x h x '∴∈-<，()h x ∴在1(,0)2-单调递减，又(0)0h = ,11()ln 222h -=-，…………11分故所求范围为1(0,ln 2)2-． …………12分22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由02πα≤<，知52444πππα≤+<，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+． …………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++2)452()432(=+--≥x x 当且仅当35(2)(2)044x x -+≤，即5388x -≤≤时，上式取等号，即()f x 取得最小值2 故2a =． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．2(21)32(21)32222m n m n ++++≤=+=+，∴∴故，原不等式成立． …………10分。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题(理科)含答案
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）.A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ） 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是（ ）.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）.12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a += （ ）.7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） .12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n na a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =3a c +=，求ABC 的面积.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)以线段OA OB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．哈师大附中2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一． 选择题1-6 ACDCDB 7-12BDADAB 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15.211316. 三．解答题 17.（1）c a bb a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()22x f x x ωω-=112cos222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19.2nS n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈min 4m ∴=20.（1）因为c e a ==222a b c =+ 222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b ∴+=2(1,)在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+(1)0,,m A B =关于原点对称，0λ=，不能形成平行四边形0∴λ≠(2)0m ≠，224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩Q 在椭圆上，222242[]2[]2(12)(12)km m k k -∴+=λ+λ+ 2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+->2212k m ∴+>2224m m ∴>λ22∴-<λ<且0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l的参数方程为1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t，可得：10x -= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-125t t = 因为120t t >，12,t t 是同号．所以12121211115t t PA PB t t t t ++=+==． 23.（1）由()5f x >，得23x ->, 即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意恒成立,当时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴≥≤，即的取值范围是( , 1]-∞.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题 理
2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{20}A x x x =+-<，集合21{|1}B x x =>，则A B = A ．(1,2)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-2．已知2sin cos 0θθ+=，则2sin cos cos θθθ-的值A ． 65-B ．35-C ．35D ．653．已知向量=a ，向量,a c 的夹角是3π，2⋅=a c ，则||c 等于A ．12B ．1C ．2 4．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥n B ．,αγβγα⊥⊥⇒∥β C ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．函数()sin()ωϕ=+f x A x （其中0,||2πϕ><A ）的图象如图所示，为了得到()cos 2=g x x的图 象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度俯视图侧视图正视图7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．若函数()()20.3log 54=+-f x x x 在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32=c ，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a = A ．92 B ．102 C ．112 D ．12210．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A．3 C．3 D．611．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(+3)f x f x =， 当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-，则(2018)=f A ．67312-B ．67212- C ．67212 D ．6731212．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()0-+=f x f x ，且当[0,1)∈x 时，()1=-xf x x ，则函数()()2sin π=+g x f x x 在区间(3,5)-上的所有零点之和为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点(1,2)-且与直线2390-+=x y 垂直的直线方程为 ． 14．已知32)24sin(=-θπ，则=θsin ．15．在△ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅= ． 16．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A ． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若a c +=b =求ABC ∆的面积．18．（本小题12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）已知椭圆:E )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率21=e ，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，且满足1F A ∥1FC ，1F B ∥1F D ，0AC BD ⋅=，求AC BD +的最小值．20．（本小题12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点 ． （Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ， 求sin θ的最大值．21．（本小题12分）已知函数2()ln(1)f x x m x =++． （Ⅰ）当4m =-时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求21()f x x 的取值范围．考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号 ． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，当α在区间[0,)2π上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值a ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n +=≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试理科数学参考答案一．选择题二．填空题13．3210+-=x y 14．19 15 16．94π 三．解答题 17．解：（Ⅰ）由1)1tan (tancos cos 3=-C A C A 得，1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CACA C A ,1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （，即31)cos(-=+∴C A ， 31cos =∴B ，又0B π<< , 322sin =∴B ． …………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：312cos 222=-+=ac b c a B 3122)(22=--+∴ac b ac c a ， 又a c +=b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴== …………12分 18．解：（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴= …………3分设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ …………6分（Ⅱ）1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++① 则234113572133333n n n T ++=++++②，由①—②得，23121112112()33333n n n n T ++=++++-142433n n ++=- ∴223n n n T +=- …………12分19．解：（Ⅰ）由已知，1,242c e c a ===，∴2,4c a ==，∴22212b a c =-= 故，椭圆方程为2211612x y += …………4分 （Ⅱ）∵1F A ∥1FC ，1F B ∥1F D ，0AC BD ⋅=，∴直线,AC BD 垂直相交于点1(2,0)F -． ①直线,AC BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=②直线,AC BD 斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设AC 方程(2)y k x =+联立22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212221616483434k k x x x x k k-+=-=++， 212224(1)134k AC x k +∴=+-=+．把k1-2234)1(24k k ++=， 222222222168(1)168(1)96(43)(34)7(43)(34)2k k AC BD k k k k ++∴+=≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当224334k k +=+，即1k =±时，上式取等号综上可得：AC BD +的最小值为967． …………12分 20．解：（Ⅰ）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--，设平面SCD 的一个法向量为n(),,x y z =则SD CD ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩00==n n 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得n (2,1,1)=-，∴AM ⋅0=n ，即AM ⊥n ∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ． …………4分（Ⅱ）取平面SAB 的一个法向量m (1,0,0)=，则cos ,<>=n m ||||⋅⋅n m nm ==∴平面SCD 与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为3…………8分 （Ⅲ）设(),22,0N x x -(12)x ≤≤，则(),23,1MN x x =--，平面SAB 的一个法向量为m (1,0,0)=∴sin |cos ,θ=<MN >m sin θ∴===当135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且()max sin 7θ=． …………12分21．解：（Ⅰ）依题意知函数定义域为()1,-+∞， …………1分()21mf x x x '=++2221x x m x ++=+， …………2分 当4m =-时，令2224()01x x f x x +-'=<+，得11x -<<；令()0f x '>，得1x > 故函数()f x 的单调减区间(1,1)-，增区间(1,)+∞． …………5分 （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，知102m <<，12121,,2m x x x x +=-=21(,0)2x ∈-， ()()()()22221222221122ln 12ln 11f x x x x x x x x x x x ++==+-+， …………7分令21()2ln(1),(,0)(1)2x h x x x x x =+-∈-+，()()()222ln 11x h x x x '∴=+++，令()()22()2ln 11x g x x x =+++，232(31)()(1)x x g x x ++'∴=+，令()231x x x ϕ=++， 又1(,0)2x ∈-，3(1)0x +>;()x ϕ在1(,0)2-单调递增且(0)0ϕ>，1()02ϕ-<，即存在01(,0)2x ∈-使得()00x ϕ=即()01(,),0,2x x g x '∈-<()()0,0,0x x g x '∈>，()g x 在01(,)2x -单调递减，()g x 在()0,0x 单调递增， …………10分又()100,()02g g =-<，1(,0),()02x h x '∴∈-<， ()h x ∴在1(,0)2-单调递减，又(0)0h =,11()ln 222h -=-， …………11分故所求范围为1(0,ln 2)2-． …………12分22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由02πα≤<，知52444πππα≤+<，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+． …………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++2)452()432(=+--≥x x 当且仅当35(2)(2)044x x -+≤，即5388x -≤≤时，上式取等号，即()f x 取得最小值2 故2a =． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．2(21)32(21)32222m n m n ++++≤=+=+，∴∴故，原不等式成立． …………10分。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试理科数学试题(原卷版)
2018-2019学年度高三上学期期末考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合（）A. B. C. D.2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.3.已知且则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.4.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（）A. B. C.或 D. 或5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.6. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.8.设函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.9.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 211.在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（）A. B. C. D.12.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．14.四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积是__________．15.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为__________．16.已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积为且求△ABC外接圆的面积。
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哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则()U M C N =（ ）A ．{2}x x <- B ．{2x x <-或3}x ≥ C ．{3}x x ≥ D ．{23}x x -≤< 2．若复数z 满足(12)5i z +=,i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ ） A.2i - B.2- C.2 D.2i 3．与函数y x =相同的函数是（ ）A ．y =B ．2xy x =C ．2y =D ．log (01)xa y a a a =>≠且4．幂函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+在(0+)∞，上单调递增，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5．函数ln 1()1x f x x-=-的图象大致为（ ）6．下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”； B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>；D. 命题“(),0,23x xx ∃∈-∞<”是假命题.7．设0.50.7a -=，0.5log 0.7b = ，0.7log 5b = ，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时 ()21x f x =-，则（ ）A. ()()11672f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭ D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭9．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在其定义域上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()48，B. [)48，C. ()1+∞，D. ()18， 10．已知函数3log ,03,()4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. [)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，给出以下四个命题：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-；②()12,1,1x x ∀∈-且12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-；③()12,0,1x x ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭；④()1,1x ∀∈-， ()2f x x ≥. 其中所有真命题的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④12.已知函数()l n (2)24(0f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0f x >，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A. (ln 3,2)B. (]0,2ln3-C. (0,2ln 3)-D. [)2ln3,2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数23(1)()4(1)xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩，则[])2(f f = ． 14．若函数()y f x ＝的定义域是1[,2]2，则函数()2log y f x ＝的定义域为________．15．已知函数111+,0,22()12,22x x x f x x -⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则122()()x f x f x -的最小值为 ．16．设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数， 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab的取值范围是 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）设函数()=271f x x -+. （Ⅰ）求不等式()f x x ≤的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程是3,423x t t y =-⎧⎪+⎨=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值和最小值．19．（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X 表示所抽取的3名学生中得分在(]80,90内的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望.20．（本题满分12分）已知点()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．21．（本题满分12分）设函数23()=xx axf x e +（a R ∈）．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，求实数a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围. 22. （本题满分12分） 已知函数2()ln f x x mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈,令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）答案一、选择题.1.B2.B3.D4.C5.D6.C7.A8.B9.B10.A 11.D 12.B二、填空题13. 0 14.4⎤⎦15.916-16.11,25⎛⎫--⎪⎝⎭三、解答题17. 解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；…… 5分（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4. …… 10分18. 解：（1）曲线C1的参数方程是（θ为参数），则，∵sin2θ+cos2θ=1，，∴曲线C1的普通方程是；…… 3分曲线C2的参数方程是（t为参数），消去参数t，t=3﹣x，代入，即2x+3y﹣10=0∴曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．…… 6分（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C1上任意一点，则点P到直线2x+3y﹣10=0的距离为d，则（其中43sin,cos55ϕϕ==） (10)分∵sin （θ+φ）∈[﹣1，1]∴max 13d =，此时sin()1θϕ+=-，min 13d =，此时sin()1θϕ+= (12)分19. 解 ：（Ⅰ）810.0165010n n ⨯=∴=， 250100.004y =÷÷=0.10.0160.040.010.0040.030x =----= …… 6分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3()1537117C P X C ===,()122537427C C P X C ===,()3537237C P X C === X 的分布列所以14()77E X =⨯+⨯+⨯= …… 12分20.解： (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1. ……4分(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. …… 12分21.解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x . 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，由f ′(x )>0，0<x<2 f ′(x )<0有x<0或x>2,故 a=0时()f x 在0x =处取得极值f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0. …… 6分(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数． 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. …… 12分22.解：（1）定义域为(0,)+∞，2112'()2mx f x mx x x-=-=①当0m ≤时'()0f x >恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.②当0m >时令'()0f x > 0x ∴<<令'()0f x < x ∴>增区间： ，减区间：+)∞ …… 6分（2）法一：令 .所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时， .令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为. 令，因为，， 又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2. …… 12分 法二：由恒成立知恒成立， 令，则， 令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2. …… 12分。